新高考与数学教学习题：人教A版选修2-1课本例题习题改编.doc

- 1 -人教 A 版选修 2-1 课本例题习题改编湖北省安陆市第一高级中学 伍海军 597917478@.com1. 原题（选修 2-1 第四十一页例 3）改编 已知点 A、B 的坐标分别是 A（0 ，-1 ） ，B（0 ，1） ，直线 AM、BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是-t ，t∈ （0 ，1]．求 M 的轨迹方程，并说明曲线的类型．解：设 M（x，y） ，则 (x≠0)， (x≠0)， =-t， 10Bykx(1)AMykxBAkyx=-t(x≠ 0)，整理得 1(x≠0)（1）当 t∈（0，1 ）时，M 的轨迹为椭圆（除(1)02t去 A 和 B 两点） ；（2）当 t=1 时，M 的轨迹为圆（除去 A 和 B 两点） ．2. 原题（选修 2-1 第四十七页例 7）改编 在直线 ： 上任取一点 M，过点 M 且l04yx以双曲线 的焦点为焦点作椭圆．(1)M 点在何处时，所求椭圆长轴最短； (2)求132yx长轴最短时的椭圆方程．解：(1) 故双曲线.4,, 222bacba的两焦点 过 向 引垂直132yx ),0(,(21F2l线 ： ，求出 关于 的对称点 ，则 的‘l l‘2F坐标为（4，2） （如图） ， 直线 的方程为21。

∴ ，解得 03yx.04,3yx.23,5yx∴ 即为所求的点.此时， =)2,5(M1MF2'12'1F0(2)设所求椭圆方程为 ，∴ ∴ ∴2byax,0ca .64cab所求椭圆方程为 .16023. 原题（选修 2-1 第四十九页习题 2.2A 组第八题）改编 已知椭圆与双曲线共焦点，且过（ ，0） （1 ）求椭圆的标准方程． （2）求斜率为 2 的一组平21xy2行弦的中点轨迹方程． - 2 -解：（1）依题意得，将双曲线方程标准化为 =1，则 c=1．∵椭圆与双曲线共焦点，21xy∴设椭圆方程为 =1，∵椭圆过（ ，0） ，∴ =1，即 =2，∴椭圆21xya2201a2a方程为 =1．2（2 ）依题意，设斜率为 2 的弦所在直线的方程为 y=2x+b，弦的中点坐标为（x，y） ，则 y=2x+b 且 =1 得 ，∴ ， ．即 x=2xy2980xb1289b129by，y= ，两式消掉 b 得 y= x．令△=0， ，即 b=±3，所以斜49b14643()0b率为 2 且与椭圆相切的直线方程为 y=2x±3，即当 x=± 时斜率为 2 的直线与椭圆相切．所以平行弦得中点轨迹方程为：y= x（ ≤x≤ ） ．34．原题（选修 2-1 第六十一页习题 2.3A 组第一题）改编 、 是双曲线 的1F22160xy焦点，点 P 在双曲线上，若点 P 到焦点 的距离等于 9，则点 P 到焦点 的距离等于 1F2解：∵双曲线 得：a=4，由双曲线的定义知||P |-|P ||=2a=8，|P |=9，2160xy121F∴|P |=1＜（不合，舍去）或|P |=17，故|P |=17．2F225．原题（选修 2-1 第六十二页习题 2.3B 组第四题）改编 经过点 A（2，1 ）作直线 L 交双曲线 于 ， 两点，求线段 的中点 P 的轨迹方程．21yxP212解：设直线 L 的方程为 y=k（x-2）+1， （1） ；将（1 ）式代入双曲线方程，得：， （2 ） ；222()(4)430kxkxk又设 （ ， ） ， （ ， ） ，P(x，y)，则 ， 必须是（2）的两个实根，所以有1Px1y22y1x+ = ( -2≠0)．按题意，x= ，∴x= ．因为(x，y)在直线（1）上，124k22k所以 y=k(x-2)+1= +1= ．再由 x， y 的表达式相除后消去 k 而得所求轨2()k(1)k - 3 -迹的普通方程为 ，这就是所求的轨迹方程．2214()8()7yx6．原题（选修 2-1 第七十二页练习题 3）改编 过动点 M（ ，0）且斜率为 1 的直线 与抛al物线 交于不同的两点 A、 B，试确定实数 a 的取值范围，使 ．)0(2pxy |2ABp解：由题意，直线 的方程为 ，将 ，得laxypxyxy2代 入．)(22axx设直线 与抛物线的两个交点的坐标为 、 ，l ),(1yxA),(2yB则 又 ，.),(204)(1axpax21,∴ ．212)()(| yAB]4)[(2121)2(8ap∵ ， ∴ ．08,|0apap8解得 ． 故 时，有 ．42ap]4,2(|AB7. 原题（选修 2-1 第七十三页习题 2.4A 组第六题）改编 直线 l 与抛物线 相交于2yxA、B 两点，O 为抛物线的顶点，若 OA⊥OB ．则直线 l 过定点 解：设点 A，B 的坐标分别为（ ， ） ， （ ， ）1xy2y（I）当直线 l 存在斜率时，设直线方程为 y=kx+b，显然 k≠0 且 b≠0．联立方程得：消去 y 得 ，由题意： = ，2,ykxbx22()kbx1x2k，又由 OA⊥OB 得 ，即 ，解得1212()120y20bb=0（舍去）或 b=-2k，故直线 l 的方程为：y=kx-2k=k（x-2） ，故直线过定点（2，0 ）（II）当直线 l 不存在斜率时，设它的方程为 x=m，显然 m＞0，联立方程 解2,xmyx得 ，即 =-2m，又由 OA⊥OB 得 ，即 =0，解得2ym1y2 12xym=0（舍去）或 m=2，可知直线 l 方程为：x=2，故直线过定点（2 ，0）综合（1） （2）可知，满足条件的直线过定点（2， 0） ．8. 原题（选修 2-1 第八十一页复习参考题 B 组第一题）改编 已知 F1、F 2 分别为椭圆 - 4 -的左、右焦点，点 P 在椭圆上，若 P、F 1、F 2 是一个直角三角形的三个顶点，求1962yx的面积.21FP解：依题意，可知当以 F1 或 F2 为三角形的直角顶点时，点 P 的坐标为 ，则点 P97,4到 x 轴的距离为 ，此时 的面积为 ；当以点 P 为三角形的直角顶点时，点 P 的4921P479坐标为 ，舍去。

故 的面积为 .3721F9. 原题（选修 2-1 第八十七页例题）改编 已知 三点共线，且BAO、、OBnAmP，则 的最小值为 .)0(R且、 n41解：由 三点共线，且 得， 故、、 BAmP1n)(4mn=5+ ,又 ， （当且仅当 时)4m1(n0942541n 2取等号） ，故 的最小值为 9.。