2023年解一元二次方程.docx

21.2　解一元二次方程21.2.1　配方法第1课时　直接开平方法知识要点基础练知识点1　用直接开平方法解一元二次方程1.用直接开方法解下列二次方程,其中无解的是(C)A.x2-1=0 B.x2=0C.x2+4=0 D.-x2+3=02.方程x2=32的解是(C)A.x=3 B.x=-3C.x=±3 D.x=±33.一元二次方程(x+2019)2-1=0的解是(A)A.x=-2019或x=-2019 B.x=-2019C.x=-2019 D.x=-20194.用直接开平方法解下列方程.(1)9x2=25;解:方程开方得3x=5或3x=-5,解得x1=53,x2=-53.(2)2x2-98=0;解:方程变形得x2=49,开方得x1=7,x2=-7.(3)3(x-1)2=2.7.解:方程变形得(x-1)2=0.9,开方得x-1=±31010,解得x1=1+31010,x2=1-31010.知识点2　变形后用直接开平方法解一元二次方程5.方程4x2-12x+9=0的解是(C)A.x=0 B.x=1C.x=32 D.无法确定6.若(x2+y2)2-6(x2+y2)+9=16,则x2+y2=　7　. 7.用直接开平方法解下列方程.(1)16x2-8x+1=2;解:16x2-8x+1=2,则(4x-1)2=2,所以4x-1=±2,即x1=1+24,x2=1-24.(2)(2y-1)2=(3y+4)2.解:由已知得2y-1=±(3y+4),所以2y-1=3y+4,或2y-1=-3y-4,即y1=-5,y2=-35.【变式拓展】已知方程(x-1)2=m-1有实数解,则化简(m-1)2=　m-1　. 综合能力提升练8.若关于x的方程(x+5)2=m-2有两个不相等的实数根,则m的取值范围是(C)A.m>0 B.m≥2C.m>2 D.m≠29.如图,是一个简单的数值运算程序,则输入x的值为(B)输入x(x-1)2×(-3)输出-27A.3或-3 B.4或-2C.1或3 D.2710.若(x2+y2-3)2=25,则x2+y2的值为(A)A.8 B.8或-2C.-2 D.511.若关于x的方程a(x+m)2+n=0(a,m,n均为常数,m≠0)的解是x1=-2,x2=3,则方程a(x+m-5)2+n=0的解是(D)A.x1=-2,x2=3 B.x1=-7,x2=-2C.x1=3,x2=-2 D.x1=3,x2=812.若对于任意实数a,b,c,d,定义abcd=ad-bc.按照定义,若x+1xx-12x-3=0,则x的值为(D)A.3 B.-3 C.3 D.±3【变式拓展】在实数范围内定义运算“☆”,其规则为a☆b=a2+b2,则方程(2☆1)☆x=29的解为x=　±2　. 13.给出一种运算:对于函数y=xn,规定y'=nxn-1.例如:若函数y=x4,则有y'=4x3.已知函数y=x3,则方程y'=12的解是(B)A.x1=4,x2=-4 B.x1=2,x2=-2C.x1=x2=0 D.x1=23,x2=-214.(1)方程(x-1)2=5的非负数解是x= 5+1　; (2)方程(x+22-5)2=8的整数解是x=　5　. 15.若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根是3m+1与m-9,则ba=　49　. 16.已知n是不等式3n+2≥2n-2的最小整数解,试求关于x的方程x2+4n=0的解.解:解不等式得n≥-4,则n=-4,方程可化为x2-16=0,移项得x2=16,解得x=±4.17.已知一元二次方程(x-3)2=1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长,求△ABC的周长.解:∵(x-3)2=1,∴x-3=±1,解得x1=4,x2=2.∵一元二次方程(x-3)2=1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长,∴①当底边长和腰长分别为4和2时,4=2+2,此时不能构成三角形;②当底边长和腰长分别是2和4时,△ABC的周长为2+4+4=10.拓展探究突破练18.定义[x]表示不超过实数x的最大整数,如[1.8]=1,[-1.4]=-2,[-3]=-3.函数y=[x]的图象如图所示,则方程[x]=12x2的解为(A)A.0或2或2B.0或2C.1或-2D.2或-2第2课时　配方法知识要点基础练知识点1　用配方法解二次项系数为1的一元二次方程1.把x2-7x=31配方,需在方程的两边都加上(D)A.7 B.49 C.4.9 D.4942.填空:(1)x2-2x+　1　=(x-　1　)2; (2)x2+6x+　9　=(x+　3　)2; (3)x2-5x+ 254　=x- 52 2. 3.解方程:x2-8x=5.解:∵x2-8x=5,∴(x-4)2=5+16,即(x-4)2=21.∴x-4=±21,∴x1=21+4,x2=-21+4.知识点2　用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程4.用配方法解方程2x2-8x-1=0,则方程可变形为(D)A.(x-2)2=12 B.2(x-1)2=12C.(2x-1)2=1 D.(x-2)2=92【变式拓展】把方程2x2-3x+1=0化为(x+a)2=b的形式,正确的结果为(C)A.x-322=16 B.2x-342=116C.x-342=116 D.以上都不对5.把方程2x2-4x-1=0化为(x+m)2=n的形式,则m,n的值是(B)A.m=2,n=32 B.m=-1,n=32C.m=1,n=4 D.m=n=26.