毕业论文（设计）－实数的完备性及其应用（毕业论文）.doc

摘要 1引言 31 •实数的完备性 42.实数完备性的证明 43•实数完备性的应用 9结束语 12参考文献 13致谢 14实数的完备性及其应用摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，它是微积分学的坚实的 理论基础•可以从不同的角度來描述和刻画实数集的完备性，因此有多个实数集 的完备性基本定理，包含六个实数集完备性基木定理•木文通过证明这六个基本 定理的等价性，来对实数集完备性基本定理等价性进行系统的论述，让我们获得 了对实数集完备性的基本特征的进一步的认识和理解.关键词：完备性；反证法；等价性Completeness of the system of real numbers and applicationsAbstract： Completeness of the set of real numbers is its basic character, and it is stable theory background of calculus. It can be described and depicted in different angles, so there are considerable fundamental theorems about it. It contains six basic theorems • That the essay uses three different ways individually to prove the equivalence of the six principle theorems is systematic discussion about it, and makes us acquire more recognition and understanding.Key Words: Completeness; Proof by contradiction; Equivalence引言众所周知,数学分析研究的基木对象是函数及其各分析性质（主要包括连续性, 可微性以及可积性），所用的知识是极限理论.极限理论问题首先是极限存在问题. 一个数列是否存在极限,不仅与数列本身的结构有关，而且也与数列所在数集有 关•如果在有理数集Q上讨论极限，那么单调有界的有理数列就不一定存在极限. 例如,单调有界的有理数列［1 +丄］就不存在极限，因为它的极限是e,是无理数.I n丿由于实数集关于极限的运算是封闭的，是实数集的优点，是有别于有理数集的重 要特征•因此，将极限理论建立在实数集上就使得极限理论有了巩固的基础•所以 实数集的完备性是数学分析的基础•它在整个数学分析中占据着重要的位置.1. 实数集的完备性定理1 （确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界.定理2 （单调有界定理）任何单调有界数列必定收敛.定理3 （区间套定理） 设｛［%仇］｝为一区间套：1・ W“如二［%,仇+］］,兀=1,2,…2・ lim（ - a“） = 0・则存在唯一一点g w ［色,氏］也=1,2,….定理4 （有限覆盖定理）设H=｛（%0）｝是闭区间［a,b］的一个无限开覆盖, 即［a,b］^每一点都含于丹小至少一个开区间（％0）内.则在H2必存在有限个 开区间，它们构成［⑦对的一个有限开覆盖.5 （聚点定理）直线上的任一有界无限点集S至少有一•个聚点即在歹的任意小邻域内都含有S中无限多个点（歹本身可以屈于S,也可以不展于S）.定理6 （柯西准则）数列｛勺｝收敛的充要条件是：X/g〉OdNwN+,只要 gn>N,恒有亿-勺|<.（后者又称为柯四（Cauchy）条件,满足柯四条件 的数列乂称为柯西列，或基本列・）2. 实数集完备性的证明定理1 （确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界. 证我们只需证明非空有上界的数集必有上确界即可，对于非空有下届的 数集必有下确界可类似证明。

由数学分析可知任何一个实数X都可以表示成下列形式x = ［x］ +（X）•其中［X］表示兀的整数部分，⑴表示兀的非负小数部分•我们将⑴表示成无限小 数的形式：⑴二0阳2…a“…,其中1，a2,…%・••的每一个数字都是0, 1, 2, •••, 9 中的一个，若⑴是有限小数,则在后而接上无限个0•这称为实数的无限小数表 示.注意无限小数0必2…知000・..（勺,HO）与无限小数0.即2…（勺,-1）999…是相 等的，为了表示的唯一性，我们约定在⑴的无限小数表示中不出现后者•这样任何一个实数集合S都可以由一个确定的无限小数的集合来表示:+0.叩2 ・••a“…4）= [x],O.a}a2 ……=（兀）,兀 e S设数集S有上界，则可令S中元索的整数部分的最大者为心(勺一定存在,否者的话,S就不可能有上界)，并记S 并且[x]=aoj显然So不是空集，并且对于任意xe S ,只要x纟S就有x

显然Sn也不是空集，并且对于任意"S ,只要x^5n ,就有 x < a(} + 0攵02 ・•不断地做下去，我们得到一列非空数集SnSonSo・・・nSn>・・，和一•列数 aQf 冬…久…，满足创 w Z, ak g {0,1,--,9}, ke N+.令0二+0.002 …an …，下面我们分两步证明0就是数集s的上确界.⑴设兀w S ,则或者存在整数n0>0,使得x电兀，或者对于任何整数n>0, 有尤W S"・若 XE Sg ,便有 X VaO.Q02 …务“ -P ；若兀w S“ (Vn e TV),由的定义并逐个比,较x与0的整数部分及每一位小数，即 知无二0・所以对任意的毗S，有兀50,即0是数集S的丄界.（2）对于任意给定的〉0 ,只要将自然数勺取得充分大，便有击V ・ 取兀 w S%，则0与兀的整数部分及前勺位小数是相同的，所以0 一兀<击<，即无）>0一，所以任何小于0的数都不是数集S的上界•即证0是数集S的上确界.同理对证明非空有下界数集必有下确界.定理2 （单调有界定理）任何单调有界数列必定收敛.证 不防设数列匕”｝单调递减且有下界，根据确界原理有｛益｝必有下确界 满足：（1） Vn e N" \xn> a（2） V^>O,3x„（（:x„o N ： a < xn< 00则存在唯一一点弘［色,仇］/ = 1,2,..・证 由 r 有 4 s ? s …s s • • • s /?” s • • • w $ s 也则｛。