人教版高中数学精品资料课下能力提升(六)[学业水平达标练]题组1 求函数的极值1．函数f(x)＝－x3＋x2＋2x取极小值时，x的值是( )A．2 B．－1和2 C．－1 D．－32．函数y＝x3－3x2－9x(－21 C．00，故当x＝－1时，f(x)取极小值．2． 解析：选C 由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.当x<－1或x>3时，y′>0；当－10，符合题意．所以实数b的取值范围是00.即a2－a－2>0，解之得a>2或a<－1.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)题组3 含参数的函数的极值问题7． 解：(1)因为f(x)＝aln x＋＋x＋1，故f′(x)＝－＋.由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－＋＝0，解得a＝－1.(2)由(1)知f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x>0)，f′(x)＝－－＋＝＝.令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(因x2＝－不在定义域内，舍去)．当x∈(0，1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0，1)上为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．故f(x)在x＝1处取得极小值，且f(1)＝3.8． 解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．[能力提升综合练]1． 解析：选A 利用导数法易得函数在内递减，在内递增，在(1，＋∞)内递减，而f＝－<0，f(1)＝－1<0，故函数图象与x轴仅有一个交点，且交点横坐标在内．2.解析：选D 由图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．3．解析：选D f′(x)＝3x2－2a，∵f(x)在(0，1)内有极小值没有极大值，∴⇒即0f，排除A；取函数f(x)＝－(x－1)2，则x＝1是f(x)的极大值点，但－1不是f(－x)的极小值点，排除B；－f(x)＝(x－1)2，－1不是－f(x)的极小值点，排除C.故选D.5．解析：设f(x)＝x3－3x＋c，对f(x)求导可得，f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，可得x＝±1，易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．若f(1)＝1－3＋c＝0，可得c＝2；若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2.答案：－2或26. 解析：由题图得依题意，得即解得a＝2，b＝－9，c＝12.答案：2 －9 127． 解：(1)f′(x)＝ex (ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8，从而a＝4，b＝4.(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).令f′(x)＝0，得x＝－ln 2或x＝－2.从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．8．解：f′(x)＝3x2－6x，函数f(x)的定义域为R，由f′(x)＝0得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：因此，函数在x＝0处有极大值，极大值为f(0)＝－a；在x＝2处有极小值，极小值为f(2)＝－4－a.函数y＝f(x)恰有一个零点即y＝f(x)的图象与x轴只有一个交点(如图)，所以或即或解得a<－4或a>0，所以当a>0或a<－4时，函数f(x)恰有一个零点．。
