合肥工业大学高数习题册上册答案.doc

习题 函数1．设函数，求〔1〕，，；〔2〕，〔〕．【解】〔1〕； 〔2〕■2．，求．【解】令，则，故■3．证明：在是严格递增函数．【证】方法1〔定义法〕∵对任意，有，其中用到，∴在是严格递增函数 方法2〔导数法〕∵∴■4．设在上是奇函数，证明：假设在上递增，则在上也递增．【证】∵对任意，有，∴由在上单调增加可得：又∵在上是奇函数，即，∴，即，故在上也是单调增加■―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题 极限1． 求以下极限：； 【解】分之分母同除，利用四则运算极限法则和幂极限可得■；【解】∵，∴■；【解】∵，∴■； 【解】∵，∴■．【解】■2．求常数和，使得．【解】∵，，∴，即 于是，，∴■3．假设，求，，．【解】∵，，∴， 从而，，，故不存在■―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题 无穷小与无穷大1．利用等价无穷小的代换求以下极限：；【解】■；【解】■．【解】■2．设 确定正数的值，使得存在．【解】∵，，∴当，即时，存在■―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题 极限存在准则1．计算以下极限：； 【解】。

■；【解】■；【解】■．【解】■2．设，试证数列的极限存在，并求此数列极限．【证】〔1〕证明极限的存在性·单调性：∵，∴∵，∴由数学归纳法可知：，即，故为单调减少数列·有界性：只需证明有下界或者由数学归纳法∵，，，，∴有下界 于是，由单调有界收敛准则知：存在极限〔2〕求极限：设，则由求极限可得，即，解得：注意到，故■―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题 连续函数及其性质1．求函数的连续点，并说明其类型．【解】显然，当时，函数无定义，故均为连续点∵，∴，即为第二类连续点，且为无穷连续点∵，，∴，即为第一类连续点，且为跳跃连续点■注：*极限四则运算法则，**的连续性2．设，试求函数的表达式，假设有连续点，并说明其类型．【解】∵∴即 由图形易知：为第一类连续点，且为跳跃连续点■3．设 要使在连续，确定常数．【解】显然，函数在为初等函数，故连续只需讨论分界点处函数的连续性∵，〔无穷小与有界函数积〕，∴当时，在连续■4．讨论的连续性．【解】显然，只需讨论分界点处函数的连续性∵，，∴，即在连续■5．求以下极限：为常数〕；【解】方法1 由等价无穷小可得：。

方法2 由重要极限与连续性可得：■；【解】由三角函数公式、重要极限与连续性可得：■为常数〕．【解】显然，当时， 当时，■6．设函数在上连续，且，证明在上至少存在一点，使得．【解】作辅助函数，则∵在上连续，且，∴∵，，∴①当时，可取，满足；②当时，，由零点定理可知：存在，使得，即综合可得：存在，使得，即■―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题 导数的概念1．求曲线在点处的切线方程与法线方程．【解】∵，∴ 从而，所求切线方程为， 法线方程为■2．假设函数可导，求．【解】■3．讨论函数在点处的连续性与可导性．【解】〔1〕连续性：∵，∴在点处的连续性〔2〕可导性：∵，，∴在点处不可导注：也可从可导性入手左右可导函数必连续，但未必可导■―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题 求导的运算法则1．求以下函数的导数：；【解】■；【解】■；【解】■；【解】∵，∴■； 【解】∵，∴■；【解】由复合函数求导法则可得：■；【解】由四则运算求导法则与复合函数求导法则可得：。

■．【解】由复合函数求导法则与四则运算求导法则可得： 注意：也可先分母有理化，再求导■2．设可导，求函数的导数■3．设满足，求．【解】∵，……①∴换为可得：……② 由①②解得：■4．，求．【解】，，■―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题 高阶导数1．设，求．【解】∵，，∴■2．设，其中是二阶可导函数，试求．【解】∵，∴■3．设，求．【解】隐函数求导法对求导，视为的函数：，……①再对求导，视，均为的函数：……②∵在原方程中代入可得：，由①可得：，再由②可得：■4．求以下函数的阶导数：为常数〕；【解】∵，∴■；【解】∵，而，∴■．【解】∵，，，……，∴■―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题 隐函数与参变量函数的求导方法1．求以下函数的导数： ； 【解】对求导，视为的函数：，解得：注：*利用原方程可以变形■．【解】取对数得：，再对求导，视为的函数：， 解得：■2．证明：双曲线上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积都等于．【证】设切点为，则∵，∴所求切线方程为，即。

