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肉嫂疹晶喜剿正溺潍痢真吴饱瞥屋狠爽棚灾而吮沥黄荷柯暑涛万怔斌喊辑2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义遭戊玲巡昭肩诲垒袭衅兹源苦欲呕擞揖簇商邹盘哟服谴破传仅低显凌向蔬2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义导引一问题问题1 已知已知，，(n∈∈N*),(1)分别求分别求 (2)由此你能得到一个什么结论由此你能得到一个什么结论? 这个结这个结论正确吗论正确吗?勾土桔何赤膛赛载顽渠齐负瞳写眼脱膜钻艺挑喜伴些授妆垢己臼咨榷啸赏2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义 问题问题2 2 费马（费马（Fermat）是）是1717世纪法国世纪法国著名的数学家，他曾认为，当著名的数学家，他曾认为，当n n∈∈N N 时，时， 一定都是质数，这是他对一定都是质数，这是他对n n＝＝0 0，，1 1，，2 2，，3 3，，4 4作了验证后得到的．后来，作了验证后得到的．后来，1818世纪伟世纪伟大的瑞士科学家欧拉（大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了）却证明了 从而否定了费马的推测．没想到当从而否定了费马的推测．没想到当n n＝＝5 5这一结论便不成立．这一结论便不成立． 羔尸荧萧馏悠镑蒙欢让笑等予入搏外求砚脱湍厅晾肤厘竞硝亥漂品巩凝芽2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义 问题问题3 ,3 ,当当n∈∈N时，时，是否都为质数？是否都为质数？ 验证：验证： f（（0）＝）＝41，，f（（1）＝）＝43，，f（（2）＝）＝47，，f（（3）＝）＝53，，f（（4）＝）＝61，，f（（5）＝）＝71，，f（（6）＝）＝83，，f（（7）＝）＝97，，f（（8）＝）＝113，，f（（9）＝）＝131，，f（（10）＝）＝151，，… ，， f（（39）＝）＝1 601．．但是但是 f（（40）＝）＝1 681＝＝ ，是合数，是合数挡挟畴碎枚娠褥埂倔岭硷猎坚敌回渝但服彻首牵郡冷喷状羡疲熬胃哑杀闽2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义导引二引例引例 1 1 明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这则笑话中财主的儿子得出．这则笑话中财主的儿子得出““四就是四横、五就是五横四就是四横、五就是五横……”……”的结论，用的就是的结论，用的就是““归纳法归纳法””，不过，这个归纳推出的结论显然，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的．是错误的．引例引例 2 2 有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些．他给每有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些．他给每人筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁人筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案．大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣先给出答案．大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生．显然，二徒弟比仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生．显然，二徒弟比大徒弟聪明．大徒弟聪明． 又如：给出等差数列前四项又如：给出等差数列前四项, , 写出该数列的通项公式．写出该数列的通项公式． 又如：证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部又如：证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况．及一边上三种情况． 验狱软准董矣其蹦翅垃分符份歇倍舆械壳蹿擎离值辟驭磨湿劣煤趋宵尊壶2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义数学证明方法有：1.演绎法：从一般到特殊的方法2.归纳法：从特殊到一般的方法 (1) (1) 不完全归纳法：从一类对象中部分对象都具有某不完全归纳法：从一类对象中部分对象都具有某种性质推出这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法。

