基本不等式完整编辑版(非常全面).docx

基本不等式专题指导一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若a,bR，则a2b22ab22（2）若a,bR，则abab22、基本不等式一般形式（均值不等式）若a,bR*，则ab2ab3、基本不等式的两个重要变形（1）若a,bR*，则abab22（2）若a,bR*ab，则ab2总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当ab时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论（1）若x0，则x12(当且仅当x1时取“=”）x12(当且仅当x1时取“=”）（2）若x0，则xx（3）若ab0，则ab2(当且仅当ab时取“=”）ba22（4）若a,bR，则ab(ab)2ab22（5）若a,b*1aba2b2R，则11ab22ab特别说明：以上不等式中，当且仅当ab时取“=”6、柯西不等式（1）若a,b,c,dR，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2（2）若a1,a2,a3,b1,b2,b3R，则有：(a12a22a32)(1b12b22b32)(a1b1a2b2a3b3)2（ 3）设a1,a2,,an与b1,b2,,bn是两组实数，则有(a12a22an2)(b12b22bn2)(a1b1a2b2anbn)2二、题型剖析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设a,b均为正数，证明不等式:ab≥211ab2、已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca3、已知abc1，求证：a2b2c2134、已知a,b,cR，且abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc5、已知a,b,cR，且abc1，求证：1111118abc!-6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲设a,b,c均为正数,且abc1,证明:1a2b2c2(Ⅰ)abbcca;(Ⅱ)c1.3ba7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲已知ab0，求证:2a3b32ab2a2b题型二：利用不等式求函数值域1、求以下函数的值域（1）y3x212（2）yx(4x)2x（3）yx1(x0)（4）yx1(x0)xx题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）41、已知x2，求函数y2x4的最小值；2x44变式1：已知x2，求函数y2x的最小值；2x44变式2：已知x2，求函数y2x的最大值；2x4!-练习：1、已知x51的最小值；2、若0x2，求yx(63x)的最大值；，求函数y4x24x452、已知x51的最大值；变式：若0x4，求yx(82x)的最大值；，求函数y4x24x54题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数）3、求函数y2x152x(1x5)的最大值；1、当时，求yx(82x)的最大值；22（提示：平方，利用基本不等式）变式1：当时，求y4x(82x)的最大值；变式：求函数y4x3114x(3x11)的最大值；44变式2：设0x34x(32x)的最大值。

求函数y2!-题型五：巧用“1”的代换求最值问题变式4：已知x,y0，且194，求xy的最小值；1、已知a,b0,a2b1，求t11的最小值；xyab法一：变式5：法二：0且2xy1，求11（1）若x,y的最小值；xy（2）若a,b,x,yR且ab1，求xy的最小值；xy变式1：已知a,b0,a2b2，求t11的最小值；ab变式6：已知正项等比数列an知足：a7a62a5，若变式2：已知x,y0,281，求xy的最小值；,an，使得aman4a114xy存在两项am，求的最小值；mn变式3：已知x,y0，且119，求xy的最小值xy!-题型六：分别换元法求最值（认识）题型七：基本不等式的综合应用x27x101、已知log2alog2b1，求3a9b的最小值1、求函数yx1(x1)的值域；变式：求函数yx28(x1)的值域；2、（2009天津）已知a,b0，求11x1a2ab的最小值；bx2变式1：（2010四川）假如ab0，求对于a,b的表达2、求函数y5的最大值；（提示：换元法）2x式a211的最小值；aba(ab)x1的最大值；变式：求函数y变式2：（2012湖北武汉诊疗）已知，当a0,a1时，4x9函数yloga(x1)1的图像恒过定点A，若点A在直线mxyn0上，求4m2n的最小值；!-3、已知x,y0，x2y2xy8，求x2y最小值；变式1：已知a,b0，知足abab3，求ab范围；变式2：（2010山东）已知x,y0，111，2x2y3求xy最大值；（提示：通分或三角换元）变式3：（2011浙江）已知x,y0，x2y2xy1，求xy最大值；4、年山东（理））设正实数x,y,z满足（2013x23xy4y2z0,则当xy获得最大值z时,212的最大值为（）xyzA．0B．19D．3C．4（提示：代入换元,利用基本不等式以及函数求最值）2变式：设x,y,z是正数，知足x2y3z0，求y的xz最小值；!-题型八：利用基本不等式求参数范围题型九：利用柯西不等式求最值1、（2012沈阳检测）已知x,y0，且(xy)(1a)91、二维柯西不等式(a,b,c,dR,当且仅当ab；即adbc时等号建立)xyacd恒建立，求正实数的最小值；若a,b,c,dR，则(a2b2)(c2d2)(acbd)22、二维形式的柯西不等式的变式(1)a2b2c2d2acbd(a,b,c,dR,当且仅当ab；即adbc时等号建立)cd(2)a2b2。