复变函数课件：2-1 解析函数的概念.ppt

§1 §1 §1 §1 解析函数的概念解析函数的概念解析函数的概念解析函数的概念&& 1. 1. 复变函数的导数定义复变函数的导数定义复变函数的导数定义复变函数的导数定义&& 2. 2. 解析函数的概念解析函数的概念解析函数的概念解析函数的概念 1. 复变函数的导数复变函数的导数(1)导数定义导数定义如果如果w=f(z)在区域在区域D内点点可导，则称内点点可导，则称f (z)在区域在区域D内可导定义定义 设函数设函数w=f (z) z∈∈D, 且且z0、、 z0 +Δz∈∈D，，如果极限如果极限 存在，则称函数存在，则称函数f (z)在点在点z0处可导称此极限值为称此极限值为f (z)在在z0的导数，的导数，记作记作(2)求导公式与法则求导公式与法则①① 常数的导数常数的导数c =(a+ib) =0.②② (zn) =nzn-1 (n是自然数是自然数).证明证明 对于复平面上任意一点对于复平面上任意一点z0，，有有③③ 设函数设函数f (z), ,g (z) 均可导，则均可导，则 [f (z)±g (z)]  =f  (z)±g (z)，， [f (z)g(z)]  = f  (z)g(z) + f (z)g (z)④④复合函数的导数复合函数的导数 f [g(z)]  =f  (w)g (z)，， 其中其中w=g(z)。

⑤⑤ 反函数的导数反函数的导数 ，其中，其中: w=f (z)与与z= (w)互为单值的反函数，且互为单值的反函数，且(w) 0例例2 问：函数问：函数f (z)=x+2yi是否可导？是否可导？例例1解解解解例例3 证明证明 f (z)=zRez只在只在z=0处才可导处才可导证明证明A (1) (1) 复变函数在一点处可导，要比实函数复变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多，也复杂得在一点处可导要求高得多，也复杂得 多，这是因为多，这是因为ΔΔz z→0→0是在平面区域上是在平面区域上 以任意方式趋于零的原因以任意方式趋于零的原因 (2) (2) 在高等数学中要举出一个处处连续，在高等数学中要举出一个处处连续， 但处处不可导的例题是很困难的但处处不可导的例题是很困难的, , 但在复变函数中，却轻而易举但在复变函数中，却轻而易举3)可导与连续可导与连续若若 w=f (z) 在点在点 z0 处可导处可导 w=f (z) 点点 z0 处连续处连续.?2. 解析函数的概念解析函数的概念定义定义 如果函数如果函数w=f (z)在在z0及及z0的某个邻域内处处的某个邻域内处处 可导，则称可导，则称f (z)在在z0解析；解析； 如果如果f (z)在区域在区域D内每一点都解析，则称内每一点都解析，则称 f (z)在在D内解析，或称内解析，或称f (z)是是D内的解析函内的解析函数数 (全全 纯函数或正则函数）纯函数或正则函数）。

如果如果f (z)在点在点z0不解析，就称不解析，就称z0是是f (z)的的奇点奇点A (1)w=f(z)在在D内解析内解析 在在D内可导 (2)函数函数f (z)在在z0点可导，未必在点可导，未必在z0解析例如例如• w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面在整个复平面处处可导，故是整个复平面 上的解析函数；上的解析函数；定理定理 设设w=f (z)及及w=g(z)是区域是区域D内的解析函数，内的解析函数，则则f (z)±g(z)，，f (z)g(z)及及f (z)  g(z) (g (z)≠0时时)均是均是D内的解析函数内的解析函数• w=zRez在整个复平面上处处不解析在整个复平面上处处不解析(见例见例3)• w=1/z，，除去除去z=0点外，是整个复平面上的解析点外，是整个复平面上的解析函数；函数；定理定理 设设w=f (h)在在h 平面上的区域平面上的区域G内解析，内解析， h=g(z)在在z平面上的区域平面上的区域D内解析内解析, h=g(z)的函数值集合的函数值集合 G，，则复合函数则复合函数 w=f [g(z)]在在D内处处解析。