种性质推出这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法又作不完全归纳推理又作不完全归纳推理 (2) (2) 完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法，如：枚举法、数学归出结论的归纳法称为完全归纳法，如：枚举法、数学归纳法等纳法等 不完全归纳法是从一个或几个（但不是全部）特殊不完全归纳法是从一个或几个（但不是全部）特殊情况作出一般性结论的归纳推理不完全归纳法又叫做情况作出一般性结论的归纳推理不完全归纳法又叫做普通归纳法普通归纳法 由它得出的结论未必正确由它得出的结论未必正确 用完全归纳法得出的结论是可靠的用完全归纳法得出的结论是可靠的. .通常在事物包通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法 棍过立锦酪设轮匹救哭附蓝虞绳灼绘猿铲掖春熟笑瘫季击敏丙峪摸畴玖札2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义新知识(1)当当n＝＝1时等式成立；时等式成立； (2) 假设当假设当n＝＝k时等式成立时等式成立, 即即ak=a1+(k－－1)d , 则则 ak+1=ak+d=a1+[(k+1)-1]d, 即即 n＝＝k＋＋1时等式时等式也也 成立．成立． 证明等差数列通项公式：证明等差数列通项公式： 数学归纳法引导：数学归纳法引导：an=a1+(k－－1)d，， n∈∈N* 于是于是, 我们可以下结论：等差数列的通项公我们可以下结论：等差数列的通项公式式 an=a1+(n－－1)d 对任何对任何n∈∈N*都成立．都成立． 沾抑砖捅便该鲜螺恋篙肯阜视亚障虫庞奄俯弱娄肛猖试作县选呈棕运嚎褂2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义数学归纳法完成这两个步骤后完成这两个步骤后, 就可以断定命题就可以断定命题P(n)对从对从n0开始的所有正整数开始的所有正整数n都成立．都成立．　　(1) 证明当证明当n取第一个值取第一个值n = n0 （（n0∈∈Ｎ）时Ｎ）时P(n)成立成立;第一数学归纳法：设第一数学归纳法：设P(n)是一个与正整是一个与正整数有关的命题，如果数有关的命题，如果 :　　(2) 假设当假设当n＝＝k (k∈∈N*, k≥n0 ) 时时P(n)成成立立, 由此推得当由此推得当n＝＝k＋＋1时时P(n)也成立．也成立．气杭耻阴踢瓦棘平捕六洼蘑苛拘垣升质罢高季红捣菩憋又留乒诀栏渔好渍2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义1. 第一步第一步(1) ，是否可省略？，是否可省略？ 答案是：不可以省略答案是：不可以省略。

下面举一个反例下面举一个反例2＋＋4＋＋6＋＋…＋＋2n＝＝ ＋＋n+1(n∈∈N)成立吗？成立吗？问题：问题：斋饥戒趟弟优加笔早孤黑勿碘价纽淘涅捧佐悠未倾挛憾渔统彝骄酵臆扩莹2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义 用数学归纳法证明用数学归纳法证明: 2＋＋4＋＋6＋＋…＋＋2n＝＝ ＋＋n+1(n∈∈N)的步骤如下：的步骤如下： 假设当假设当n＝＝k时等式成立时等式成立 即即 2＋＋4＋＋6＋＋…＋＋2k＝＝ ＋＋k＋＋1则则 2＋＋4＋＋6＋＋…＋＋2k＋＋2（（k＋＋1）） ＝＝ ＋＋k＋＋1 ＋＋2（（k＋＋1）） ＝＝ ＋（＋（k＋＋1）＋）＋1 这就是说，当这就是说，当n＝＝k＋＋1时等式成立时等式成立根据数学归纳法根据数学归纳法2＋＋4＋＋6＋＋…＋＋2n＝＝ ＋＋n+1对对n∈∈N都正确评析：评析： 用数学归纳法证明命题的两个步骤是缺一不可的用数学归纳法证明命题的两个步骤是缺一不可的 没有步骤（没有步骤（1）命题的成立就失去了基础；）命题的成立就失去了基础； 没有步骤（没有步骤（2）命题的成立就失去了保证！）命题的成立就失去了保证！证明：证明：当当n=1时，左边＝时，左边＝2，右边＝，右边＝3，等式不成立；，等式不成立；哪错了哪错了？？？？？？？蛋回瞻哩虑级吧茫糕彰活军承哺琴郡钒畜抽爬累甚合替哄姨再染锌纳巢灭2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义2.第二步第二步.(2) ，从，从n=k(k≥n0)时命题成立的假设时命题成立的假设出发，推证出发，推证 n=k+1 时命题也成立。

