1.1多元函数基本概念1.2多元函数的极限与连... - 副本.ppt

1.1 多元函数的基本概念多元函数的基本概念1.1.1 n维空间维空间 点集的有关概念点集的有关概念定义定义1 内积内积定义定义2 向量的长度向量的长度显然显然特别地特别地,定义定义3 邻域邻域定义定义4 内点内点,外点外点,边界点边界点定义定义5 聚点聚点例例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点．．定义定义6 孤立点孤立点 例如，例如，即为开集．即为开集．定义定义9 连通的开集称为区域或开区域．连通的开集称为区域或开区域．例如，例如，例如，例如，定义定义10 开区域连同它的边界一起称为闭区域开区域连同它的边界一起称为闭区域. 开区域和闭区域统称为区域开区域和闭区域统称为区域(域域).如果存在正数如果存在正数M,使得对于域使得对于域E中的任意点中的任意点P(x,y)到原点的距离小于到原点的距离小于M,即即 ,则称则称E为有为有界域界域,否则为无界域否则为无界域.类似地可定义三元及三元以上函数．类似地可定义三元及三元以上函数．定义定义11 二元函数的定义二元函数的定义1.1.2 多元函数的定义多元函数的定义例例1 1 求求 的定义域的定义域．．解解所求定义域为所求定义域为（（6）） 二元函数二元函数 的图形的图形（如下页图）（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.例如例如,图形如右图图形如右图.例如例如,左图球面左图球面.单值分支单值分支:1.2 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续1.2.1 二元函数的极限二元函数的极限----二重极限二重极限说明：说明：（（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．例例2 2 求证求证 证证当当 时，时，原结论成立．原结论成立．例例3 3 求极限求极限 解解其中其中求二元函数的极限也称为二重极限求二元函数的极限也称为二重极限 方法方法1.利用定义求利用定义求方法方法2.利用一元函数的极限去求利用一元函数的极限去求例例4 4 证明证明 不存在不存在．． 证证取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在．故极限不存在．不存在不存在.观察观察播放播放确定极限不存在的方法：确定极限不存在的方法：利用点函数的形式有利用点函数的形式有定义定义2 21.2.2、多元函数的连续性、多元函数的连续性例例5 5 讨论函数讨论函数在在(0,0)处的连续性．处的连续性．解解取取故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.从而从而例例6 6 讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性．的连续性．解解取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化， 极限不存在．极限不存在．故函数在故函数在(0,0)处不连续．处不连续．闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次．上至少取得它的最大值和最小值各一次． 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上上取得介于这两值之间的任何值至少一次．取得介于这两值之间的任何值至少一次．（（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（（2）介值定理）介值定理多元初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在一切多元初等函数在其定义区域内其定义区域内是连续的．是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．例７例７解解例例8 求求解解显然显然(1,0)为函数的连续点为函数的连续点,所所以以例例9 求求解解取取则则即即多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性））多元函数的定义多元函数的定义小结小结思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.例例取取但是但是 不存在不存在.原因为若取原因为若取不存在不存在.观察观察不存在不存在.观察观察观察观察不存在不存在.不存在不存在.观察观察观察观察不存在不存在.不存在不存在.观察观察观察观察不存在不存在.不存在不存在.观察观察观察观察不存在不存在.不存在不存在.观察观察观察观察不存在不存在.不存在不存在.观察观察观察观察不存在不存在.不存在不存在.观察观察观察观察不存在不存在.不存在不存在.观察观察观察观察不存在不存在.不存在不存在.观察观察观察观察不存在不存在.不存在不存在.观察观察观察观察不存在不存在.不存在不存在.观察观察观察观察不存在不存在.不存在不存在.观察观察returnreturn。