43定积分的几何意义和性质.docx

模块基本信息一级模块名称积分学二级模块名称基础模块三级模块名称定积分几何意义和性质模块编号4-3先行知识定积分的概念模块编号4-2知识内容教学要求掌握程度1、定积分的几何意义1、理解定积分的几 何意义2、定积分的性质，用定积分的性质求解问 题2、理解定积分的性 质，运用定积分的性 质求解问题熟悉能力目标培养学生分析问题的能力时间分配45分钟编撰王明校对熊文婷审核危子青修订人张云霞二审危子青一、 正文编写思路及特点思路：通过图形和定积分的几何意义让学生直观理解定积分的性质特点：培养学生的理解能力二、 授课部分(一) 知识回顾定积分的概念(二) 新课讲授1、定积分的几何意义(1) 当/(x) > 0 定积分J： f(x)dx在几何上表示由曲线y = /(x)、两条直线x = a、x = b与x轴所围成的曲边梯形的面积；(2) 当/(x) M 0时，由曲线y = /(x) >两条直线x = a、x = 与x轴 所围成的曲边梯形位于x轴的下方，定积分\"f(x)dx在几何上表示上述 曲边梯形面积的负值； pb(3) 当人x)在区间［a,仞上的值有正有负时，f f (对dx等于［a,b］±.x轴J a上方各曲边梯形面积总和减去X轴下方曲边梯形面积总和。

例如，若 /(%)如图所示，贝 M f(x)dx = Sl-S2+S3J a特别的，如果在区间祯］上/（x）三1 ,则\\dx=\［dx=b-a下面我们利用定积分的几何意义求一些简单的定积分：例1用定积分的几何意义求.解函数y = l-x在区间［0, 1］上的定积分是以y = l-x为曲边，以 区间［0, 1］为底的曲边梯形的面积（如图2所示）.因为以y = l-x为曲 边,以区间［0, 1］为底的曲边梯形是一直角三角形，其底边长及高例2用定积分的几何意义求孔即-x2dx.解：由定积分的几何意义可知匚VF匚Udx表示由曲线y = ^R2-x2与y = 0所围成的半圆的面积，因此F ^R2-x2dx = -7rR2 J-R 2（选择）例3将下列图形的面积用定积分的形式表示出来该图形的面积可表示为A = * 一 dx；图形3是由曲线y = e，，x = lj?X = A所围成的曲边梯形,故该图形的面积可表示为A = J\e*dx2、定积分的性质这里先补充两点约定：, ,pb(1)当人时』f (x)dx = 0.J a⑵ £小成=-_[； f(x)dx.下列性质中，均假定所讨论的定积分是存在的.性质1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)，即[/(X)土 g(x)Mx=心土 £g(x)(/x •(选讲)证明:Jj/(x)±g(x)]4/x =limt[M)±g(^)]Ax,.人一＞0 j=] 人一»0 j=]= \af(x)dx±^g(x)dx.例如：['(x2 + ex)dx = ^x1 dx -£ exdx性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即^kf(x)dx=kJ： f (x)dx.(选讲)证明:^kf (x)dx = lim ^4f(^-)Axz =们im f (&)尊=就f (x)dx .2T0j=lpi pi 3例如:J。

3(1- x)dx = 3L (1- x)dx =—性质3 (积分区间的可加性)设a两条直线x=a、x=c与x轴所围成的曲边梯形的面 积4；J f(x)dx表示由曲线y寸' (x)、两条直线x=A、x=c与x轴所围成 的曲边梯形的面积4；显然A = Ax+A2,故j6/(x)dx(x)dx+|*/ (x)dx.同理当被积函数为其它形式时亦是如此.说明：这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性.注：不论a,b,c的相对位置如何，总有等式f(x)dx=jj/(x)dx+f(x)dx 成立.例如，当a0,则^f(x)dx>0 (a0,积分j：y(x)dx表示由曲线y寸'(X)、两 条直线x=a. x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积，而面积一定是非 负的.推论1 (保序性) 如果在区间［a,b］±. /(x)0所以 j： f (x)dx < £g(x)dx.注：推论1表明在同一区间上，被积函数越大相应的积分值也越 大。

故该性质可用来比较同一区间上两个积分值的大小例4：不计算积分，比较［x^dx与「产办的大小. Jo Jo解：因为X/xe［0,1］,有x3b,积分中值公式都成立.图7此性质的几何意义是：由* = /(x)、x = a、x = b及x轴围成的曲 边梯形的面积等于由y = /(g)、x = a. x = b及x轴围成的矩形的面积 (见图7)o三、能力反馈部分1、计算定积分 2^不计算积分，比较「J办与］》3公的大小.3、估计定积分px4t&的值。