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第2章 误差理论第2章 误差理论2.1 误差研究的意义(1)正确处理实验数据 (2)合理选取所得结果的误差3)合理地选择实验仪器、条件和方法，以便以最经济的方式得到满足要求的结果对于从事实验科学的工作者，掌握实验数据的科学处理方法，熟悉有关误差的基本理论是十分必要的2.2 真值与试验数据的位置特征参数2.2.1 真值 什么是真值？一般地说，由于自然界中的一切物体都处于永恒的运动中，人们对客观存在的真值是不可能准确知道的理论上说，真值是指测定次数无限多时求得的平均值人们通常所说的真值有如下几种： (1)理论真值例如，平面三角形的三内角之和恒为180º 又如，同一量值自身之差为零，而自身之比为1此外还有理论设计和理论公式表达值等等 (2)计量学约定真值它指的是国际会议和标准化组织或国际上公认的量值 (3)相对真值如国家标准样品的标称值或用标准仪器所测得的值等 此外，不可能准确知道一个量的真值因为我们平时测定的次数总是有限的，所以其平均值只能是真值的估计量或称近似值2.2.2 试验数据的位置特征参数 试验数据的位置特征参数是表示试验数据的集中性的指标。

在处理实验结果时，常用的试验数据的位置特征参数有以下几种：1．算术平均值 算术平均值是常用的一种平均值设x1 , x2 , … , xn 代表各次测定值，n代表测定次数，则算术平均值 (2.1) 算术平均值的一个重要性质，就是若测定值的分布服从正态分布，则算术平均值即为一组等精度测量中的最佳值，或称为最可信赖值2．加权算术平均值 设x1 , x2 , … , xn代表各次测定值，ω1 , ω2 , … , ωn 代表各次测定值对应的权，则加权算术平均值(或简称加权平均值)3．对数平均值 在化学反应、热量传递及质量传递中，其分布曲线多具有对数的特性在这种情况下表征平均值的量就应该用对数平均值 设两个量x1,x2，其对数平均值是这两个量的差与它们的自然对数的差之比，即 (2.4) 可以指出，变量的对数平均值总小于算术平均值，如果变量间相差甚小时，可用算术平均值代替对数平均值，而并无多大误差x1与x2间之差愈小，其误差亦愈小对于这一点，教材中有证明2.3 误差的表示方法 常见的误差表示方法有以下几种：1．绝对误差 某量值的绝对误差定义为该量的给出值x(包括实验值、计算近似值等要研究和给出的非真值)与真值A(包括理论真值、约定真值和相对真值等)之差，即 △x = x - A = 給出值 - 真值 (2.8)如果误差的绝对值愈小，则表示结果与真值愈接近，给出值的准确度愈高；反之，误差的绝对值愈大，给出值的准确度愈低。

若给出值大于真值，则误差为正值；反之，误差则为负值绝对误差是反映给出值偏离真值大小的 请注意，严格地说，绝对误差并非误差的绝对值例如，用标准仪器测得某物理量的值为1.728(可看作是真值A)，而用另一台普通仪器测得该物理量的值为1.730，则测量值的绝对误差为 △x=1.730-1.728=0.002若另一次测量值为1.725，其绝对误差为： △x=1.725-1.728= -0.003 绝对误差是有单位的，其单位与给出值的单位相同 在绝大多数情况下，由于真值无法知道，常常需要借助于误差范围来表示误差任何测量都有一定的误差范围，因此可以用测量的误差范围来确定一个量的真值范围例如，用分析天平测得一块金属重3.2803(g)，已知分析天平称量的误差范围是±0.0001(g),则该金属块的真值范围是3.2803±0.0001(g)这里所说的误差范围又称为最大绝对误差习惯上，人们又把最大绝对误差称为绝对误差最大绝对误差的量值前面一般都加“±”号，这是与式(2.8)所定义的绝对误差不同的2. 相对误差 相对误差是指绝对误差在真值中所占的百分率，即 % (2.9) 在误差较小时，测定值x与真值A接近，故人们常常将绝对误差与测定值之比作为相对误差，即 % (2.10) 例2-1 用分析天平测得某一金属块的重量为4.1854 (g)，而用半微量天平测得该金属块的重量为4.18544(g)(可看作真值)，试求相对误差。

解： △x = x-A = 4.1854-4.18544 = -0.00004(g)相对误差 % 或 % 用最大绝对误差计算出的相对误差称为最大相对误差如例2-1中测量值4.1854(g)的最大绝对误差为±0.0001(g)，则最大相对误差为 在用同一仪器进行测量时，不论被测量的量值多大，它们的最大绝对误差都是相同的但相对误差却有不同例如用台秤称量两个物体的重量分别为102(g)和5(g)，称量的最大绝对误差为±1(g)，而相对误差分别为 可见用相对误差来表示实验结果的误差，才能准确地表明实验结果是否有意义 在实际工作中，往往遇到这种情况，为了获得更准确的结果，在相同条件下需进行多次重复测定这种情况下的重复测定又称为平行测定或等精度测定这时若测量仪器已经进行过校准，则测定值的误差往往用下面的几种方法表示3．极差 是一组测定值中最高值和最低值之差，用以说明误差变化是范围极差的定义式为 (2.11)式中xmax ，xmin分别为测定值中的最高值和最低值4．算术平均误差 算术平均误差(或称为平均偏差)简称为平均误差。