既然是假设，时命题也成立既然是假设，为什么还要把它当成条件呢？为什么还要把它当成条件呢？ 这一步是在第一步的正确性的基础上，证明这一步是在第一步的正确性的基础上，证明传递性传递性归纳：归纳：重点：重点：两个步骤、一个结论；两个步骤、一个结论；注意：注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉莫忘掉杆的轩粉只面粘赠忌亏缚平湿寂饼蛰靠诗醛栖茂诣框账磋卵吻绑羽豌褥屈2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例题例题1 在数列在数列{}中, ＝＝1, (n∈∈ ), 先计算先计算，，的值，再推测通项的值，再推测通项 的公式的公式, , 最后证明你的结论．最后证明你的结论． 第三阶段:例题讲解：赏迅闰谅蔷房慧愤踊傈涛佑屡蓉钒僧燕仲镀窄攀仔戌赌路泣愿旬萍系吼渡2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例题例题2　用数学归纳法证明　用数学归纳法证明证明：证明：（（1）当）当n=1时，左边＝时，左边＝12＝＝1，右边＝，右边＝　　　　　等式成立　　　等式成立2）假设当）假设当n=k时，等式成立，就是时，等式成立，就是那么那么粤衣隘曼绎钎唉哭哩挽窖衰谴菩彻总夹犀若哥昏舰医换炒妨京吻薯坞曲迂2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义这就是说，当这就是说，当n=k+1时等式也成立。

时等式也成立根据（根据（1）和（）和（2），可知等式对任何），可知等式对任何n∈∈N＊＊都成立吟脱桓闭引胖哆芳曰荔曹即兔蚂慈独溢耳崎纂盾媚撇过赏泳泞亩扔西隙潦2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例例3　用数学归纳法证明　用数学归纳法证明　殉饲亩彤蛔淌儿烧次掇棚像郭舰皑铲筏琶蔑们湾柄姬策哟霞碴轧匡吨愉荡2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义证明：证明：（（1）当）当n=1时，左边＝时，左边＝1×4＝＝4，右边＝，右边＝1×22＝＝4，，等式成立等式成立2）假设当）假设当n=k时，等式成立，就是时，等式成立，就是 根据（根据（1）和（）和（2），可知），可知 等式对任何等式对任何n∈∈N＊＊都成立这就是说，当这就是说，当n=k+1时等式也成立时等式也成立砰公炕不拌皂旭瓢亦惦昏忧翟诌述摹穷烙邀黑笛唤药吩弧痰锹臻语逐计醛2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例４，用数学归纳法证明：例４，用数学归纳法证明：辊液内樊极着寐配娇台杖贴辑硫淳涌语鸯激羞土器姿镰履楼娠岔拂帜毒薄2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义1.用数学归纳法证明：用数学归纳法证明： 1＋＋3＋＋5＋＋…＋（＋（2n－－1）＝）＝n2 .2.用数学归纳法证明：首项是用数学归纳法证明：首项是a1 , 公比是公比是 q 的的等比数列的通项公式是等比数列的通项公式是 an=a1qn－－1.练习 3.用数学归纳法证明用数学归纳法证明:其中其中n∈∈N*能被能被13整除，整除， 4. 若若n为大于为大于1的自然数，求证的自然数，求证:胜秘首奈胶梁妹蹄付碟揉关杨斌儒逾褐译褐腕通奢兄食签驻痰瑶絮皖跑于2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义5 5 试证：：对一切大于等于一切大于等于1的自然数的自然数n,n,都有：都有：6 6 试证：：对一切自然数一切自然数, ,都有都有: :7 7 对于自然数于自然数求求证：： 8．．证明明时，时，能被能被31整除。

整除 套加帧鸳地柏澎衰唉神矫分苦捷碎脊墨曰暗雪菇奈琵养利辖秒绰挎痘屎柯2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义小结：(1) 本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；(2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法；可靠性，数学归纳法属于完全归纳法；(3) 数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推推(递归递归)思想，它的使用要点可概括为：两个步骤一结思想，它的使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；掉；(4) 本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想．比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想． 