行程问题之追及问题基础和提高(详细答案和相应练习作业).pdf

1 www.1smart.org 400-010-0868行程之追及问题有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他 . 这就产生了 “追及问题” . 实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）. 如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：追及路程＝甲走的路程- 乙走的路程＝甲的速度×追及时间- 乙的速度×追及时间＝（甲的速度- 乙的速度）×追及时间＝速度差×追及时间. 一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差×追及时间【例 1】★ 甲乙两人分别从相距18 千米的西城和东城向东而行，甲骑自行车每小时行14 千米，乙步行每小时行5 千米，几小时后甲可以追上乙？【解析】甲乙两人分别从相距18 千米的西城和东城向东而行，甲骑自行车每小时行14 千米，乙步行每小时行5 千米，几小时后甲可以追上乙？18÷（ 14－5）＝ 2（小时）【例 2】★ 哥哥和弟弟去人民公园参观菊花展，弟弟每分钟走50 米，走了 10 分钟后，哥哥以每分钟70 米的速度去追弟弟，问：经过多少分钟以后哥哥可以追上弟弟？【解析】哥哥和弟弟去人民公园参观菊花展，弟弟每分钟走50 米，走了 10 分钟后，哥哥以每分钟 70 米的速度去追弟弟，问：经过多少分钟以后哥哥可以追上弟弟？典型例题知识梳理2 www.1smart.org 400-010-0868（50×10）÷（ 70－50）＝ 25（分钟）【小试牛刀】 小红和小明分别从西村和东村同时向西而行，小明骑自行车每小时行16 千米，小红步行每小时行5 千米， 2 小时后小明追上小红，求东西村相距多少千米？【解析】小红和小明分别从西村和东村同时向西而行，小明骑自行车每小时行16 千米，小红步行每小时行5 千米， 2 小时后小明追上小红，求东西村相距多少千米？（16－5）× 2＝22（千米）【例 3】 ★★ 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行40 千米，开出5 小时后，一列火车以每小时 90 千米的速度也从甲地开往乙地。

在甲乙两地的中点处火车追上汽车，甲乙两地相距多少千米？【解析】一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行40 千米，开出5 小时后，一列火车以每小时90 千米的速度也从甲地开往乙地在甲乙两地的中点处火车追上汽车，甲乙两地相距多少千米？40× 5÷（ 90－40）＝ 4（小时） ,, 追及时间40×（ 5＋4）＝ 360（千米） ,, 汽车速度×汽车时间＝汽车路程360×2＝720（千米） ,, 全程【小试牛刀】小云以每分钟40 米的速度从家去商店买东西，5 分钟后，小英去追小云，结果在离家600 米的地方追上小云，小英的速度是多少？【解析】 40×5＝200（米） ,, 实际追及路程每 5 分钟行 200 米， 600－200＝400（米），小云又走了10 分钟，其实这10 分钟就是追及时间 200÷10＝20（速度差） 40＋20＝60（米） ,, 小英的速度【例 4】★★ 一队中学生到某地进行军事训练，他们以每小时5 千米的速度前进，走了6 小时后，学校派秦老师骑自行车以每小时15 千米的速度追赶学生队伍，传达学校通知秦老师几小时可追上队伍？追上时队伍已经行了多少路？【解析】 5× 6＝30（千米） ,, 秦老师出发时队伍已经行的路程，也就是追及路程。

30÷（ 15－5）＝ 3（小时） ,, 追及时间5×（ 6＋3）＝ 45（千米） ,, 队伍总走的路程【小试牛刀】小明步行上学，每分钟行70 米，离家 12 分钟后，爸爸发现小明的文具盒忘记在家里，立即骑自行车以每分钟280 米的速度去小明， 那么爸爸出发后几分钟追上小明？【解析】实际追及距离是 70 ×12＝840（米）3 www.1smart.org 400-010-0868840÷（ 280－ 70）＝ 4（分钟）【例 5】★甲、乙两车分别从A 、 B 两地出发，同向而行，乙车在前，甲车在后．已知甲车比乙车提前出发1小时，甲车的速度是96 千米 / 小时，乙车每小时行80 千米．甲车出发5 小时后追上乙车，求A 、 B 两地间的距离．【解析】由已知可求出甲、乙两车的追及时间，利用追及问题的公式求解．追及时间为：51=4（小时）追及路程为：9680464（）（千米）A、B两地间的距离为：96164160（千米）【例 6】★★ 甲每分钟行80 米，乙每分钟行50 米，在下午1：30 分时，两人在同地背向而行了 6 分钟，甲又调转方向追乙，则甲在几点的时候追上乙？【解析】相背行了6 分钟，两人相距（80＋50）× 6＝780（米），这其实就是需要追及的路程。

