学案74几何证明选讲.doc

学案74几何证明选讲(二)直线与圆的位置关系导学目标：1.理解圆周角定理，弦切角定理及其推论；2.理解圆的切线的判定及性质定 理；3.理解相交弦定理，割线定理，切割线定理；4.理解圆内接四边形的性质定理及判定.课前准备区 熟教材堕萎基础U自主梳理】1. 圆周角、弦切角及圆心角定理⑴的度数等于其的对 的度数的一半.推论1：(或)所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角 相等，推论2：半［员1(或直径)所对的 等于90反之，90的圆周角所对的孤是(或) .(2) 弦切角的度数等于其所夹孤的度数的—・(3) 圆心角的度数等于它所对孤的度数.2. 圆中比例线段有关定理(1) 相交弦定理：的两条，每条弦被交点分成的 的积相等.(2) 切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，切线长是这点到割线与圆的 两个交点的线段长的.(3) 割线定理：从圆外一点引圆的两条，该点到每条割线与圆的交点的两条线 段长的积相等.温馨提示相交弦定理，切割线定理，割线定理揭示了与圆有关的线段间的比例关系， 在与圆有关的比例线段问题的证明、计算以及证明线段或角相等等问题中应用甚广.3. 切线长定理从 一点引圆的两条切线，相等.4. 圆内接四边形的性质与判定定理(1) 性质定理：圆内接四边形的对角・推论：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内角的.(2) 判定定理：如果四边形的，则四边形内接于.推论：如果四边形的一个外角等于它的,那么这个四边形的四个顶点5. 圆的切线的性质及判定定理(1) 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的.推论1：经过 且 与垂直的直线必经过切点.推论2：经过 旦切线与垂直的直线必经过(2) 判定定理：过半径 且与这条半径 的直线是圆的切线.。

自我检测11. 如图在&Z\ABC中，ZB = 90, D是AB 一点，且AD=2DB,以D为圆心，DB 为半径的圆与AC相切，则sin A=.2. (2010-南京模拟)如图，AB是圆O的直径，EF切圆O于C, AD_LEF于D, AD = 2, AB=6,则AC长为.3. （2011 •湖南）如图，A, E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4, AD1BC,垂足为D, BE与AD相交于点F,则AF的长为 .4. 如图所示，AB是的直径，BC是OO的切线，AC交于点D,若AD = 32, CD=18,贝lj AB=.E5. （2010-揭阳模拟）如图，已知P是O外一点，PD为的切线，D为切点，割线 PEF经过I员I心O, PF=12, PD = 40,则圆O的半径长为、ZEFD的度数为课堂活动区突破考点研析热点探究点一与圆有关的等角、等弧、等弦的判定m 11如图，的两条弦AC, BD互相垂直，OE_LAB,垂足为点E.求证：OE=*D.变式迁移1在△ABC中，己知CM是ZACB的平分线，Z\AMC的外接圆O交BC于 点 N；若 AC=^AB,求证：BN=3MN.探究点二四点共圆的判定Em 21如图，四边形ABCD中，AB、DC的延长线交于点E, AD, BC的延长线交于点 F, ZAED, ZAFB的的平分线交于点M,且EM_LFM.求证：四边形ABCD内接于圆.变式迁移2如图，已知AP是。

O的切线，P为切点，AC是的割线，与O交于 B、C两点，圆心0在ZPAC的内部，点M是BC的中点.(1) 证明：A, P, O, M四点共圆；(2) 求ZOAM + ZAPM 的大小.探究点三与圆有关的比例线段的证明II例31如图，PA切0于点A, 与AB, AC相交于点D, E,求证：割线PBC交于点B, C, ZAPC的角平分线分别(1) AD = AE；(2) AD1 2=DBEC.变式迁移3(2010-全国)如图，巳知圆上的孤AC = BD.过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明:(1) ZACE=ZBCD；(2) BC 要注意一些常用的添加辅助线的方法，若证明直线与圆相切，则连结直线与圆的公=BEXCD.⑥课堂小结 共点和圆心证垂直；遇到直径时，一般要引直径所对的圆周角，利用直径所对的圆周角 是直角解决有关问题.3. 判断两线段是否相等，除一般方法（通过三角形全等）外，也可用等线段代换，或用 圆心角定理及其推论证明.4. 证明多点共圆的常用方法：（1） 证明几个点与某个定点距离相等；（2） 如果某两点在某条线段的同旁，证明这两点对这条线段的张角相等；（3） 证明凸四边形内对角互补（或外角等于它的内角的对角）.5. 圆中比例线段有关定理常与圆周角、弦切角联合应用，要注意在题中找相等的角， 找相似三角形，从而得到线段的比.课后练习区| 篇题精也题（满分：75分）A一、填空题（每小题5分，共40分）1. 如图，已知AB, CD是OO的两条弦，旦AB = CD, OEAB, OFCD，垂足分别是E, F,则结论①AB = CD, ZAOB = ZCOD,③OE=OF,④= 中，正确 的有 个.2. （2010-湖南）如图所示，过。

