求极限的方法总结小论文3600字.docx

    求极限的方法总结小论文3600字    求数列极限的方法总结数学科学学院数学与应用数学08级汉班 **指导教师 ****摘 要 数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题，本文通过归纳和总结，从不同的方面罗列了它的几种求法关键词 数列极限、定义、泰勒公式、无穷小量极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了1.定义法利用数列极限的定义求出数列的极限.设﹛Xn﹜是一个数列,a是实数,如果对任意给定的?〉0,总存在一个正整数N，当n〉N时,都有Xn?a即可, ?1 存在N=[],当n>N时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/nN时,有Xn≤Yn≤Zn,且limXn?limZn?a,则有n??n??limYn?a. n??1?n}的极限. n2解: 对任意正整数n,显然有 11?n2n2 ?2?2?, nnnn12 而?0,?0,由夹逼性定理得 nn1?n lim2?0. n??n4．换元法通过换元将复杂的极限化为简单.an?1例4.求极限limn，此时 n??a?2解：若 有 ，令则例3:求{5.单调有界原理例5.证明数列证： 令我们用归纳法证明若≤２ 则有极限，并求其极限。

，易知｛｝递增，且≤2. 显然 中两 故由单调有界原理｛｝收敛，设→ ，则在边取极限得即解之得 =２ 或 =-１ 明显不合要求，舍去， 从而6.先用数学归纳法,再求极限.1?3?5???(2n?1) 例6:求极限lim n??2?4?6???2n1352n?11? 解:0?????? 2462n2n?11352n?1 S=????? 2462n242n 设S*=???? 则有S

sin5x?sin3x例12. 求lim x?0sin2x解：?sin5x2x5sin3x2x3?53法一：原式=lim??????????1 x?03xsin2x2?22?5xsin2x25x?3x5x?3x2cossin2cos4xsinx2cos4x法二：原式=lim?lim?lim?1 x?0x?0x?0sin2x2sinxcosx2cosx13.奇数列和偶数列的极限相同，则数列的极限就是这个极限1)x例13：求limx的值 x??2?1 解：奇数列为limx=0 x??21 偶数列为limx=0 x??2(?1)x所以limx=0 x??214．利于泰勒展开式求极限 解:设?un?例14.求x5?x4?x5?x4)11?11515? 解：原式=limx?(1?)?(1?)?(令t=) x???xxx??1?1?1?t?o(t)?1?t?o(t)11???1?55??=2 55 =lim?(1?t)?(1?t)?=t??0t5t??15.利于无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量，无穷小量与无穷大量互为倒数的关系，以及有限个无穷小的和仍是无穷小等等。

1例15：求lim2sinx的值 x??x解：因为limlimx??1是无穷小量，而limsinx是有界变量，所以 2x??x1sinx还是无穷小量，即 x??x21 lim2sinx=0 x??x16.利用数列的几何、算术平均值求极限数列{an}有极限，则它的几何平均值和算术平均值的极限与与原极限相同例16：求 n解：limn??n= nn 设bn=an，因为知nan?1an an?1 所以，所求原式的极限就等于{bn}的极限 即原式=limbn=limn??n??17.绝对值中的极限 若an?a(n??),则an?a(n??)1的值 x??x311 解：lim3=lim3=0 x??xx??x18.利用黎曼引理2acospx（a>0） 例18：求lim?p??01?xa1?cos2pxa111acos2px1?lim??lim?dx?ln(1?a) 解：原式=lim?p??0p??202(1?x)2p??01?x1?x2数列极限的方法还有很多，以上给与大致列举本文在写作过程中得到了****老师多次精心指导，在此表示感谢 例17：求lim参考文献1. 欧阳光中、朱学炎、金福临等，数学分析第三版上册，高等教育出版社，19xx年第二篇：数学学年论文毕业论文求极限的方法 7700字求极限的方法摘 要：本文系统地介绍了利用两个重要极限、无穷小量代换、洛比达法则、泰勒公式、定积分等求极限的方法，并结合具体的例子，指出了在解题过程中常遇见的一些问题。

关键词：极限、方法、类型、洛比达法则、定积分一 引言高等数学是以函数为研究对象，以极限理论和极限方法为基本方法，以微积分学为主要内容的一门学科，极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位高等数学许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓和深化，如连续、导数、微积分等等都是由极限定义的，离开了极限的思想高等数学就失去了基础失去了价值，因此极限运算是高等数学的基本运算由于极限定义的高度抽象使我们很难用极限定义本身去求极限，又由于极限运算分布于整个高等数学的始终，许多重要的概念是由极限定义的极限知识是研究导数、各种积分、级数等的基本工具反过来，我们也可以利用这些概念来求一些极限，所以运算方法繁多针对这种情况，本文作者通过立体归纳总结出了如下常见的求极限的方法二 具体方法⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限定理1①：若极限limf(x)和limg(x)都存在，则函数f(x)?g(x)，f(x)?g(x)x?x0x?x当x?x0时也存在且①lim?f(x)?g(x)??x?0limx?x0x?x0f(x)?limx?x.0g(x) ②lim?f(x)?g(x)??x?x0limf(x)?limg(x) x?x0又若limg(x)?0，则x?x0f(x)g(x)在x?x0时也存在，且有limx?x0f(x)g(x)lim?x?x0f(x)g(x)limx?x0利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所 1给的变量都不满足这个条件，如??、00等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。

例1：求limx2?4x?2?x?2解：原式=lim?x?2??x?2?x?2?x?2?lim?x?2??0x?2?⒉用两个重要的极限来求函数的极限 ①利用limsinx?1来求极限x?0xlimsinxx?0x?1的扩展形为：令g?x??0，当x?x0或x??时，则有limsing?x?sing?x?x?x0g?x??1或limx??g?x??1例2：limsinxx????x解：令t=??x.则sinx=sin(?? t)=sint, 且当x??时t?0 故 limsinxx????x?limsintt?0t?1例3：求limsin?x2?1?x?1x?1解：原式=lim?x?1??sin?x2?1??2?x?1?x?1??x?1?lim?x?1??sin?x?1??x?1x2?12 ②利用lim(1?1)?e来求极限x??x1lim(1?1)?e的另一种形式为x??xlim(1??)??e.事实上，??02 令??1x.x?????0.所以e?limx??(1?1x1)?xlim??0(1??)??e1例4: 求lim(1?2x)x的极限x?0解：原式=limx?011??22x2x?(1?2x)?(1?2x)??e ??利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。

一般常用的方法是换元法和配指数法⒊利用等价无穷小量代换来求极限 所谓等价无穷小量即limx?x0f(x)g(x)?1.称f(x)与g(x)是x?x0时的等价无穷小量，记作f(x)~g(。