780÷（ 80－50）＝ 26（分钟） ,, 追及时间，这样1时 30 分＋ 6 分＋ 26 分＝ 2 时 2 分追上乙小试牛刀】张飞每分钟走70 米，赵云每分钟走60 米，两人同时从同一地点背向走了3分钟，张飞掉头去追赵云，追上赵云时张飞共走了多少米？【解析】 张飞走的时间是两部分，一部分是和赵云背向走的时间，另一部分是赵云追他的时间，要求追及时间，就要求出他们的路程差．路程差是两人相背运动的总路程：(6070)3390（米）追及时间为：390(7060)39（分钟）张飞走的总路程为：70(3930)=2940（米）【例 7】★★★ 某学校组织学生去长城春游，租用了一辆大客车，从学校到长城相距150 千米大客车和学校的一辆小汽车同时从学校出发，当小汽车到长城时，大客车还有30 千米已知大客车每小时行60 千米，则小汽车比大客车快多少千米？【解析】大客车实际行驶了150－30＝120（千米），120÷60＝2（小时），实际行驶了2 小时（包括小汽车也是行驶这个时间），150÷2＝75（千米） ,, 小汽车行驶速度，75－60＝15（千米） ,, 速度差【例 8】★ 甲、乙两人同时从东村出发到西村，甲的速度是每小时6 千米，乙的速度是每小4 www.1smart.org 400-010-0868时 4 千米，甲中途有事休息了2 小时，结果比乙迟到了1 个小时，求两村相隔的距离？【解析】 甲休息 2 小时相当于乙比甲先行2 小时， 甲比乙迟到1 小时， 现当于乙只比甲先行了 1 小时， 4×1＝ 4千米, 追及路程4÷（ 6－ 4）＝ 2（小时） 6×2＝12（千米） ,, 两村的距离【例 9】 ★★ 甲地和乙地相距40 千米，八戒和九戒由甲地骑驴去乙地，八戒每小时行14 千米，九戒每小时行17千米，当八戒走了6 千米后，九戒才出发，当九戒追上八戒时，距乙地还有多少千米？【解析】八戒走了6千米后，九戒才出发，这6千米就是八戒和九戒相距的路程．由于九戒每小时比八戒多走17143（千米），要求九戒几小时可以追上6千米，也就是求6千米里包含着几个3千米，用632（小时）．因为甲地和乙地相距40千米，九戒每小时行17千米，2小时走了17234（千米），所以九戒追上八戒时，距乙地还有40346（千米）【小试牛刀】小聪和小明从学校到相距2400 米的电影院去看电影．小聪每分钟行60 米，他出发后 10分钟小明才出发，结果俩人同时到达影院，小明每分钟行多少米？【解析】要求小明每分钟走多少米，就要先求小明所走的路程（已知）和小明所用的时间；要求小明所用的时间，就要先求小聪所用的时间，小聪所用的时间是：24006040（分钟） ， 小明所用的时间是：401030（分钟）， 小明每分钟走的米数是：24003080（米）．【例 10】★★ 甲、乙两车同时从A 地向 B 地开出，甲每小时行38 千米，乙每小时行34 千米，开出 1小时后，甲车因有紧急任务返回A 地；到达 A 地后又立即向B 地开出追乙车，当甲车追上乙车时，两车正好都到达B 地，求 A、 B 两地的路程．【解析】根据题意画出线段图：从图中可以看出，当甲开始追乙的时候两车的路程差正好是乙车已经行驶的2小时的路程，那么根据追及路程和速度差可以求出追及时间，而追及时间正好是甲车从A地到B地所用的时间，由此可以求出A、B两地的路程追及路程为：34268（千米）5 www.1smart.org 400-010-0868追及时间为：68(3834)17（小时）A、B两地的路程为：3817646（千米）【小试牛刀】甲、乙两辆汽车同时从A 地出发去 B 地，甲车每小时行50 千米，乙车每小时行 40 千米．途中甲车出故障停车修理了3小时，结果甲车比乙车迟到1小时到达B 地． A 、B两地间的路程是多少？【解析】 由于甲车在途中停车3小时，比乙车迟到1小时， 说明行这段路程甲车比乙车少用2小时．可理解成甲车在途中停车2小时，两车同时到达，也就是乙车比甲车先行2小时，两车同时到达B地，所以，也可以用追及问题的数量关系来解答．即：行这段路程甲车比乙车少用的时间是：312（小时），乙车2小时行的路程是：40280（千米），甲车每小时比乙车多行的路程是：504010（千米），甲车所需的时间是：80108（小时），A、B两地间的路程是：508400（千米）．【例 11】★★★ 军事演习中， “我”海军英雄舰追击“敌”军舰，追到A 岛时，“敌”舰已在10 分钟前逃离，“敌”舰每分钟行驶1000 米， “我”海军英雄舰每分钟行驶1470 米，在距离 “敌”舰 600米处可开炮射击， 问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰？【解析】“我”舰追到A岛时，“敌”舰已逃离10分钟了，因此，在A岛时，“我”舰与“敌”舰的距离为10000米（100010）．又因为“我”舰在距离“敌”舰600米处即可开炮射击，即“我”舰只要追上“敌”舰即可开炮射击．所以，在这个问题中，不妨把100006009400米当作路程差，根据公式求得追及时间．即(100010600)(14701000)940047020（分钟）所以，经过20分钟可开炮射击“敌”舰．【小试牛刀】一列慢车在早晨6：30 以每小时40 千米的速度由甲城开往乙城，另一列快车在早晨 7：30 以每小时56 千米的速度也由甲城开往乙城。