用配方法解下列方程.(1)2x2-7x-3=0;解:∵2x2-7x-3=0,∴x2-72x=32,∴x2-72x+4916=32+4916,∴x-742=7316,∴x-74=±734,∴x1=7+734,x2=7-734.(2)4x2-6x-4=0.解:∵4x2-6x-4=0,∴x2-32x=1,∴x2-32x+-342=1+-342,∴x-342=2516,∴x-34=±54,解得x1=2,x2=-12.综合能力提升练7.若一元二次方程x2+bx+5=0配方后为(x-3)2=k,则b,k的值分别为(D)A.0,4 B.0,5C.-6,5 D.-6,48.已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式,那么x2-6x+q=2可以配方成下列的(B)A.(x-p)2=6 B.(x-p)2=9C.(x-p+2)2=5 D.(x-p+2)2=89.设a,b是两个整数,若定义一种运算“△”,a△b=a2+b2+ab,则方程(x+2)△x=1的实数根是(C)A.x1=x2=1 B.x1=0,x2=1C.x1=x2=-1 D.x1=1,x2=-210.已知P=m2-2m,Q=2m-4,则P,Q的大小关系为(A)A.P≥Q B.P>QC.P≤Q D.Pb,则2a-b的值为(D)A.-57 B.63 C.179 D.18113.已知方程x2+6x+n=0可以配方成(x-m)2=7,则(m+n)2019=　1　. 14.若方程25x2-(m-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式,则m的值为　-9或11　. 15.若方程x2-8x+1=0能配方成(x-p)2+q=0的形式,则直线y=px+q不经过的象限是　第二象限　. 16.用配方法解下列方程.(1)14x2-3x+3=0;解:∵14x2-3x+3=0,∴x2-12x+12=0,即(x-6)2=24,∴x1=6+26,x2=6-26.(2)3x2+8x-3=0.解:∵3x2+8x-3=0,∴x2+8x3=1,∴x+432=1+169,即x+432=259.∴x+43=±53,∴x1=13,x2=-3.17.当x为何值时,代数式5x2+7x+1和代数式x2-9x+15的值相等?解:使这两个代数式相等,即5x2+7x+1=x2-9x+15,∵4x2+16x=14.∴x2+4x=72,∴x2+4x+4=152,∴(x+2)2=152,∴x+2=±302,∴x1=-2+302,x2=-2-302.18.用两根长度均为a的铁丝分别围成的一个长方形和一个正方形,设长方形长为x.(1)若长方形的长宽比为3∶2,求长方形的面积;(2)求证:长方形的面积不大于正方形的面积.解:(1)∵长方形长为x,则宽为12×(a-2x),由题意得,x∶12×(a-2x)=3∶2,解得x=310a,则12×(a-2x)=15a,长方形的面积为310a×15a=350a2.(2)∵长方形的面积为x×12×(a-2x)=-x2+12ax=-x-a42+a216,∴长方形的面积的最大值是a216,又∵正方形的面积为a42=a216,∴长方形的面积不大于正方形的面积.拓展探究突破练19.学完配方法解方程后,合肥育英中学的数学老师讲了这样一道题.已知x2-2x+y2+4y+5=0,求x,y.则有(x2-2x+1)+(y2+4y+4)=0,∴(x-1)2+(y+2)2=0.解得x=1,y=-2.根据老师的方法解下列各题:(1)已知x2-4x+y2+6y+13=0.求(x+y)2019的值;(2)若a,b,c表示△ABC的三边,且a2+b2+c2-ac-ab-bc=0,试判断△ABC的形状,并说明理由.解:(1)∵x2-4x+y2+6y+13=0,∴(x-2)2+(y+3)2=0,∴x=2,y=-3,∴(x+y)2019=(2-3)2019=1.(2)△ABC为等边三角形.理由如下:∵a2+b2+c2-ac-ab-bc=0,∴2a2+2b2+2c2-2ac-2ab-2bc=0,即a2+b2-2ab+b2+c2-2bc+a2+c2-2ac=0,∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,∴a-b=0,b-c=0,c-a=0,∴a=b=c,∴△ABC为等边三角形.21.2.2　公式法知识要点基础练知识点1　一元二次方程根的判别式1.下列的一元二次方程有实数根的是(B)A.3x2-2x+1=0 B.x2-1=-3xC.x2-3x+5=0 D.(x-3)2+2=02.一元二次方程2x2-4x+1=0的根的情况是(B)A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根3.不解方程,判断方程根的情况.(1)2y2+5y+6=0;解:2y2+5y+6=0,Δ=b2-4ac=52-4×2×6=25-48=-23<0,∴方程2y2+5y+6=0没有实数根.(2)2x2=3x+1;解:由已知得2x2-3x-1=0,Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×(-1)=17>0,∴方程2x2=3x+1有两个不相等的实数根.(3)4y(4y-6)+9=0.解:由已知得16y2-24y+9=0,Δ=b2-4ac=(-24)2-4×16×9=576-576=0,∴方程4y(4y-6)+9=0有两个相等的实数根.知识点2　用公式法解一元二次方程4.用公。