数学教育中的提出问题：涵义、方法与教学设计.doc

数学教育中的提出问题：涵义、方法与教学设计一 引 言数学的发展始于“提出问题” （Problem posing），是一个由“提出问题”与“解决问题” （Problem solving）不断交织的过程在数学活动中，提出问题是创造性活动或出色才能的重要特征近十多年来，由于认识到提出问题的重要作用，因此，提出问题成为国内外数学教育改革中的一个重要话题在美国，随着建构主义学习理论的兴起以及对“问题解决”教学的不断反思，全美数学教师理事会（NCTM）在其颁布的《学校数学课程与评价标准》（1989）、《数学教学的专业标准》（1991）以及《学校数学的原则与标准》（2000）等文件中，对教师提出了增加提出问题活动的教学要求，即不仅应让学生解决预先提出的数学问题，而且，还应重视学生提出数学问题的活动[1]澳大利亚（1994）的一些地方教育部门也提出，应把提出问题看作是学生“做”数学的一种重要表现新课程下，提出问题成为我国数学课程的重要组成部分2001年，义务教育阶段《数学课程标准》提出让学生“初步学会从数学的角度提出数学问题、理解数学问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识”的课程目标[2]。

2003年，《普通高中数学课程标准》提出通过 “数学探究”和“数学建模”等课程内容的实施，把学生“提出问题”能力的培养贯穿于高中数学教学过程[3]由于“提出问题”成为数学课程的重要组成部分，有关这一话题的研究引起了我国数学教育界的极大关注对此，许多研究者作了理论与实践上的深入探索其中，由吕传汉和汪秉彝先生提出的中小学“数学情境与提出问题”教学（以下称“情境—问题”教学）模式 [4]以及在云、贵、川、渝、京、粤、浙、黑等地三百多所中小学校进行的有关这一模式的教学实验研究，在国内数学教育界引起较大的反响本文结合国内外有关提出问题教学研究的成果，对数学教育中提出问题的涵义、提出问题的基本方法以及提出问题的教学设计作简要介绍和阐述相信，这对我国新课程下提出问题由课程理念向教学现实的转移具有借鉴和参考价值二 提出问题的涵义在数学教学活动中，“提出问题”是指通过对情境的探索产生新问题，或在解决问题过程中对问题的再阐述(re-formulation) [4] 前者将提出问题看作是一种相对独立的数学活动，后者则把提出问题视为解决问题的手段提出问题是一个具有静态特征和动态特征的概念从静态的角度看，它是提问者对已经发现或产生的“问题”所进行的文字的或言语的表达；从动态的角度看，它是主体形成“问题意识”和生成数学问题的过程。

期间，提问者经历了从内隐的思维活动向外显的数学行为的转化（见图1）其中，内隐的思维活动指的是主体基于对情境的观察和分析，以及对“问题”信息的收集、选择和处理，产生认知冲突、形成问题意识和生成数学问题外显的数学行为指的是主体以书面的或口头的方式表达数学问题的过程[5]学生数学提出问题的动态过程图1数学情境（信息的、经验的和现实的背景）观察、分析与探究的收集、选择与处理（书面的或口头的） 表达数学问题发现或建构新的数学问题形 成问题意识产 生认知冲突基于对“问题”信息内隐的思维活动外显的数学行为提出问题是数学研究活动活动的基本特征正如有学者所指出的那样，在数学活动中，数学家会解决一些由其他人提出来的数学问题，或许是数学中的一些重要问题但由于他们经常面对结构不良的数学问题，因此，为了作出具有独创性的推测以寻求解决问题的有效方法，他们往往会基于个人的经验和兴趣提出自己的问题[6]在学校数学活动中，“提出问题”被看作是数学探究教学的一个重要特征进一步地说，一种以探究为中心的数学教学的研究方法与强调发现和问题解决的探究方法不同，其特点是学生与教师一样，拥有提出问题和解决问题的责任Ernest, 1991）由于提出问题与学生的问题意识、探究意识和和创造性思维能力的发展具有某种内在的联系，因此让学生自主地提出问题和解决问题，这有助于学生进行面向真实的数学探究活动。

