2010届高三数学一轮复习：圆锥曲线方程及性质.doc

2009~2010 学年度高三数学（人教版 A 版）第一轮复习资料第 33 讲 圆锥曲线方程及性质圆锥曲线方程及性质一．一． 【【课标要求课标要求】】 1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2．经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、 几何图形及简单性质； 3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质 二．二． 【【命题走向命题走向】】 本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一 般有 2～3 道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和 性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质圆锥曲线在高考试题中占有 稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基 本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法 对于本讲内容来讲，预测 2010 年： （1）1 至 2 道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题； （2）可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。

三．三． 【【要点精讲要点精讲】】 1．椭圆 （1）椭圆概念平面内与两个定点1F、2F的距离的和等于常数（大于21||FF）的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距若M为椭圆上任意一点，则有21|||| 2MFMFa椭圆的标准方程为：22221xy ab（0ab）（焦点在 x 轴上）或12222 bx ay（0ab）（焦点在 y 轴上）注：①以上方程中, a b的大小0ab，其中222cab；②在22221xy ab和22221yx ab两个方程中都有0ab的条件，要分清焦点的位置，只要看2x和2y的分母的大小例如椭圆22 1xy mn（0m ，0n ，mn）当mn时表示焦点在x轴上的椭圆；当mn时表示焦点在y轴上的椭圆 （2）椭圆的性质①范围：由标准方程22221xy ab知||xa，||yb，说明椭圆位于直线xa ，yb 所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以y代替y方程不变，所以若点( , )x y在曲线上时，点 ( ,)xy也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以x代替x方程不变，则曲线关于 y轴对称。

若同时以x代替x，y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称 所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心， 椭圆的对称中心叫椭圆的中心； ③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标在椭圆的标准方程中，令0x ，得yb ，则1(0,)Bb，2(0, )Bb是椭圆与y轴的两个交点同理令0y 得xa ，即1(,0)Aa，2( ,0)A a是椭圆与x轴的两个交点所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点同时，线段21A A、21B B分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和 b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在22Rt OB F中，2||OBb，2||OFc，22||B Fa，且222 2222||||||OFB FOB，即222cac；④离心率：椭圆的焦距与长轴的比cea叫椭圆的离心率∵0ac，∴01e，且e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接 近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。

当且仅当ab时，0c ，两焦点重合，图形变为圆，方程为222xya 2．双曲线 （1）双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（12|||||| 2PFPFa）注意：①（*）式中是差的绝对值，在1202||aFF条件下；12|||| 2PFPFa时为双曲线的一支（含2F的一支） ；21|||| 2PFPFa时为双曲线的另一支（含1F的一支） ；②当122||aFF时，12|||||| 2PFPFa表示两条射线；③当122||aFF时，12|||||| 2PFPFa不表示任何图形；④两定点12,F F叫做双曲线的焦点，12||FF叫做焦 距 椭圆和双曲线比较： 椭 圆双 曲 线定义1212|||| 2 (2||)PFPFaaFF1212|||||| 2 (2||)PFPFaaFF方程22221xy ab22221xy ba22221xy ab22221yx ab焦点(,0)Fc(0,)Fc(,0)Fc(0,)Fc 注意：如何有方程确定焦点的位置！ （2）双曲线的性质①范围：从标准方程12222 by ax，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线ax的外侧。

即22ax ，ax 即双曲线在两条直线ax的外侧②对称性：双曲线12222 by ax关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线12222 by ax的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点在双曲线12222 by ax的方程里，对称轴是, x y轴，所以令0y得ax，因此双曲线和x轴有两个交点)0 ,()0 ,(2aAaA ，他们是双曲线12222 by ax的顶点令0x，没有实根，因此双曲线和 y 轴没有交点1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点） ，双曲线的 顶点分别是实轴的两个端点 2）实轴：线段2AA叫做双曲线的实轴，它的长等于2 , a a叫做双曲线的实半轴长虚轴：线段2BB叫做双曲线的虚轴，它的长等于2 , b b叫做双曲线的虚半轴长④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线从图上看，双曲线12222 by ax的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近 ⑤等轴双曲线： 1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

