年上学期北京市清华附中高一数学正弦定理 余弦定理三.ppt

高中数学第一册高中数学第一册( (下下) )正、余弦定理的正、余弦定理的应用用(1)(1)1复复正弦定理正弦定理:(外接圆直径外接圆直径)余弦定理余弦定理:a2 = b2 + c2   2bccosAb2 = c2 + a2   2cacosBc2 = a2 + b2   2abcosC 2 例例1 在在 ABC中中，，已已知知a = ，，b = ，，B = 45 ，求，求A、、C和和c．． 分分析析:已已知知两两边边和和其其中中一一边边的的对对角角的的解解三三角角形形问问题题．．可可运运用用正正弦弦定定理理来来求求解解，，但但应应注注意意解解的的情情况况．．或或借借助助余余弦弦定定理理，，先先求出求出c后，再求出角后，再求出角C与角与角A.A = 60 ，， C = 75 ，， c = ，，或或A = 120 ，，C = 15 ，，c = ．．3 小小结结:对对本本题题，，一一般般会会误误认认为为只只能能用用正正弦弦定定理理求求解解，，而而余余弦弦定定理理似似乎乎难难以以派派上上用场．其实不然，解法二就是明证．用场．其实不然，解法二就是明证． 事事实实上上，，正正弦弦定定理理与与余余弦弦定定理理是是等等价价的的，，完完全全可可以以相相通通．．凡凡是是能能用用正正弦弦定定理理解解的的三三角角形形，，用用余余弦弦定定理理也也能能求求解解．．反反之之亦亦然然，，只只不不过过解解题题过过程程的的繁繁简简程程度度有有所所不不同同而而已已．．鉴鉴此此，，我我们们在在学学习习中中，，不不能能把把正正弦弦定定理理与与余余弦弦定定理理完完全全割割裂裂开开来来，，而而要要用用一一种联系的观点来看待它们．种联系的观点来看待它们．4　　 例例2 在在 ABC中中，，已已知知a = 2 ，，b = 6 + 2 ，，c = 4 ．求．求A、、B、、C．． 分分析析：：已已知知三三边边，，可可用用余余弦弦定定理理直直接接求求角角，，先先求求出出两两个个角角后后，，再再用用内内角角和和求求第第三三个个角角．．使使用用余余弦弦定定理理求求角角时时，，一一般般在在判判断断三三条条边边的的大大小小后后，，可可先先求求最最大大角角，，也也可可选选求求最最小小角角，，如如果果最最大大角角小小于于60 ，最小角大于，最小角大于60 ，可知三角形无解，可知三角形无解.A = 30 ，，B = 105 ，，C = 45 ．．小小结结：：此此题题也也可可先先求求最最小小角角A，，再再求求其其他他角角．．由由于于题题目目已已知知三三边边，，所所以以利利用用余余弦弦定定理理求求得得最最大大角角或或最最小小角角后后，，再再求求第第二二个角，仍可用余弦定理，但较繁．个角，仍可用余弦定理，但较繁．5 例例3 如图，在如图，在 ABC中，已知中，已知BC = 15, AB ：：AC = 7 ：：8，，sinB = . 求求BC边上边上的高的高AD．． 分分析析: 由由已已知知设设AB = 7x, AC = 8x，，故故要要求求AD的的长长，，只只要要求求出出x，， ABC中中已已知知三三边边，，只只需需再再有有一一个个角角，，根根据据余余弦弦定定理理便便可可求求x，，而而用用正弦定理正好可求角正弦定理正好可求角C．．AD = 12 或或AD = 20 . 小小结结：：利利用用比比例例式式的的设设法法是是一一种种解解题常用的技巧，可使运算简便．题常用的技巧，可使运算简便．6 例例4 如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，已知中，已知AD   CD，，AD = 10，，AB = 14，， BDA = 60 ，， BCD = 135 ，求，求BC的长．的长．BC = 8 . 分分析析:在在 ABD中中，，可可先先由由正正弦弦定定理理求求出出B，，再再由由余余弦弦定定理理求求出出BD，，也也可可用用方方程程法法直直接接余余弦弦定定理理求求出出BD．．然然后后 BCD中中由由正正弦定理求出弦定理求出BC．． 小结：小结：注意正、余弦定理的灵活运用注意正、余弦定理的灵活运用.7 例例5 已已知知方方程程x2 (bcosA)x+acosB=0的的两两根根之之积积等等于于两两根根之之和和，，且且a、、b为为 ABC的的两两边边，，A、、B为为两两内内角角，，试试判判定定这个三角形的形状．这个三角形的形状． ABC为等腰三角形．为等腰三角形． 分分析析:先先由由条条件件得得出出三三角角形形的的边边角角关关系系. 要要判判定定三三角角形形的的形形状状, 只只须须将将边边角角关关系转化为边之间或角之间的关系即可系转化为边之间或角之间的关系即可. 小小结结：：由由三三角角形形的的边边角角关关系系判判定定三三角角形形的的形形状状，，其其本本思思路路是是根根据据正正弦弦定定理理和和余余弦弦定定理理进进行行边边角角变变换换，，或或全全化化为为边边的的关关系系、、或或全全化化为为角角的的关关系系，，然然后后利利用用简单的平面几何知识即可判定．简单的平面几何知识即可判定．8 1. 在在△△ABC中中，，已已知知B = 30 ，，b = ，，c = 3，那么这个三角形是，那么这个三角形是( ) A．等边三角形．等边三角形 B．直角三角形．直角三角形 C．等腰三角形．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形．等腰三角形或直角三角形巩固练习：巩固练习：D9 2. 在在△△ABC中中, 若若b2sin2C + c2sin2B = 2bccosBcosC，则此三角形为，则此三角形为( ) A．直角三角形．直角三角形 B．等腰三角形．等腰三角形 C．等边三角形．等边三角形 D．等腰直角三角形．等腰直角三角形 3. 已已知知 ABC中中，，b = 8，，c = ，，B = 60 ，求，求a．．巩固练习：巩固练习：A先求得先求得C = 30 .101. (本上本上)教材教材P134习题习题5.9中中 第第5、、8、、9题．题．2.《数学之友》《数学之友》T5.21．．作业作业 在在△△ABC中中，，AB = 5，，AC = 3，，D为为BC中点，且中点，且AD = 4，求，求BC边长．边长．课外课外思考思考: : 提提示示: 此此题题所所给给条条件件只只有有边边长长，，应应考考虑虑在在假假设设BC为为x后后，，建建立立关关于于x的的方方程程．．而而正正弦弦定定理理涉涉及及到到两两个个角角，，故故不不可可用用．．此此时时应应注注意意余余弦弦定定理理在在建建立立方方程程时时所所发发挥挥的的作作用用．．因因为为D为为BC中中点点，，所所以以BD、、DC可可表表示示为为x / 2，，然然用用利利用用互互补补角角的的余余弦弦互互为相反数这一性质建立方程．为相反数这一性质建立方程．1112。