实变函数测试题与答案.doc

实变函数试题一，填空题1. 设, , 则.2. ,由于存在两个集合之间的一一映射为3. 设是中函数的图形上的点所构成的 集合，则，.4. 若集合满足, 则为集.5. 若是直线上开集的一种构成区间, 则满足:, .6. 设使闭区间中的全体无理数集, 则.7. 若, 则说在上.8. 设, ,若,则称是的聚点.9. 设是上几乎到处有限的可测函数列, 是上 几乎到处有限的可测函数, 若, 有, 则称在上依测度收敛于.10. 设,, 则的子列, 使得.二, 判断题. 对的的证明, 错误的举反例. 1. 若可测, 且,则.2. 设为点集, , 则是的外点. 3. 点集的闭集.4. 任意多种闭集的并集是闭集.5. 若,满足, 则为无限集合.三, 计算证明题1. 证明:2. 设是空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明为可数集. 3. 设,且为可测集, .根据题意, 若有 , 证明是可测集.4. 设是集, .求.5. 设函数在集中点上取值为, 而在的余集中长为的构成区间上取值为, , 求.6. 求极限: .实变函数试题解答一 填空题1. .2. 3. ; .4. 闭集.5. 6. .7. 几乎到处收敛于 或 收敛于.8. 对有.9. 10. 于.二 判断题1. . 例如, , , 则且,但.2. . 例如, , 但0不是的外点.3. . 由于.4. . 例如, 在 中, , 是一系列的闭集, 但是不是闭集. 5. . 由于若为有界集合, 则存在有限区间, , 使得, 则于.三, 计算证明题.1. 证明如下:2. 中任何一种元素可以由球心, 半径为唯一拟定, ,, 跑遍所有的正有理数, 跑遍所有的有理数. 由于有理数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故为可数集. 3. 令, 则且为可测集, 于是对于, 均有, 故,令, 得到, 故可测. 从而可测.4. 已知, 令, 则.5. 将积分区间分为两两不相交的集合: , , , 其中为集, 是的余集中一切长为的构成区间(共有个)之并. 由积分的可数可加性, 并且注意到题中的, 可得 6. 由于在上持续, 存在且与的值相等. 易知由于在上非负可测， 且广义积分收敛，则在上可积， 由于， ，于是根据勒贝格控制收敛定理，得到.一、鉴定下列命题对的与否，简要理由(对对的者予以证明，对错误者举处反例)（15分，每题3分）1. 非可数的无限集为c势集 2. 开集的余集为闭集。

3. 若mE=0，则E为可数集 4. 若 |f(x)| 在E上可测，则f(x) 在E上可测 5. 若f(x) 在E上有界可测，则f(x) 在E上可积 二、将对的答案填在空格内（共8分，每题2分）1. ______可数集之并是可数集A. 任意多种 B. c势个? C. 无穷多种 D 至多可数个 2. _____闭集之并交是闭集A. 任意多种 B. 有限个 C. 无穷多种 D 至多可数个 3. 可数个开集之交是_____A开集 B闭集 C F型集 D G型集 4. 若 |f| 在E上可积，则_______A. f在E上可积 B. f 在E上可测 C. f 在E上有界 D. f在E上几乎到处有限 三、论述有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理（共9分，每题3分）四、证明下列集合等式（共6分，每题3分）：1. S-S=(S-S) 2. E[fa]=E[f>a-] 五、证明：有限个开集之交是开集举例阐明无限个开集之交不一定是开集8分）六、证明：设f(x)，f(x)为可积函数列，f(x)f(x) a.e于E，且|f|d|f|d，则对任意可测子集eE有? |f|d|f|d（7分）七、计算下列各题：（每题5分，共15分）1. sin(nx)d=? 2. 设f(x)=求d=? 3. 设f(x)=   ?n=2,3,…, ?求d=?  一、鉴定下列命题对的与否，简要理由(对对的者予以证明，对错误者举处反例) 1. 非可数的无限集为c势集，（不对的！如：直线上的所有子集全体不可数，但其势不小于c）。

