函数求值域方法之值域换元法.doc

函数求值域方法之值域换元法求值域的方法有很多，在众多的方法中，换元法是比较常用且非常有效的求解值域的办法，这里，给大家总结五种常见的换元方法，欢迎大家补充五种常见换元办法：①一般换元法；②三角换元法(难度较大)；③三角换常值换元法；④双换元法；⑤整体换元法类型一：一般换元法形如：y=ax+b€cx+d方法：本形式下，部分函数在取值区间内，单调性确定，所以可以直接使用单调性判断，单调性无法确定的时候，本题可使用一般换元的思路，令t=cx+d，用t表示X，带入原函数得到一个关于t的二次函数，求解值域即可例1：求函数f(x)二x-x-1的值域分析：本题x…[1,+„)，在取值区间内，X单调增，x-1单调增，两个单调增的函数相减无法直接判断单调性，所以单调性无法确认，考虑使用一般换元解：另t=x—1(t>0)，则x=12+1，代入f(x)得f(x)=12-t+1(t>0)本题实求二次函数在指定区间内的范围3当t>o，f(x)>43所以f(x)e[-,+„)4变式：求函数f(x)=x+x-1的值域分析：本题x…[1,+„)，在取值区间内，x单调增，x-1单调增，两个单调增的函数相加，所以整个函数在取值区间上单调递增所以f(x)€f⑴即可答案：f(x)w[l,+，)由于一般换元法相对来说比较简单，这里就不赘述，留一道练习练习：求f(x)…2x+3一3x+1的值域类型二：三角换元记住一句话：三角换元一个大原则，三个常用公式A、一个大原则：x有界，换成sin0,cos0x无界，换成tan0B、三个常用公式：①遇到x2，且前面系数为-1，常用sin20+C0S20…1② 遇到x2，且前面系数为1,常用-1+tan20Cos202tan—③ 巧用万能公式：sin0-1+tan2—201-tan2—COS0-01+tan2-2三角换元时，尤其注意确定好0的取值范围，下面用具体的例题跟大家说明。

例2：求f(x)…x+1-x2的值域分析：本题若使用一般换元法，则只能得到x2与12之间的关系，操作起来比较麻烦，换元法本身的目的就是要使得题目变得更为简单便捷，所以一般换元法失灵，考虑使用三角换元，因为x2前面的系数是-1,所以使用公式①换元解：令x…sin0，•€1-x2€0，xe[-1,1]，sin0e[-1,1]另9e冷,|](原因：方便后面化出来的c罰，不用讨论正负性了)代入f(x)，得f(x)…sin0„1-sin20=sin0+1cos0I€€€6e[，2,2]'二f(X)…皿COS0辅助角公式，合一变形得：f(x)…2sin(0町)(0e[,討])€€3€4eUF'f(X)G[，1,2]变式：求f(x)…X„2-X2的值域分析：另x…2sin0即可答案：[-2,2]例3:求f(x)…上±1的值域x-1分析：本题x2前面的系数是1,所以考虑使用公式②解：•/x2„1>0,x一1丰0,.x丰1另x…tan0,0G(-昇)U(扌，tan20+1f(x)……tan0一11COS20…sin0-cos0sin0，cos02sin(0-兀)cos0sin(-4丿€0(,I，?)U仔却，0冷g(-4,0)U(0，z).f(x)G(—8，—¥】U(1，+8)2变式：求f(x)…亠十的值域分析：x2+2x>0,xH—1,x>0或x<-2,x+1>1或x+1<-1-1＜丄＜1,但€0,使用三角公式x,1具体过程问群主哟答案：f(x)…[-2,-1]„[1,2]例4：求f(x)=--的值域1+2X2+x4分析：本题是高次式求值域，通过常规的解法很难操作，因而我们通过转化，进行三角换元，再求解值域。

f(x)=(x2+1)2到这一步以后sin9=2tan—2解：xx2-1x2+1X2+1自然而然想到我们的第三个三角公式—万能公式1,tan2—2.91-tan2—cos9=921,tan2-2对f(X)再进行转化f(力=2•爲•黒令x=tan9,x…R初…(-雪)f(x)=12tanI・tan29-1=丄血29•(-cos29)=-lsin4021+tan29tan29+12449…(-2兀,2兀),「・f(x)…[-4,4]类型三：三角换常值换元法本类型主要是三角函数求值域下的一类，由于涉及换元，所以在本专题下讲解，此类题目主要是针对分式形式的三角函数，用到的换元方法是万能公式的逆向应用由于2tan2=sin9,_tan?2?=cos9，可令t=tan29，贝Usin9,cos9就转化成1+tan2291+tan229了关于t的函数，再根据一般函数求解值域的办法求解(在另外专题中讲解)例5：求f(x)=SinX的值域2€cosx分析：本题解法颇多，这里主要讲解两种方法利用万能公式我们可以把正余弦转发为关于t的函数；当然本题也可用斜率的相关知识求解解：方法一：万能公式法2tanxf(x)=sinx=i,tan22x=2tan2x2一cosxc1一tan22x1,3tan22x2一1,tan22x令tan2x=t,€2一cosx…0,„xeR,tan2x虽然x有范围要求，但是tan2x整体eR，2t1,3t22当t=0时，f(x)=0,t…0时，f(x)=T，分母是对勾函数，应3t,-t33用对勾函数的相关性质，可得值域f(x)e[-丁，扌]方法二：斜率法(联系群主要哦)类型四：双换元法例6:求f(x)=1€x,x,3的值域分析：本题含有两个根号，使用一次换元，无法把根号去掉。

有根号的题目，要么换元，要么平方，要么分子分母有理化本题介绍两种解法解：方法一：平方法f2(x)=1一x+x+3+2一x2一2x+3=4+2一x2一2x+31一xn0,x,3n0一3wxw1本题实求在xe[-3,1]时，-x2-2x,3的取值范围，二次函数求范围„0W-x2一2x,3W4，„f2(x)e[4,8]，f(x)e[2,22]方法二：双换元法令m=1一x,n=x,3,€-3€x€1„0€m€2,0€n€2m2,n2=1一x,x,3=4本题等价于：已知m2,n2=4，求f(x)=m,n接下来有两种思路：思路一：。