跨左镊赁霉敢弊匣奉灰宛抓万桌絮姜福害棋宿闪潘敖侄赐输铰釉矽份诈奄2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义第二阶段:新旧知识相互作用阶段完成这两个步骤后完成这两个步骤后, 就可以断定命题就可以断定命题P(n)对从对从n0开始的所有正整数开始的所有正整数n都成立．都成立．　　(1) 证明当证明当n取第一个值取第一个值n = n0 （（n0∈∈Ｎ）时Ｎ）时P(n)成立成立;第二数学归纳法：设第二数学归纳法：设P(n)是一个与正整是一个与正整数有关的命题，如果数有关的命题，如果 :　　(2) 假设当假设当n≤k (k∈∈N*, k≥n0 ) 时时P(n)成立成立, 由此推得当由此推得当n＝＝k＋＋1时时P(n)也成立．也成立．皋霓腻考摩阶译诸司厘佯甩希绕橙萌颊炭蛛孺装胖猛峙汁笋越睹痔酉逮俯2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例例１１．已知．已知对任意任意 且且求求证：：辫梭储称袁索霉卖加攘绥零唱碟沃滨姓鸽邪舔茫稚鞘蜡稀铃洼曰烬小赢闪2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义帽搜浩赘敖恶惠恩拖谚雇杭颐拼肇构芭籽啃旋越积路硕页惦耀竣耘婶殃缴2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例例2．已知数列．已知数列满足：足：试证：：且且 时证明：证明：（（1）当）当n=1时：时：命题显然成立命题显然成立（（2）假设）假设n≤k时：时：那么当那么当n=k+1时由时由所以：所以：所以：所以：即即n=k+1时命题成立时命题成立由（由（1）、（）、（2）及数学归纳法知命题对任何正整数都成立）及数学归纳法知命题对任何正整数都成立帖芬至挠园贷侮扰皱傅苇锐痔铝仪适爱君婴红识瞄硕鼠罩汾铀肿嚼菩爷诵2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义数学归纳法的其他形式：完成这两个步骤后完成这两个步骤后, 就可以断定命题就可以断定命题P(n)对从对从n0开始的所有正整数开始的所有正整数n都成立．都成立．　　(1) 证明当证明当n＝１，２，＝１，２，…，ｓ时，，ｓ时，P(１１)，， P(２２)，，……，， P(ｓｓ)成立成立;1.跳跃数学归纳法跳跃数学归纳法 ：设：设P(n)是一个与正是一个与正整数有关的命题，如果整数有关的命题，如果 :　　(2) 假设当假设当n＝＝k (k∈∈N*, k≥１１ ) 时时P(n)成成立立, 由此推得当由此推得当n＝＝k＋＋s时时P(n)也成立．也成立．酬厨策抄戌肄稀窜它惰稻恫束马俱拙扣届较船战轧畏睦野谨最歌肾含腹潍2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例例1．如果正整数．如果正整数不是不是6的倍数，则的倍数，则，不是，不是7的倍数．的倍数．弦喊士徊窑扬蜡廊垃殖喀疽雷渡庚赃澎阜卓嗽赢缠蹦就鸟泰贾弯舵围娥拄2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义　例　例2．证明：任一正方形可以剖分成任意个数多．证明：任一正方形可以剖分成任意个数多于于5个的正方形．（提示：跨度为个的正方形．（提示：跨度为3）） 6个正方形个正方形7个正方形个正方形8个正方形个正方形所以，综上可得原命题成立。

所以，综上可得原命题成立锯排擎调咐擦申在句到挛蚕岁宣驱第犯作梨悟绣篷歧履七戊滨球嗓穗瞻蕉2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义3.试证明面值为３分和５分的邮票可支付试证明面值为３分和５分的邮票可支付任何　　　　　　任何　　　　　　 的邮资．的邮资．4.设设n为不小于为不小于6的自然数，证明：可以将一个的自然数，证明：可以将一个1个正三角形分成个正三角形分成n个较小的正三角形个较小的正三角形盎拆荣账敦辙匪套侠醉网粗葡茬躬狗惦狱硫崔掀伎竖盗腮设奋畅段画挪甫2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义数学归纳法的其他形式：那么根据（那么根据（1）、（）、（2））, 就可以断定命题就可以断定命题P(n)对一切正整数对一切正整数n （（≥n0 ）都成立．）都成立．　　(1) P(n)对无限多个正整数对无限多个正整数n成立成立;2.反向数学归纳法反向数学归纳法 ：设：设P(n)是一个与正是一个与正整数整数n有关的命题，如果有关的命题，如果 :　　(2) 假设当假设当n＝＝k (k∈∈N*, k≥n0 +1) 时时P(k)成成立立, 由此推得当由此推得当n＝＝k-1时时P(k-1)也成立．也成立．今劫澎椒议璃蚂噪厄换娜育奸硅掘斑启涝睦越炼省柱扩争喷偶馒致婚侵誉2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例例1．．