考点规范练33 基本不等式及其应用一、基础巩固1.下列不等式一定成立的是( ) A.lgx2+14>lg x(x>0)B.sin x+1sinx≥2(x≠kπ,k∈Z)C.x2+1≥2|x|(x∈R)D.1x2+1>1(x∈R)答案C解析因为x>0,所以x2+14≥2x12=x,所以lgx2+14≥lgx(x>0),故选项A不正确;当x≠kπ,k∈Z时,sinx的正负不定,故选项B不正确;由基本不等式可知选项C正确;当x=0时,1x2+1=1,故选项D不正确.2.已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+1a,n=a+1b,则m+n的最小值是( )A.3 B.4 C.5 D.6答案B解析由题意知ab=1,则m=b+1a=2b,n=a+1b=2a,故m+n=2(a+b)≥4ab=4(当且仅当a=b=1时,等号成立).3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a2ab2b=a,∴2a+b<1ab,即2aba+b0,b>0)对称,则1a+4b的最小值为( )A.8 B.9 C.16 D.18答案B解析由圆的对称性可得,直线ax-2by+2=0必过圆心(-2,1),所以a+b=1.所以1a+4b=1a+4b(a+b)=5+ba+4ab≥5+4=9,当且仅当ba=4ab,即2a=b=23时等号成立,故选B.5.若正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,则xy的最大值是( )A.43 B.53 C.2 D.54答案C解析由x>0,y>0,得4x2+9y2+3xy≥2(2x)(3y)+3xy(当且仅当2x=3y时等号成立),则12xy+3xy≤30,即xy≤2,故xy的最大值为2.6.若两个正实数x,y满足2x+1y=1,且x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是( )A.(-∞,-2)∪[4,+∞) B.(-∞,-4]∪[2,+∞)C.(-2,4) D.(-4,2)答案D解析因为x>0,y>0,2x+1y=1,所以x+2y=(x+2y)2x+1y=2+4yx+xy+2≥8,当且仅当4yx=xy,即x=2y时等号成立.由x+2y>m2+2m恒成立,可知m2+2m<8,即m2+2m-8<0,解得-41,b>1,若ax=by=3,a+b=23,则1x+1y的最大值为( )A.2 B.32 C.1 D.12答案C解析由ax=by=3,1x+1y=1loga3+1logb3=lga+lgblg3=lg(ab)lg3,又a>1,b>1,所以ab≤a+b22=3,所以lg(ab)≤lg3,从而1x+1y≤lg3lg3=1,当且仅当a=b=3时等号成立.8.已知x>1,则logx9+log27x的最小值是 .答案263解析∵x>1,∴logx9+log27x=2lg3lgx+lgx3lg3≥223=263,当且仅当x=36时等号成立.∴logx9+log27x的最小值为263.9.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*).则当每台机器运转 年时,年平均利润最大,最大值是 万元.答案5 8解析每台机器运转x年的年平均利润为yx=18-x+25x,而x>0,所以yx≤18-225=8,当且仅当x=5时,年平均利润最大,最大值为8万元.10.(2018天津,文13)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+18b的最小值为 .答案14解析∵a-3b+6=0,∴a-3b=-6.∵a,b∈R,∴2a>0,18b>0.∴2a+18b≥22a-3b=22-6=14,当且仅当2a=18b,即a=-3,b=1时取等号.11.某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙:每次都提价p+q2%,若p>q>0,则提价多的方案是 .答案乙解析设原价为a,则方案甲提价后为a(1+p%)(1+q%),方案乙提价后为a1+p+q2%2.由于(1+p%)(1+q%)<(1+p%)+(1+q%)22=1+p+q2%2,因此提价多的是方案乙.12.设a,b均为正实数,求证:1a2+1b2+ab≥22.证明因为a,b均为正实数,所以1a2+1b2≥21a21b2=2ab,当且仅当1a2=1b2,即a=b时,等号成立,又因为2ab+ab≥22abab=22,当且仅当2ab=ab时,等号成立,所以1a2+1b2+ab≥2ab+ab≥22,当且仅当1a2=1b2,2ab=ab,即a=b=42时,等号成立.二、能力提升13.已知不等式2x2-axy+y2≥0对任意x∈[1,2]及y∈[1,3]恒成立,则实数a的取值范围是( )A.a≤22 B.a≥22 C.a≤113 D.a≤92答案A解析因为2x2-axy+y2≥0,且y≠0,所以2xy2-axy+1≥0.令t=xy,则不等式变为2t2-at+1≥0.由x∈[1,2],y∈[1,3],可知t∈13,2,即2t2-at+1≥0在t∈13,2时恒成立.由2t2-at+1≥0可得a≤2t2+1t,即a≤2t+1t.又2t+1t≥22t1t=22.当且仅当2t=1t,即t=22时等号成立,所以2t+1t取得最小值22,所以有a≤22,故选A.14.已知不等式|y+4|-|y|≤2x+a2x对任意实数x,y都成立,则实数a的最小值为( )A.1 B.2 C.3 D.4答案D解析令f(y)=|y+4|-|y|,则f(y)≤|y+4-y|=4,即f(y)max=4.∵不等式|y+4|-|y|≤2x+a2x对任意实数x,y都成立,∴2x+a2x≥f(y)max=4,∴a≥-(2x)2+42x=-(2x-2)2+4恒成立;令g(x)=-(2x)2+42x,则a≥g(x)max=4,∴实数a的最小值为4.15.已知x>0,a为大于2x的常数.(1)求函数y=x(a-2x)的最大值;(2)求y=1a-2x-x的最小值.解(1)∵x>0,a>2x,∴y=x(a-2x)=122x(a-2x)≤122x+(a-2x)22=a28,当且仅当x=a4时取等号,故函数y=x(a-2x)的最大值为a28.(2)y=1a-2x-x=1a-2x+a-2x2-a2≥212-a2=2-a2,当且仅当x=a-22时取等号.故y=1a-2x-x的最小值为2-a2.16.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)(单元:万元),当年产量不足80千件时,C(x)=13x2+10x(单位:万元).当年产量不少于80千件时,C(x)=51x+10000x-1 450(单位:万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?解(1)因为每件商品售价为0.05万元,则x千件商品销售额为0.051000x万元,依题意得,当0
