小专题(一) 三角形三边关系的巧用“三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”是常考的重要知识点之一.解题时注意方程思想和分类讨论思想的应用,注意根据题意列方程(组)或不等式(组)进行求解,解题时容易忽视检验所得的三角形是否存在,巧用三角形的三边关系往往能化难为易,起到事半功倍的解题效果.类型1 判断三条线段能否组成三角形1.判断下列所给的三条线段能否围成三角形?(1)5,5,a(0a,因而能构成三角形.(2)当a=0时,a+1+a+2=2a+3=3,因而不能组成三角形.(3)∵三条线段之比为2∶3∶5,∴设三条线段为2k,3k,5k,∵2k+3k=5k,因而不能组成三角形.类型2 确定三角形的个数2.以长度为5 cm,7 cm,9 cm,13 cm的线段中的三条为边,能组成三角形的情况有(B)A.2种 B.3种C.4种 D.5种3.边长为整数并且最大边长是5的三角形共有 9 个. 4.现有长为7 cm,3 cm的木棒各一根,另有一堆长短不等的木棒若干,请在这堆木棒里选取长为偶数且能与原两根木棒钉成三角形的木棒,则符合条件的木棒有几种?解:设符合条件的木棒的长为x cm,则4-5B.-5-2或a<-56.一个三角形有两边长为2和5,则第三边长x的取值范围是 30,a-b-c<0,a-b+c>0,a+b-c>0,∴|a+b+c|-|a-b-c|-|a-b+c|-|a+b-c|=(a+b+c)-[-(a-b-c)]-(a-b+c)-(a+b-c)=a+b+c+a-b-c-a+b-c-a-b+c=0.类型6 证明线段之间的不等关系12.如图,点P是△ABC内任意一点.试说明:PB+PCPA+PB+PC>(AB+BC+CA).证明:延长BP交AC于点D,∵在△ABD中,AB+AD>PB+PD,在△DPC中,DP+DC>PC,∴AB+AD+DP+DC>PB+PD+PC,∴AB+CA>PB+PC.同理AC+BC>PA+PB,AB+BC>PA+PC,∴2AB+2AC+2BC>2PA+2PB+2PC,即AB+BC+CA>PA+PB+PC.又∵PA+PB>AB,PB+PC>BC,PC+PA>CA,∴2(PA+PB+PC)>AB+BC+CA,∴PA+PB+PC>(AB+BC+CA),∴AB+BC+CA>PA+PB+PC>(AB+BC+CA).1。