由此使学生的数学学习由知识的获取转向知识的生成，使数学教学回归到它的本原——以数学知识的生成培养学生的数学素养三 提出问题的基本方法在前面对提出问题的基本涵义的阐述中，我们看到一个新的数学问题的产生大致有两种基本方式：对情境提供的信息进行观察和分析，或对一个已有问题进行变换和修改两者的差异在于，前者主要以归纳、类比等为方法，问题的产生大多源于情境所提供的数学事实或背景信息（其中不含有明确的需要解决的数学问题）而后者是对已有问题（对提问者来说，具有未知性）的条件或结论的变换或修改由于不少文献已对有关归纳、类比等提出问题的方法作了论述，笔者在此不再赘述虽然对后者的研究人们关注较少，但是，布朗和沃尔特（Brown & Walter, 1983 ）发现，提出数学问题的一个很有用的方法就是通过改变原有问题的条件和限定来产生新问题，即所谓的“否定假设法” ( what-if-not )1990年，他们在《提出问题的艺术》（The Art of Problem Posing）一书中，对“否定假设法”的具体原则作了以下阐述[7]：（1）确定出发点，这可以是已知的命题、问题或概念；（2）对所确定的对象进行分析，列举出它的各个“属性”；（3）就所列举的每一“属性”进行思考：“如果这一属性不是这样的话，那它可能是什么？”（4）依据上述对于各种属性的分析提出新的问题；（5）对所提出的新问题进行选择。

为了对“否定假设法”作进一步的阐释，布朗和沃尔特在《提出问题的艺术》中还给出了许多例子下面的例子[8]虽然与他们在书中的例子相比不太详细，但是，它对“否定假设法”的具体应用提供了一种帮助给出一个问题： 1，1，2，3，5，8，13，21，…你想到了什么问题？观察到了什么？通过观察和分析，列举这个数列所具有的一些基本属性：“属性”一：奇、偶交互性（奇、奇、偶、奇、奇、偶 ……）；“属性”二：任何一项的平方与它的前项和后项之积相差1（如；）；“属性”三：两个相邻项之积与它们的前、后两项之积相差1（如，；）改变原有问题的“属性”，提出新的问题：比如，如果起始项不是1，1，而是10，7（这时就可以得到一个新的斐波纳契数列：10，7，17，24，41，65，106，…），那么，新数列中的任何一项的平方与它的前、后两项之积的差有何关系？两个相邻项之积与它们的前、后两项之积的关系又如何？在这个新数列中，可以发现它的各项仍然具有奇、偶交互的排列特性，而且还可以发现， ，…且它们的差均为121这是否意味着任何一项的平方与它的前项和后项之积相差121？两个相邻项之积与它们的前、后两项之积也相差121？ 接下来，对上面产生的新问题作进一步地思考。

在上面的新数列中，121这个差与所选择的10，7的起始项有关吗？如果起始项是5，8或3，7，那情况会怎样呢？如果变化数列中项与项之间的循环规则，比如不是，而是，那情况会怎样呢？在课堂教学中，虽然对不断提出来的数学问题进行解答可能会超出学生或教师的数学能力，但是，新问题的不断产生无疑对学生数学好奇心和数学探究能力的发展具有积极的促进作用四 提出问题的教学设计在数学活动中，学生数学问题的产生离不开教师对数学情境的精心创设由于学生问题意识的发展存在于数学知识与技能的学习活动中，因此，教学进程、教学内容、情境设置以及问题探究点就成为教师设计“提出问题”教学的主要影响因素数学“情境—问题”教学设计是教师为了在教学中达成学生发现问题、提出问题和解决问题能力的协调发展而制定的数学教学蓝图它不仅可以减少教师在教学中的盲目性和随意性，而且也有助于开发学生的学习潜能，促进学生学习活动的有效开展其呈现方式就是我们通常所说的教案教学设计意味着思考、立意和创新[9]，因此，在设计数学“情境—问题”教学过程中，数学教师需要着力考虑以下几个方面的问题：（1）明确数学“情境—问题”教学目标数学“情境—问题”教学的核心在于学生的“质疑”与“提出问题”，因此，教师应该整体把握数学“情境—问题”的基本环节，即“创设数学情境——提出数学问题——解决数学问题——注重数学应用”。

