第三章微分中值定理导数的应用.doc

第三章微分中值定理导数的应用教学目的与要求1掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理2理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用3． 用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形4． 握用洛必达法则求未定式极限的方法5． 道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径6． 了解方程近似解的二分法及切线法一、中值定理，泰勒公式（放入泰勒级数中讲）1． 罗尔定理如满足：（1）在连续. （2）在可导. （3） 则至少存在一点 使例 设，则 在区间（-1，0）内，方程 有2个实根；在（-1，1）内有2个根例 设在[0，1]可导，且， 证明存在，使证： 设在[a,b]可导，∴ 存在使 即例 设在[0，1]可导，且, 证明存在 解: 设，且 由罗尔定理 存在 使 即， 亦即例 习题6 设（复合函数求导）2、 拉格朗日中值定理如满足：①在[a,b]连续；②在（a,b）连续，则存在使。

推论：⑴ 如果在区间I上，则 ⑵ 如果在区间I上， 在Ｉ单增（减）例　对任意满足的x， 都有设 ∵ ∴ ∵ ∴ 例 设，证明求导证明作业：见各章节课后习题二、洛必达法则未定形：如下的函数极限都是未定形 1、型： 如：型：2、型： 如：3、型： 如：4、型：如：5、 型： 如：6、 型： 如：7、 型： 如：它们的计算不能用函数极限的四则运算法则，且它们只表示类型，没有具体意义 1、 （）型的洛必达法则(同理)定理：对函数和，如果：（1）, （2）在某个邻域内（后）有导数和，且；（3）存在（或无穷），则成立：=例：1) 2) 3) 例： 1) 2) 3) (>0)3、其它类型1) 2) 3) 4) 解法同3） 例 ： 1) 2) 3) 4) 三、泰勒公式 一、多项式： 在点的各阶导数： 得：二、泰勒中值定理：如果函数在含有的某个开区间有直到阶的导数，则对任一有：1、（N阶泰勒公式）称为余项1）（ 在与之间）拉格朗日型余项（2） 皮亚诺余项。

2、当得麦克劳林公式：三、常见函数的泰勒展开1) 2) 3) 四、函数的性态1、极值1）定义：如在邻域内，恒有， ，则称为函数的一个极大（小）值可能极值点， 不存在的点与的点驻点）驻点 ←极值点2）判别方法ⅰ、导数变号 极小值极大值ⅱ、，例1、 设满足关系式，且, ，则在点处 A A、取得极大值 B、取得最小值 C、在某邻域内单增 D、在某邻域内单减例2．已知函数对一切满足 如，，则 A A、 是的极小值 B、是的极大值 C、是曲线的拐点 D、不是的极值，也不是曲线 的拐点例3． 设函数在的某邻域内可导，，，则是的极 大 值2、函数的最大值与最小值（1）求出内可能的极值点，不需判别极大还是极小，求出它们的函数值，再与端点的函数值进行比较，其中最大的（小）为最大（小）值2）在内可能极值点唯一，如是极小值则为最小值；如是极大值则为最大值 （3）如分别为最小, 最大值4）实际问题据题意可不判别 例1、 在抛物线上的第一象限部分求一点P，过P点作切线，使该切线与坐标轴所围成的三角形面积最小。

解：设切点为，切线方程为即 ∴ 三角形面积： ，令 （唯一） ∴ 故 为所求点3、曲线的凹凸、拐点及渐近线 在I上可导 如则曲线是凹（凸）的, 在连续曲线上凹凸部分的分界点称为曲线的拐点 可能的拐点 和 不存在的点例1、 设，试讨论的性态x(-∞,-2)-2(-2,0)0(0,1)1(1,+ ∞)y’+0-间断+0+y’’----0+y 单调增上凸极大值 单减上凸单增上凸拐点(1,0) 单增下凸渐近线 如 则称为水平渐近线 如 则称为垂直渐近线渐近线可能没有，或多条例2、 求 渐近线 （斜渐近线不讨论）解：∵ ∴ 为水平渐近线∵ ∴ 垂直渐近线例2、 曲线的渐近线有 4 条4 证明不等式（1）利用中值定理（R，L）；（2）利用函数单调性；（3）利用最值；（4）引入辅助函数把常值不等式变成函数不等式；（5）利用函数凹凸性；（6）利用泰勒公式例1、 当，试即证：证： 设 ，在连续，可导，由拉格朗日中值定理 即 ∴ 例2、设，证明证： 设 单增，当 ∴ 设 单增，当∴ 例3、当 证明 证： 令 令得 驻点唯一， ∵ ∴ 极小 ∴ 为最小值即 例4、 当 证明 证: 设 令 , 驻点唯一 当 , → 在上最大值为 ,最小值为∴ 例5、 设，证明证明：即 证 设 ， 时 ∴ 单减 当 即 例6、 设在上可导，且单调减，证明： ，。

证： 令 ∵ 单调减 ， ， ∴ ，即单调减 ， 即 作业：见课后习题。