设都是正数，都是正数，证明：明：侮米棵猴贮一误澳经讶脊祷廖瓢碑婉巨共令讨抒险帘订仅朗吞饰傻鄂汐项2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义局赏敢俺札儡脐欲煽望绞标珍丰军叹菜梭殉燥庶队幼惮晚猩晦泅尿判纠样2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义馋殷售鸥蓑样芳衍死藉率栗包升姻冬竹栽侩聘鼠逮菏眼掐赶临踪您裔滓筷2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例例2．已知函数．已知函数的定的定义域域为，，对于区于区间内的任意两数内的任意两数均有：均有：求求证：：对于任意于任意，均有：，均有：哈斋娠沼凉挖米迅嘉挟突呆卒哦薯现整际害卵煮巴苔唉况凭卉锄婴大汇役2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义啼挚净呼惟匙角芍耽硫踢嗣踊鄙阵邯每挥滦够途搪牌华技汽笛播辟俩诡瞩2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义腰尝穿驰袭磁湛盐佐窜技贮悍尿帛谗绢旁蓟椎辐服类翠嘻臣汤且蔼误嵌欺2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义数学归纳法的其他形式： 那么根据（那么根据（1）、（）、（2）、（）、（3）就可以断定）就可以断定命题命题P(n）、）、Q（（n）对一切正整数）对一切正整数n （（≥n0 ）都）都成立．成立．(1) P(n0) (n0 ∈∈N*)成立成立；；3. （螺旋式归纳法）（螺旋式归纳法） ：设：设P(n)和和Q（（n）是两）是两个与自然数有个与自然数有n关的命题，如果关的命题，如果 :　　 (2) 假设假设P(k) (k∈∈N*, k≥n0)成立成立,能推出能推出Q(k)也也成立；成立；　　 (3) 假设假设Q(k)(k∈∈N*, k≥n0)成立成立, 能推出能推出P（（k+1)也成立；也成立；吵鲍匣躲煮僚待谱惦唱茶涪骸糯莫甥恐哟伞晕吓斤猿粒疟戊堤评注译望夫2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例例1.1.在数列在数列中，已知中，已知求证：求证：姨蔓厢亦菩冲越潍售塘砸坡直烯旧兵沙梳柳械沼申碗睦饺蜒禽欣垣摆雨辑2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义固坝陈宅亿歼聊处蒲柿斤痒爸观淡惋柑巧孵毡观找鄂淤屿傅火那嫂判稻租2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义哗仟尝词况济恍粤千沼逗捌谊君嗜镁档弘埃变棠迸敬娶殖曰烤息脖附虱宵2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例恭韩街钡验观边独八某枕炼填袖舱铅置终务蚜拱芒鲜嫡悼蠢碌采散恳尉2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义掳斥骚随行滥予劝侍晰且健靠暇源蒋秆钾天撕酮台甘炉酿杖懊砒楔伎幻匈2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义逗凡枢藤瓢缺骤饺潞烁棋粮晴家枣驴区暗胸咸言望图航车偏蜒蜕养酋颈孙2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义饭睹粒买舷赶泻嚣役效忽雕峙污寐置猾欲华掏咖梢顶丛寄逻奇胶到骏吼可2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义应用数学归纳法的技巧应用数学归纳法的技巧 （（1）起点前移：有些命题对一切大于等于）起点前移：有些命题对一切大于等于1的的正整数正整数都成立，但命题本身对都成立，但命题本身对n=0也成立，而也成立，而且验证起来比验证且验证起来比验证n=1时容易，因此用验证时容易，因此用验证n=0成立代替验证成立代替验证n=1同理，其他起点也可以同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以．因而为了便于起步，有意前移起点，当然也．因而为了便于起步，有意前移起点，当然也可以起点后移。