进一步地说，就是把数学情境看作是学生产生数学问题的背景与平台，把数学问题的提出视为学生解决问题和进行面向真实的数学探究活动的基本手段，使学生通过数学知识的构建和问题解决活动的开展，形成以问题驱动的、以质疑、探究、猜测和推理为主要方式的数学学习能力2）形成设计意图即根据数学“情境—问题”教学的基本目标，选择适当的教学方法（如启发式、探究式、活动式等）和教学策略，形成科学、合理、实用的设计意图在此过程中，体现教师个人对教学设计的创造性工作3）制定教学过程教学过程是数学“情境—问题”教学的基本理念有效转化为教学现实的具体体现，因此，数学“情境—问题”教学设计必须反映教师拟采取的具有可操作性和有效性的教学手段，以及教学实施中的各个教学环节，拟订可行的评价方案一般地，数学“情境—问题”教学设计可以分为主题式“情境—问题”教学设计、单元式“情境—问题”教学设计以及阶段式“情境—问题”教学设计主题式“情境—问题”教学设计就是我们常见的针对某一具体教学课时所进行的教学设计与其他两种教学设计形式相比，主题式“情境—问题”教学设计的主题更为具体和鲜明由于篇幅所限，本文主要对后两种教学设计作简要介绍和阐述1 单元式“提出问题”教学设计所谓单元式“提出问题”教学是指教师根据某个单元知识的主题设计情境，使学生通过对情境的探索，发现问题、提出问题和解决问题。

其中，单元知识既可以作为教学的知识背景，也可以作为教学的新知识内容如美国学者曼娄彻瑞（Manouchehri）曾以单元知识作为教学的知识背景，提出了以“大组式的提出问题—小组式的问题解决—大组讨论与成果分享—作业与任务的拓展”为环节的单元式“提出问题”教学的设计方案[9]在中小学“数学情境与提出问题”教学实验中，我们以作为新知识的单元知识为教学内容，进行了单元式“提出问题”教学设计由于单元知识在知识体系上具有相对完整性，因此在这种教学设计中，一个单元主题通常可以只设计一个主要情境（以下称“主情境”）主情境贯穿于该单元主题教学过程的始终同时根据学习内容的需要，添加起辅助作用的情境，即次情境比如，在有关“二次函数”的单元式“提出问题”教学（5课时）[10]中，研究者根据单元情境教学的主题思想，与实验教师H设计了本单元的主情境“他能夺金牌吗?”和次情境“喷泉问题”（见表1）为了给学生提供充分的思考时间，在教学前一天把单元主情境印发给每一位学生[主情境] 他能夺金牌吗?A国为了在14届亚运会的铅球比赛中夺取金牌，进行一次运动员的公开预选赛某运动员在成绩最好的一次投掷中，铅球出手时离地面的高度为2.0m。

已知铅球的运行高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为往届亚运会铅球第一名成绩为24m左右[次情境] 喷泉问题某校准备在新落成的教学楼前建一喷泉由于场地有限，要求水柱喷出的最大高度为6m，水池的直径为4 m请画出设计草图并写出水柱喷出的高y (m)与喷出的水平距离x (m)之间的函数关系式表 1（注：此表格素材取材于参考文献[10]）具体地说，第1课时的课堂教学包括了以下基本环节：（1）学生分析情境，提出问题根据主情境材料提供的信息，学生提出了以下数学问题：铅球的运行路线是怎样的？铅球在行进中的最大高度是多少？函数的最大值是多少？等等2）教师对学生提出的问题进行选择，切入教学主题如教师利用问题S6进入新。