铁路部门规定，向相同方向的两列火车之间的距离不能小于8 千米那么，这列慢车最迟应该在什么时候停车让快车超过？【解析】一列慢车在早晨6：30 以每小时40 千米的速度由甲城开往乙城，另一列快车在早晨 7：30 以每小时56 千米的速度也由甲城开往乙城铁路部门规定，向相同方向的两列火6 www.1smart.org 400-010-0868车之间的距离不能小于8 千米那么，这列慢车最迟应该在什么时候停车让快车超过？追及路程：（ 7：30－6：30）× 40＝40（千米） 40 － 8＝32（千米）32÷（ 56－40）＝ 2（小时） ,, 追及时间7：30＋2 小时＝ 9 点 30 分【例 12】★★★ 一条环形跑道长400 米，小强每分钟跑300 米，小星每分钟跑250 米，两人同时同地同向出发，经过多长时间，小强第一次追上小星？【解析】 400÷（ 300－250）＝ 8（分钟）【小试牛刀】在一条长300 米的环形跑道上，甲乙两人同时从一起点出发，同向而跑，甲每秒跑 9 米，乙每秒跑7 米，现在乙在甲后面100 米，问：甲追上乙要多少时间？【解析】（300－100）÷（ 9－7）＝ 100（秒）1. 甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶10 千米后乙才开始出发，甲每小时行驶15 千米，乙每小时行驶10 千米，问：乙经过多长时间能追上甲？【解析】出发时甲、乙二人相距10 千米，以后两人的距离每小时都缩短15-10＝ 5（千米），即两人的速度的差（简称速度差），所以 10 千米里有几个5 千米就是几小时能追上 .10 ÷（15-10 ）＝10÷5＝ 2（小时），还需要2 个小时。

2. 解放军某部先遣队，从营地出发，以每小时6 千米的速度向某地前进，12 小时后，部队有急事，派通讯员骑摩托车以每小时78 千米的速度前去联络，问多少时间后，通讯员能赶上先遣队？【解析。