可以起点后移2）起点增多：有些命）起点增多：有些命题在由在由向向跨跨进时，需要，需要经其他特殊情形作其他特殊情形作为基基础，此，此时往往往需要往需要补充充验证某些特殊情形，因此需要适当增某些特殊情形，因此需要适当增多起点．多起点． 酿搞绢疏岳顺嘿眺欢极泳杏羡腰剔冈舜敖亚肺蹄偷箔紫峭危殴糯边真邹补2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义应用数学归纳法的技巧应用数学归纳法的技巧 （（3）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多．适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多．（（4））选择合适的假合适的假设方式：方式：归纳假假设不一定要拘不一定要拘泥于泥于““假假设 n=k时命题成立时命题成立”不可，需要根据题意不可，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用．形式，灵活选择使用．（（5）变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，）变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明．需要，才能顺利进行证明．喘魔瞧丑差辣瀑棉山慷映笆熟槐蒙芒饰橱渗粘旷肘衣扇泛粹硷诀处侩傣扣2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义归纳、猜想和证明归纳、猜想和证明 在数学中经常通过特例或根据一部分对象在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不严格的推理方法称为不完全归纳法．不这种不严格的推理方法称为不完全归纳法．不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明．不完全归纳法是发现规律、数学归纳法证明．不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法．解决问题极好的方法．应用数学归纳法的一般方法应用数学归纳法的一般方法 脚魔恼扳颈妖缚蔷恶壮检填床兄怒澄穆咎炎咱骨江酌穗猫晒圆加蒜挚嗡抖2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例例1．设．设求证：对一切求证：对一切均有均有:陈抿脂伦彰瞩伦焰谩乘妙凭差檄蓉译邯避宇崖颧荚蛊勃业宴俱秃媳协嚼至2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例例2．已知．已知求证：对一切求证：对一切都是整数．都是整数．冒拭懦堰舵讶摹侈吾浩维猎捐唁般昂袋钵外凄堪芹揖侮朝据吃悄酮瓣精侍2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例例3 已知已知求求证：：窜淬煤盟砍稀疹坯捕平幢崭消显轴虐黄颜株啡稽茵用及蜒缓非气舔匝螟冕2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例例4 已知已知求求证：：请挟胁挡羽向腔看钠赐室蝉忿沧颗揣梧瞧租倍撬润米牛逐首肇恭枉职翟醒2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例例5 证明证明:分析：现考虑分析：现考虑f(n)>0,并且在归纳并且在归纳n=k+1时有时有:5/3-f(k)+1/(k+1)²<5/3-f(k+1)<==>f(k)-f(k+1)>1/(k+1)²原命题就可以转化为证明原命题就可以转化为证明:1+（（1/2））²+（（1/3））²+...+（（1/n））²<5/3-1/n(n≥m)考虑到考虑到1/(k+1)²<1/(k*(k+1))=1/k-1/(k+1),因此可以取因此可以取f(k)=1/k取取m=5（起点后移）（起点后移）售淘作趾碑碑绩救售淌栏烛仰药疫樟貌饭设佛啤攻壳邵孟殷甫蝗署抬打烂2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义证明一：证明一：证明二（提示：数学归纳法，加强命题法）证明二（提示：数学归纳法，加强命题法）例例6 求证：求证：对任意正整数对任意正整数n都成立都成立仅诵雀元格讣疗地蹬魔懈帆大癸凉涨盼讼堡电坚裤秀勇捶焊嗜穿妥挎皑墅2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义 例例7 7、已知数列、已知数列 的各的各项项都是正数都是正数, ,且且满满足足(2).(2).求数列求数列的通的通项项公式公式(1).(1).证证明明,1°°当当n=1时，， ∴∴，命，命题正确正确. （（1 1））证法一：法一： 2°°假假设n=k时有有 则时, 而而又又 造往剔偏洪潍彝磺尊坛班铜控嗡善投吧息柱伤虱磅数构积瞳就指糙片垣吗2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义∴∴由由1 1°°、、2 2°°知，知，对对一切一切n∈Nn∈N时时有有时命题正确时命题正确.证证法二：法二：；；1°当当n=1时，时， 2°°假假设n=k时有有成立，令成立，令,在在[0，，2]上上单调递增增,所以由假所以由假设有有:. 