于是，切线在两坐标轴上得截距分别为：从而，所求三角形面积为■3．设其中二阶可导，求．【解】参量函数求导法■4．设求．【解】∵，，∴，■5．求曲线在对应于的点处的切线方程．【解】当时，∵，∴由对求导，视：，解得于是，，故所求切线方程为■―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题 微分中值定理1．证明：． 【证】设〔〕，则∵，从而，取点可得，故在■2．设函数在上连续，在可导．证明：至少存在一点，使得．【证】作辅助函数，则∵在上连续，在可导，∴在上连续，在可导,且 于是，由拉格朗日中值定理可得：至少存在一点，使得，即■3．假设在上二阶可导，且，其中，证明：在至少存在一点，使得．【证】∵在上二阶可导，且，∴对分别在上应用罗尔定理可得：分别存在，，使得有：再对在上应用罗尔定理可得：存在，使得有：■―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题 洛必达法则1．求以下极限：； 【解】■〔2〕；【解】型不定式■〔3〕；【解】型不定式法1〔等价无穷小〕原式=法2〔洛必达法则〕原式.■〔4〕； 【解】型不定式。

原式■〔5〕．【解】型不定式幂指函数极限由等价无穷小可得原式〔〕■2． 设存在且连续，求解】由洛必达法则可得：原式■―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题 泰勒中值定理1．写出在处带拉格朗日型余项的二阶泰勒展开式．【解】∵，，，，，，∴由泰勒公式可得： 〔介于与1之间〕，即〔介于与1之间〕■2．写出的阶麦克劳林公式．【解】法1〔间接法〕∵∴法2〔直接法〕∵，，∴■―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题 函数的单调性与极值1．求函数的单调区间与极值解】定义域：∵∴，，■2．求函数在上的最大值和最小值．【解】注意： ，故只需关注驻点、导数不存在点和端点∵∴驻点，导数不存在点，端点，其函数值分别为，故所求最大值与最小值分别为：■3．在抛物线上找一点，使过的切线与两坐标轴所围三角形面积最小解】最值应用题·写切线方程：∵，∴所求切线方程为·求切线在两坐标轴上的截距：令可得，令可得·写出三角形面积〔目标函数〕：〔〕·求最小值：∵，即，故，显然，相应的所求点为■4．在半径为的球作一接圆柱体，要使圆柱体体积最大，问其高、底半径应是多少.【解】设圆柱体底面半径为、高为，则，圆柱体积为〔〕。

∵，令，即得 由实际意义可知：当底面半径、高时，所作圆柱体体积最大■―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题 曲线的凹凸性及拐点1．讨论曲线的凹凸性及拐点．【解】显然，函数定义域为，故只需关注定义域函数二阶导数为零的点和二阶导数不存在点∵，，∴为凸区间，为凹区间，为曲线的拐点■2．求过上的极大值对应的点和拐点的连线的中点，并垂直于的直线方程．【解】〔1〕与极大值对应的曲线上的点：∵，∴驻点，且，故为的极大值点，对应的曲线上点为〔2〕拐点：由知：曲线拐点为〔3〕中点：由中点公式可得与的中点为：〔4〕直线：过且垂至于〔轴〕的直线方程为■―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题 曲线整体形状的研究1．求曲线的水平与铅直渐近线．【解】∵，∴为曲线的水平渐近线∵，∴为曲线的垂直渐近线■2．描绘函数的图形．【解】函数定义域为显然，为曲线的垂直渐近线∵，为曲线的水平渐近线 单调性与极值：∵∴，凹凸性与拐点：∵，∴，拐点――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题 导数在不等式证明中的应用1．证明：当时，有．【证】单调性法。

设，则∵〔〕∴，从而，〔〕，即得证■2．设，，证明：．【证】中值定理法设，则由拉格朗日中值公式可得：〔〕，即 〔〕 于是，■3．证明：当时，〔正整数〕．【证】最值法设，则∵∴由知：在上得最大值为，即对任意，均有，即■―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题 定积分的概念与性质1．利用定积分的几何意义计算以下定积分：；．【解】〔1〕 〔2〕2．比拟以下积分的大小：与；〔2〕与．【解】〔1〕∵，∴ 从而，，于是，■〔2〕∵对在上应用格朗日中值定理可得：〔〕∴■3．设为连续函数，且，求．【解】设，则在上再积分可得：，解得，故■ 注意：定积分是数，不定积分是函数族！―。