2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 1 周期现象学案 北师大版必修4.doc

§1　周期现象内容要求　1.了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点).2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性(难点)．知识点　周期现象(1)概念：相同间隔重复出现的现象．(2)特点：①有一定的规律；②不断重复出现．【预习评价】　1．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．(√)(2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象．(√)2．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是________．解析　观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2.答案　2题型一　周期现象的判断【例1】　判断下列现象是否为周期现象，并说明理由．(1)地球的自转；(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；(3)钟表的秒针的转动；(4)某段高速公路每天通过的车辆数．解　(1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象．(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象．(3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象．(4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象．规律方法　周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．【训练1】　判断下列现象是否为周期现象：(1)每届奥运会的举办时间；(2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗，日落时降旗，则其每天的升旗时间；(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．解　(1)奥运会每4年一届，所以其举办时间呈周期现象．(2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期现象．(3)每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．题型二　周期现象的应用【例2】　一个地区不同日子里白昼的时长是不同的，所给表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)：日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日日期位置序号x15980117126白昼时间y(时)5.610.212.415.917.3日期6月21日8月13日9月20日10月25日12月21日日期位置序号x172225263298355白昼时间y(时)19.415.912.48.55.4(1)以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在如图所示的给定的坐标系中画出这些数据的散点图，并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．(2)白昼时间的变化是否具有周期现象？你估计该地区来年6月21日的白昼时间是多少？解　(1)散点图如图所示，因为从4月27日至8月13日的白昼时间均超过15.9小时，所以该地区一年白昼时间超过15.9小时的大约有3＋31＋30＋31＋12＝107(天)．(2)由散点图可知，白昼时间的变化是周期现象，该地区来年6月21日的白昼时间为19.4小时．规律方法　收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．【训练2】　受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.51.01.5根据规定，当海浪高度不低于1米时才对冲浪爱好者开放，判断一天内对冲浪爱好者能开放几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？解　由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时．【例3】　2017年5月1日是星期一，问2017年10月1日是星期几？解　按照公历记法，2017年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2017年5月1日到2017年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2017年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期一，这一天是公历2017年10月2日，故2017年10月1日是星期日．【迁移1】　试确定自2017年5月1日再过200天是星期几？解　由200＝28×7＋4知自2017年5月1日再过200天是星期五．【迁移2】　从2017年5月1日到2017年10月1日经过了几个星期五？几个星期一？解　因为从2017年5月1日到2017年10月1日的153天中有21个完整的周期零6天，在每个周期中有且仅有一个星期五和一个星期一，故共经过了22个星期五，21个星期一．【迁移3】　试确定自2017年5月1日再过7k＋3(k∈Z)天后那一天是星期几？解　每隔七天，周一至周日依次循环，故7k天后为周一，7k＋3天后为星期四．规律方法　应用周期性解决实际问题的两个要点特别提醒　计算两个日期的间隔时间时要注意有的月份30天，有的月份31天，二月份有28天(或29天)．课堂达标1．下列自然现象：月亮东升西落，气候的冷暖，昼夜变化，火山爆发．其中是周期现象的有(　　)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析　月亮东升西落及昼夜变化为周期现象；气候的冷暖与火山爆发不是周期现象，故选B.答案　B2．如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期(　　)A．五 B．六 C．日 D．一解析　每隔七天循环一次，58＝7×8＋2，故58天后为周日．答案　C3．共有50架飞机组成编队，按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的顺序轮换编队，则最后一架飞机是________飞机．解析　周期为4,50＝12×4＋2，所以最后一架是直升机．答案　直升机4．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期．解析　4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．答案　105．某班有48名学生，每天安排4名同学进行卫生值日，按一周上五天课，一学期二十周计算，该班每位同学一学期要值日几次？解　共有48名学生，每天安排4名，则12个上课日就轮完一遍．一学期有5×20＝100(个)上课日，而12×8＝96(个)上课日，所以一个学期内该班每位同学至少值日8次，有部分同学要值日9次．课堂小结1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．2．利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.基础过关1．下列是周期现象的为(　　)①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次；③某超市每天的营业额；④某地每年6月份的平均降雨量．A．①②④ B．②④ C．①② D．①②③解析　①②是周期现象；③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；④中每年6月份的降雨量也是随机的，不是周期现象．答案　C2．把化成小数，小数点后第20位是(　　)A．1 B．2 C．4 D．8解析　＝0.4285，小数点后“142857”呈周期性变化，且周期为6.∵20＝3×6＋2，∴第20位为4.答案　C3．按照规定，奥运会每4年举行一次.2016的夏季奥运会在巴西举办，那么下列年份中不举办夏季奥运会的应该是(　　)A．2020 B．2024C．2026 D．2028解析　C中2026不是4的倍数，选C.答案　C4．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色．解析　周期为7,30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色．答案　红5．如图所示，变量y与时间t(s)的图像如图所示，则时间t至少隔________ s时y＝1会重复出现1次．答案　26．若今天是星期一，则第7天后的那一天是星期几？第120天后的那一天是星期几？(注：今天是第一天)解　每星期有7天，从星期一到星期日，呈周期性变化，其周期为7.∴第7天后的那一天是星期一．∵120＝17×7＋1，∴第120天后的那一天是星期二．7．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？解　因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升，)所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．能力提升8．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在(　　)A．8点处 B．10点处C．11点处 D．12点处解析　由于100＝1×60＋40，所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同，现在分针恰好指在2点处，经过40分钟分针应指在10点处，故选B.答案　B9．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是(　　)A．点A处 B．点B处C．O、A之间 D．O、B之间解析　钟摆的周期T＝1.8 秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又＜0.6＜，所以经过1分钟后，钟摆在O、B之间．答案　D10．今天是星期六，再过100天后是星期________．解析　100＝14×7＋2，∴再过100天是星期一．答案　一11．一个质点，在平衡位置O点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O点开始计时，质点向左运动第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则质点第三次通过M点，还要经过的时间可能是________ s.解析　质点从O点向左运动，O→M用了0.3 s，M→A→M用了0.2 s，由于M→O与O→M用时相同，因此质点运动半周期＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M时用时应为M→O→B→O→M，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s)．答案　1.412．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？(2)转四圈需要多少时间？(3)你第四次距地面最高需要多少时间？(4)转60分钟时，你距离地面是多少？解　(1)是周期现象，周期12分钟/圈．(2)转四圈需要时间为4×12＝48(分钟)．(3)第1次距离地面最高需＝6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分钟)．(4)∵60÷12＝5，∴转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－。