O外一点P作一条直线与O交于A、B两点.已知PA =2,点P到O的切线长PT=4,则弦AB的长为.3. （2010-陕西）如图，己知Rt/XABC的两条直角边AC, BC的长分别为3 cm,4 cm,以AC为立径的圆 与AB交于点D,则4. （2009-广东）如图，点A, B, C是圆O上的点，且AB=4, ZACB=45,则圆O的 而积为.5. 已知PA是圆O的切线，切点为A, PA=2, AC是圆O的直径，PC与圆O交于点 B, PB=1,则I员|0的半径R=.6. 如图，圆O是AABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D, CD=20,AB = 3.则BD的长为7. （2011-天津）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F, E是AB延长线上一点， 且DF=CF=皿，AF ： FB ： BE=4 ： 2 ： 1.若CE与圆相切，则线段CE的长为・8. （2010-天津）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.嘴=9 则器的值为 •二、解答题（共35分）9. （11分）如图，三角形ABC中，AB = AC,0经过点A,与BC相切于B,与AC 相交于D,若AD = CD=1,求。

O的半径r.10. （12 分）（2009•江苏）如图,在四边形 ABCD 中，AABC^ABAD.求证：AB〃CD.11. （12分）（2011.江苏）如图，圆Q与圆6内切于点A,其半径分别为n与侦1*]＞叼）.圆 01的弦AB交圆2于点C（Oi不在AB ）.求证：AB : AC为定值.fitb2学案74几何证明选讲（二）直线与圆的位置关系自主梳理1. （1）圆周角孤同弧等孤所对的弧圆周角半圆弦为直径（2）一半2. （1）圆相交弦两条线段长（2）等比中项（3）割线3.圆外 切线长4.⑴互补 对角（2）对角互补 圆 内角的 对角共圆5. （1）半径 圆心 切线 切点 圆心（2）外端 垂直自我检测1L2解析 设切点为T,则DTAC, AD = 2DB = 2DT,/. ZA = 30, sin A =2. 2V3解析连接CB,则ZDCA= ZCBA,又/ADC= ZACB = 90, AAADC^AACB.・ AD AC•*AC = AB-AAC2= ABAD = 2X6= 12.A AC = 2^3.，3解析如图，连接CE, AO, 可得ZCEB = 90, ZCBE = 30,AB.根据A, E是半圆周上的两个三等分点，BC为直径, ZAOB = 60,故左AOB为等边三角形，AD=0, OD =仍 2\[3BD= 1,.・・DF = +，AAF= AD-DF = -^~.4. 40解析AB25. 4 30解析由切割线定理得PD2 = PE PF, . PD2 16X3 .・.・PE = ^ = ^—= 4,..・EF=8, OD = 4.又 VOD1PD, OD = PO, ZP=30,ZPOD = 60 = 2ZEFD, A ZEFD = 30.课堂活动区。

例11解题导引（1）借用等弦或等弧所对圆周角相等，所对的圆心角相等，进行角的等 量代换；同时也可借在同圆或等圆中，相等的圆周角（或圆心角）所对的弧相等，进行弧（或弦） 的等量代换.（2）本题的证法是证明一条线段等于另一条线段的一半的常用方法.证明 作直径AF,连接BF, CF,则ZABF = ZACF = 90. 又OE_LAB,为AF的中点，则 OE = :BF...・AC_LBD,A ZDBC + ZACB = 90,又 VAF 为直径，ZBAF+ ZBFA = 90,V ZAFB = ZACB,A ZDBC = ZBAF,即有 CD = BF.从而得OE=5CD.变式迁移1证明 VCM是NACB的平分线,・ AC = BC••AM = BM5即BC = AC器,又由割线定理得BM BA = BN BC,••・BNAC.^ = BMBA,XVAC={aB, ABN = 3 AM, •.•在圆内 ZACM= ZMCN, •.•AM = MN, .••BN = 3MN.例21解题导引 证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相 等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端 点连成的凸四边形对角互补.证明连接EF,因为EM是NAEC的角平分线，所以 ZFEC + ZFEA = 2ZFEM.同理，ZEFC + ZEFA = 2ZEFM.而 ZBCD + ZBAD = ZECF + ZBAD=(180- ZFEC - ZEFC) + (18()。

一 ZFEA - ZEFA)=360 - 2(ZFEM + ZEFM)=360 - 2( 180 - ZEMF) = 2ZEMF= 180,即ZBCD与ZBAD互补.所以四边形ABCD内接于圆.变式迁移2(1)证明连接OP, OM,因为AP与O相切于点P,所以 OP_LAP.因为M是O的弦BC的中点，所以OM_LBC.于是 ZOPA + ZOMA = 180,由圆心O在ZPAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A, P, O, M四点共圆.⑵解由(1)得A, P, O, M四点共圆，所以 ZOAM= ZOPM.由(1)得 OP1AP.由圆心O在ZPAC的内部，可知 ZOPM + ZAPM = 90,所以 ZOAM + ZAPM = 90.U例31解题导引 寻找适当的相似三角形，把几条要证的线段集中到这些相似三角形 中，再用圆中角、与圆有关的比例线段的定理找到需要的比例式，使问题得证.证明 (1)匕AED = ZEPC + ZC, ZADE = ZAPD + ZPAB.因PE是ZAPC的角平分线，故ZEPC= ZAPD, PA是O的切线，故ZC = ZPAB.所以 ZAED = ZADE.故 AD = AE.ZPCE= ZPAD1 EC PCZPEA= ZPDB . AE PA。