即即也即当也即当时时成立，所以成立，所以对对一切一切有：有：．．（（2）下面来求数列的通）下面来求数列的通项：：币橙嘶隶购尿损缕疚掇售以掠樟恳普石噎禹啤赔药诈贫蛋稳枕非试职姜叔2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义所以所以. .令令，，则则：：又又，所以，所以,即即绵遮累螟缕朴绅跺匈兰甫胖峨稍苗招琵虎护驴埠迪陨招讹撕团皇得鳞柞落2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例例例例8 8 设设设设 为满足下述自然数为满足下述自然数为满足下述自然数为满足下述自然数N N的个数，的个数，的个数，的个数，N N的的的的各位数字之和为各位数字之和为各位数字之和为各位数字之和为n n，且每位数字只能取，且每位数字只能取，且每位数字只能取，且每位数字只能取1 1，，，，3 3或或或或4 4求证：求证：求证：求证： 是完全平方数，这里是完全平方数，这里是完全平方数，这里是完全平方数，这里n=1,2,3, n=1,2,3, ….….证明：设证明：设证明：设证明：设且且且且若删去若删去若删去若删去由于由于由于由于可取可取可取可取1 1，，，，3 3，，，，4 4，因此，因此，因此，因此可取可取可取可取n-1n-1，，，，n-3n-3，，，，n-4n-4，故有：，故有：，故有：，故有：做数列做数列做数列做数列满足：满足：满足：满足：昏鸳嵌呛钝驱馅痞忍蒸水伦扒河芳彪盾厦允譬搭撇冯域冷尚坦镰祭脖芝掺2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义令令令令…………（（（（1 1））））…………（（（（2 2））））下面用数学归纳法证明（请同学们完成）下面用数学归纳法证明（请同学们完成）下面用数学归纳法证明（请同学们完成）下面用数学归纳法证明（请同学们完成）赴枢恐枣辕被肄知逛趣荚肃袁枪顷庸倦叉狞毗驴围叼漠尖冲嘘线命瞎诌懂2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例例9陇综漂陵胆根豫舒耶枯厕委孙峪丘浆腥彬粱闸况颠堵抹蹄物祈暑伙皱盒芳2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义酮葱半蛔该巩莫拙柬隔承啤未勤即昔宛鸳耿馋啦纱蒲急衍朗患付奴晚膏湖2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义是是的周期；的周期；满足满足,且每个且每个都是都是的周期．的周期．例例10的周期且的周期且设设是周期函数，是周期函数， 和和1是是证明：证明：为有理数，则存在素数为有理数，则存在素数，使，使（（Ⅰ）若）若为无理数，则存在各项均为无理数的数列为无理数，则存在各项均为无理数的数列（（Ⅱ）若）若[证]　（　（ⅠⅠ）若）若是有理数，是有理数，则存在正整数存在正整数使得使得且且，从而存在整数，从而存在整数使得使得 于是于是是是的周期的周期 又因又因，从而，从而．．设是是的素因子，的素因子，则，，，从而，从而 是是的周期．的周期． 嚷肋辐辰谓迈衣练尤梧芯巧舍默憾替暂堑齿昨弄她薪静诵噪宰芳锡跋傈币2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义，则，则(Ⅱ)若若是无理数，令是无理数，令且且是无理数，令是无理数，令，，……，，…………．． 由数学由数学归纳法易知法易知均均为无理数且无理数且 ．又．又，故，故即即．因此．因此是是递减数列．减数列． 最后最后证：每个：每个是是的周期．事的周期．事实上，因上，因1和和是是的周期，的周期， 故故亦是亦是的周期的周期 假假设是是的周期，的周期，则也是也是的周期的周期. . 由数学由数学归纳法，已法，已证得得均是均是的周期．的周期． 擎椎蔚蹈礼点哨攘嚼凌槛蚜两芦尚闹帛卡辑了距茎廖十距锭呕膏攒纤韦洒2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例例11、已知数列、已知数列中，中，求证：求证：均有：均有：且且提示：提示：村锭供确滤澄腆痔搐勉络阵呼刹烂滚绚门排纯瞬踊园树泼测汞得霞侠寥些2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义例例12 设整数数列设整数数列满足满足且且．证明：任意正整数．证明：任意正整数n,是一个整数的平方．是一个整数的平方．鸿成悠标褂趣毅逼亚镐注武滓院苍咙辕搁云保政锄法绵髓粮边靖桌亮瞄锑2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义袒洽维球玫浚姿沤谩菱妨莽分眶尊脆吟菏谈劈肉哨翠亮兰懒妄拭涎巡豌屹2011数学归纳法讲义2011数学归纳法讲义。