上海海事大学高数课件3函数的极限.ppt

第一章 一、自变量趋于一、自变量趋于无穷大无穷大时函数的极限时函数的极限第三节自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于二、自变量趋于有限值有限值时函数的极限时函数的极限本节本节内容内容 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限通过上面的观察通过上面的观察:问题问题: 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.定义定义1 . 设函数大于某一正数时有定义,若则称常数时的极限,几何解释几何解释:记作直线 y = A 为曲线的水平渐近线机动 目录 上页 下页 返回 结束 A 为函数例例1. 证明证证:取因此注注:就有故欲使即例例2 2证证直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .两种特殊情况两种特殊情况 :当时, 有当时, 有几何意义几何意义 :二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限1.定义定义2. 设函数在点的某去心邻域内有定义 ,当时, 有则称常数 A 为函数当时的极限,或即当时, 有若记作几何解释几何解释:极限存在函数局部有界(P36定理2)这表明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 证明证证:故对任意的当时 , 因此总有机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 证明证证:欲使取则当时 , 必有因此只要机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 证明证证:故取当时 , 必有因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 证明: 当证证:欲使且而可用因此只要时故取则当时,保证 .必有机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 左极限与右极限左极限与右极限左极限 :当时, 有右极限 :当时, 有定理定理 3 .( P38 题8 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 设函数讨论 时的极限是否存在 . 解解: 利用定理 3 . 因为显然所以不存在 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 保号性定理保号性定理定理定理1 . 若且 A > 0 ,证证: 已知即当时, 有当 A > 0 时, 取正数则在对应的邻域上(< 0)则存在( A < 0 )(P37定理3)机动 目录 上页 下页 返回 结束 若取则在对应的邻域上 若则存在使当时, 有推论推论:(P37 推论)分析分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 2 . 若在的某去心邻域内, 且 则证证: 用反证法.则由定理 1,的某去心邻域 , 使在该邻域内与已知所以假设不真, (同样可证的情形)思考: 若定理 2 中的条件改为是否必有不能不能! 存在如 假设 A < 0 , 条件矛盾,故机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 函数极限的或定义及应用2. 函数极限的性质:保号性定理与左右极限等价定理思考与练习思考与练习1. 若极限存在,2. 设函数且存在, 则例3 作业作业 P37 1(4) ; 2(2) ; 5 ; 6 ; 7 ; 9 Th1Th3Th2是否一定有第四节 目录 上页 下页 返回 结束 ？函数极限的统一定义函数极限的统一定义(见下表见下表)过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 一、填空题一、填空题:练练 习习 题题练习题答案练习题答案。