定义式：ab； 2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：xy ；（2）渐近线互相垂直 注意以上几个性质与定义式彼此等价亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线 为等轴双曲线，同时其他几个亦成立3）注意到等轴双曲线的特征ab，则等轴双曲线可以设为：)0(22yx ，当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上⑥注意191622 yx与22 1916yx的区别：三个量, ,a b c中, a b不同（互换）c相同，还有焦点所在的坐标轴也变了 3．抛物线 （1）抛物线的概念 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直 线 l 上)定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线方程022ppxy叫做抛物线的标准方程注意：它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，焦点坐标是 F（2p,0） ，它的准线方程是2px ；（2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：pxy22，pyx22，pyx22.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程22 (0)ypx p 22 (0)ypx p  22 (0)xpy p 22(0)xpyp 图形焦点坐标(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p准线方程2px  2px 2py  2py oFxyloxyFlxyoFl范围0x 0x 0y 0y  对称性x轴x轴y轴y轴 顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率1e 1e 1e 1e  说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的 特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强 调p的几何意义：是焦点到准线的距离。

四．四． 【【典例解析典例解析】】 题型 1：椭圆的概念及标准方程 例 1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是( 4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是(0, 2)、(0,2)，并且椭圆经过点3 5(, )2 2；（3）焦点在x轴上，:2:1a b ，cb；（4）焦点在y轴上，225ab，且过点(2,0)； （5）焦距为b，1ab；（6）椭圆经过两点3 5(, )2 2，( 3, 5)解析：（1）∵椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的标准方程为22221xy ab（0ab） ，∵210a ，4c ，∴2229bac，所以，椭圆的标准方程为22 1259xy2）∵椭圆焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为22221yx ab（0ab） ，由椭圆的定义知，22223535312()(2)()(2)10102 10222222a ，∴10a ，又∵2c ，∴2221046bac，所以，椭圆的标准方程为22 1106yx3）∵6c ，∴2226abc，①又由:2:1a b 代入①得2246bb，∴22b ，∴28a ，又∵焦点在x轴上，所以，椭圆的标准方程为22 182xy。

4）设椭圆方程为22221yx ab，∴221b，∴22b ，又∵225ab，∴23a ，所以，椭圆的标准方程为22 132yx．（5）∵焦距为6，∴3c ，∴2229abc，又∵1ab，∴5a ，4b ，所以，椭圆的标准方程为22 12516xy或22 12516yx．（6）设椭圆方程为22 1xy mn（,0m n ） ，由2235()( )221351mnmn 得6,10mn，所以，椭圆方程为22 1106yx ．点评：求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义，还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程 间的关系例 2． （1） （06 山东）已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F（－23，0） ，且长轴长是 短轴长的 2 倍，则该椭圆的标准方程是 2） （06 天津理，8）椭圆的中心为点( 10)E  ，，它的一个焦点为( 3 0)F  ，，相应于焦点F的准线方程为7 2x  ，则这个椭圆的方程是（ ）Ａ．222(1)21213xy Ｂ．222(1)21213xyＣ．2 2(1)15xy Ｄ．2 2(1)15xy解析：（1）已知2222 2224 2 ,2 3161164 ( 2 3,0)b ab cyxa abcF 为所求；（2）椭圆的中心为点( 1,0),E 它的一个焦点为( 3,0),F ∴ 半焦距2c ，相应于焦点 F 的准线方程为7.2x   ∴ 252ac，225,1ab，则这个椭圆的方程是2 2(1)15xy，选 D。

点评：求椭圆方程的题目属于中低档题目，掌握好基础知识就可以 题型 2：椭圆的性质例 3． （1） （06 山东理，7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为 1，则该椭圆的离心率为（ ）(A)2 (B)22(C) 21(D)42（2） （2009 全国卷Ⅰ理。