2. 开集的余集为闭集对的！教材已证的定理） 3. 若mE=0，则E为可数集（不对的！如contorP集外测度为0，但是C势集） 4. 若 |f(x)| 在E上可测，则f(x) 在E上可测（不对的！如） 5. 若f(x) 在E上有界可测，则f(x) 在E上可积（不对的！如有界可测，但不可积） 二、将对的答案填在空格内1． 至多可数个 可数集之并是可数集A. 任意多种B.c势个 C. 无穷多种 D 至多可数个2.有限个 闭集之并交是闭集A. 任意多种 B. 有限个 C. 无穷多种 D 至多可数个3.可数个开集之交是 G型集A开集 B闭集 C? F型集 D? G型集 4.若 |f| 在E上可积，则 f在E上几乎到处有限 A. f在E上可积 B. f 在E上可测 C. f 在E上有界 D. f在E上几乎到处有限三、论述有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理（见教材，不赘述！）四、证明下列集合等式1.S-S=(S-S) 解：=(S-S)2E[fa]=E[f>a-]证明： 因此，同理，??? 故五、证明：有限个开集之交是开集举例阐明无限个开集之交不一定是开集 证明：（分析法证明）设要证为开集，只须证明事实上，取时，自然有。

故为开集无限个开集之交不一定是开集反例：设，则=既不是开集，又不是闭集六、证明：设f(x)，f(x)为可积函数列，f(x)f(x) a.e于E， 且|f|d|f|d，则对任意可测子集eE有 |f|d|f|d证明：由于f(x)f(x) a.e于E，对任意由Fatou引理知|f|d≤|f|d而已知|f|d|f|d，则对任意由Fatou引理知：一方面|f|d= |f|d≤|f|d另一方面，|f|d= |f|d≤|f|d|f|d= |f|d= |f|d- |f|d|f|d故|f|d≤|f|d≤|f|d即|f|d= |f|d七、计算下列各题： 1．sin(nx)d=?解：由于?sin(nx) 0于[0，1]第 3页? 共 4 页 ?? 且||≤1则由Lebesgue控制收敛定理知：sin(nx)d=sin(nx)d=02．设f(x)=求d=?解：因此3．设f(x)= ????n=2,3,…,? 求d=?解：由于f(x)=?? ?n=2,3,…,在上非负可测，因此由Lebesgue逐块积分定理知：d=一、选择题 (共10题，每题3分，共30分)1.设是中有理数的全体，则在中的导集是 【 】(A) (B) (C) (D)2.设是一列闭集，，则一定是 【 】(A)开集 (B)闭集 (C) 型集 (D) 型集3.设是中有理数全体，则 【 】(A) 0 (B)1 (C)＋∞ (D)-∞4.下面哪些集合的并构成整个集合的点　 【 】 (A) 内点，界点，聚点 (B) 内点，界点，孤立点 (C) 孤立点，界点，外点 (D) 孤立点，聚点，外点5.设是Cantor集，则 【 】(A) 与对等，且的测度为0 (B) 与对等，且的测度为1(C) 与不对等，的测度为0 (D) 与不对等，的测度为16. 设与在上可测，则是 【 】(A) 可测集 (B) 不可测集 (C)空集 (D) 无法鉴定7. 设在可测集上有定义，，则是 【 】(A) 单调递增函数列 (B) 单调递减函数列(C) 可积函数列 (D) 持续函数列8. 设是任一可测集，则 【 】　　(A) 是开集 (B) 是闭集　　(C) 是完备集　　(D) 对任意，存在开集，使9．设，则 【 】 　　(A) 1　 (B) 2　　 (C) 3　 (D) 410．设是上一列几乎到处有限的可测函数，若对任意，有下面条件成立，则 依测度收敛于． 【 】　 (A) (B) 　　(C) 　　(D) 　二、定理论述题(共2题，每题5分，共10分)1.鲁津定理2.Fatou引理三、判断改正题(对的的打对号，错误的打错号并改正，共5题，每题4分，共20分)1. 若与它的真子集对等，则一定是有限集． 【 】 2. 凡非负可测函数都是可积的． 　　　　　【 】3.设为空间中一非空集，若则 【 】4.设为可测集，则存在型集，使得，且． 【 】5.在上可积，则在可积且 【 】四、证明题(共4题，每题10分，共40分)1.开集减闭集后的差集为开集，闭集减开集后的差集为闭集．2.上全体有理数点集的外测度为零．3.设函数列在上依测度收敛，且于，则于．4.设在上可积，则．得 分阅卷人 判断题（每题2分，共20分）1.必有比大的基数。

（ ） 2.无限个闭集的并必是闭集 （ ）3.若，则是至多可列集 （ ）4.无限集的测度一定不为零 （ ）5.两集合的外测度相等，则它们的基数相等 （ ）6.若在的任意子集上可测，则在可测集上可测 （ ）7.上可测函数列的极限函数在上不一定可测 （ ）8.是上的可测函数，则可积 （ ）9.若且，则于 （ ）10.若在上可积，则在上也可积 （ ）二、填空题（每题2分，共20分）1.设，则 ， 2.设，则 ， 3.设是开区间中有理点的全体，则 4.单调函数的不持续点集的基数是 5.设是上的集，则 6.闭区间 上的有界函数。