其定义为 (2.12)式中n为测定次数，为测定值的算术平均值，xi为第i次测定值5．标准差 标准差是标准误差的简称，又称为标准偏差当测定次数为无穷时，其定义为 (2.13) 在有限次测定中，标准差可用下式表示，即 (2.14) 标准差是现在文献中常用的一种表示误差的较好的方法它不但与一组测定值中每个数据有关，而且对其中较大误差或较小误差敏感性很强，能明显反映出较大的个别误差，这是算术平均误差所不及的实验愈精确，标准误差愈小用计算器的统计计算功能计算标准差是相当容易的2.4 误差的来源及分类1.系统误差 系统误差也叫可定误差，它是由于实验过程中某些经常发生的原因所造成的，它对测定结果的影响比较固定，在同一条件下重复测定时，它会重复出现因此，该误差的大小往往可以估计，并可设法减小或加以校正系统误差产生的主要原因有：(1)方法误差 (2)仪器误差 (3)操作误差2．随机误差 随机误差也称为偶然误差当在测量中，已经消除了引起系统误差的一切因素，并且观测者又正确细心地进行测量，但重复测定时，所得的结果并不完全一致。

这就是由于随机误差所造成的随机误差是由于很多无法估计的、各种各样的随机原因所引起的误差在单次测定中，随机误差的大小及其符号是无法预言的，没有任何规律性但在多次等精度测定中，随机误差的出现还是有规律的它具有统计规律性(参见2.6) 随机误差量值的大小，往往用标准差来表示随机误差是不可避免的，实验工作者可设法将它大大减小，但不可能完全消除它3．过失误差 过失误差是由于实验工作中粗枝大叶，操作不正确而引起的误差其鉴别依据是观测结果与事实不符只要实验工作人员加强责任心，严格遵守操作规程，一丝不苟，认真细致地进行实验，过失误差是可避免的应该指出，要估计的误差只有系统误差和随机误差这两类2.6 随机误差的统计分布随机误差的正态分布 根据随机误差的特性，可以总结出一个结论，即随机误差的出现是遵循正态分布规律的设在一定条件下，对某一个量x进行多次等精度测定，得一系列结果 x1，x2，…，xn，则各个测得值出现的概率密度分布可以用下面的正态分布函数来表达： (2.16)式中，x表示测量值；μ是总体均值，即无限次测定数据的平均值，在不存在系统误差的情况下，它就是测定量的真值，μ亦称为正态分布的均值；σ是正态分布的总体标准差，亦称均方差，而σ2称为正态分布的方差；(x-μ)表示随机误差。

如图2-2所示图2-2 正态分布密度函数由图2-2可见，正态分布曲线是关于直线x=μ对称的当x=μ时，f(x)达到极大值 f(x)总是取正值μ与σ是正态分布的两个参数，当确定了μ与σ，正态分布就完全被确定了均值μ决定了分布集中的位置标准差σ决定了曲线的“胖”“瘦”，它用来表征数据的分散程度σ小，数据集中，分布曲线“瘦高”；反之，数据分散程度大，分布曲线“矮胖” 根据本节前两小节的讨论，显然用正态分布来描述测定中的随机误差是非常合适的2.7 有效数字近似值的有效数字 由于对某一物理量进行测量的结果或由测试数据计算出的结果均有误差，所以可用一个近似值来表示那么，这些近似值究竟用多少位数字表示才合适呢？有的人误认为近似值小数点后保留的数字的位数愈多愈准确其实不然，小数点的位置与所采用的单位大小有关例如，记某长度的数据为20.5cm和0.205m的准确度是完全一样的应该明确的是，一个近似值的有效数字位数愈多，该近似值愈准确那么，什么是有效数字呢？ 通常，用数值来表示一个近似结果时，只能保留一位不准确数字，其余数字都应该是准确的此时，我们把可靠的几位数字再加上可疑的一位数字统称为有效数字。

换句话说，有效数字是指一个近似结果具有实际意义的数字 根据有效数字的含义，有效数字的最后一位是有误差的我们可以这样理解有效数字：从误差所在的那一位算起，包括这一位以上的数字(定位用的“0”除外)，都是有效数字 由近似值的误差和有效数字的定义，可以正确地写出近似值的结果任何近似结果，其数值的最后一位都要与误差所在的一位取齐例如．用台称称量一小块物体的重量为12.0(g)，该称量的最大绝对误差为±0.1(g)，因此这个量的记录结果应当是12.0(g)或写成12.0±0.1(g)，12.0的最后一位是有误差的，其真实重量在11.9～12.1(g)之间显然，若将这个测量结果写为12.01(g)或11.99(g)等都是没有意义的 对于单次直接测量的结果的有效数字由估计的绝对误差确定；多次直接测量的结果，一般用算术平均值来表示测量的近似值，其有效数字由平均值的绝对误差来决定；对于间接测量，应当先求出结果的绝对误差，然后再根据结果的绝对误差来确定有效数字 从有效数字来看，表示一个近似结果时，数字“0”在不同的位置而具有不同的意义若作为普通数字使用，它也是有效数字如测定数据2.50并不等价于2.5，前者有三位有效数字，而后者有两位有效数字。

近似结果1.000有四位有效数字显然，数据后边的“0”既不能随便加上，也不能随便去掉 当用数字“0”来表示小数点的位置时，“0”不是有效数字如0.0025表示有两位有效数字；0.00250表示有三位有效数字。