【数学】高中数学-4《坐标系与参数方程》复习提纲.docx

精品资料 欢迎下载选修 4-4 《坐标系与参数方程》复习提纲一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求1．坐标系：① 懂得坐标系的作用 .② 明白在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情形 .③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，懂得在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区分，能进行极坐标和直角坐标的互化 .④ 能在极坐标系中给出简洁图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程 . 通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，懂得用方程表示平面图形时挑选适当坐标系的意义 .⑤ 明白柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，明白它们的区分 .2．参数方程：① 明白参数方程，明白参数的意义 .② 能挑选适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程 .③ 明白平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程 .④ 明白其他摆线的生成过程，明白摆线在实际中的应用，明白摆线在表示行星运动轨道中的作用 .二、基础学问梳理1．伸缩变换： 设点 P〔x,y〕 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换x x,〔 0〕,:y y,〔 0〕.的作用下，点P〔x,y〕 对应到点P 〔 x , y〕 ，称 为平面直角坐标系中的 坐标伸缩变换 ，简称 伸缩变换 .2. 极坐标系的概念： 在平面内取一个定点Ｏ，叫做 极点 ；自极点Ｏ引一条射线 Ｏx 叫做 极轴 ；再选定一个长度单位、一个角度单位 〔 通常取弧度 〕 及其正方向 〔 通常取逆时针方向 〕 ，这样就建立了一个 极坐标系 .3．点 M的极坐标： 设 M是平面内一点，极点Ｏ与点 M的距离 OM 叫做点 M的极径 ，记为 ；以极轴Ｏ x为始边，射线 OM为终边的∠ XOM叫做点 M的极角 ，记为 . 有序数对 〔, 〕 叫做 点 M的极坐标 ，记为 M〔, 〕 .极坐标 〔, 〕 与 〔 ,2k 〕〔 kZ 〕表示同一个点 . 极点 O的坐标为〔0, 〕〔R 〕 .4. 如 0 , 就 0 , 规定点 〔, 〕 与点 〔, 〕 关于极点对称，即 〔, 〕 与 〔 ,〕 表示同一点 .假如规定0,02 ，那么除极点外，平面内的点可用唯独的极坐标〔 , 〕 表示；同时，极坐标〔 , 〕 表示的点也是唯独确定的 .5．极坐标与直角坐标的互化：2 x2 y2 , x cos ,yy sin , tan 〔 x 0〕 x6. 圆的极坐标方程：精品资料 欢迎下载在极坐标系中，以极点为圆心， r 为半径的圆的极坐标方程是 r ；在极坐标系中，以 C 〔a,0〕 〔 a>0 〕 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是2a cos；在极坐标系中，以 C 〔a, 〕 〔 a>0 〕 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是22a sin；7. 直线的极坐标方程：在极坐标系中，〔 0〕 表示以极点为起点的一条射线；〔 R 〕表示过极点的一条直线 .在极坐标系中，过点A〔a,0〕〔 a0) ，且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是 cos a .8．参数方程的概念： 在平面直角坐标系中，假如曲线上任意一点的坐标中 x,y 都是某个变数 t 的函数x f 〔t 〕,y g〔t〕,并且对于 t 的每一个答应值， 由这个方程所确定的点 M〔x,y〕 都在这条曲线上， 那么这个方程就叫做这条曲线的 参数方程 ，联系 x,y 的变数 t 叫做 参变数 ，简称 参数 . 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做 一般方程 .9．常见曲线的参数方程2 2 2x a rcos ,（ 1）圆〔 x a 〕 〔 y b〕 r 的参数方程可表示为y b r〔sin .为参数 〕 .x2 y 2x a cos ,（ 2）椭圆2 2 1 〔a>b>0〕 的参数方程可表示为a b〔y b sin .为参数 〕 .（ 3）抛物线y2 2 px 的参数方程可表示为x 2pt 2 ,y 2pt.〔t为参数 〕 .（ 4）经过点M O 〔 xo ,yo 〕 ，倾斜角为 的直线 l 的参数方程可表示为x xoy yot cos ,t sin .（ t 为参数） .10． 在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范畴 . 在参数方程与一般方程的互化中，必需使x,y 的取值范畴保持一样 .三、典型例题分析考点 1、极坐标与直角坐标互化例题 1.1 、在极坐标中，求两点P〔2, 〕, Q 〔2,4〕 之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程 .4例 1.2 、 已知圆 C： 〔 x1〕2 〔 y3〕 21 ，就圆心 C 的极坐标为 〔 0, 0 2 〕答案：（ 〔2, 2 〕 ）3精品资料 欢迎下载考点 2、极坐标与直角坐标方程互化例题 2.1 、已知曲线 C 的极坐标方程是 4sin ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线 C 直角坐标方程 .解：曲线 C 的极坐标方程 4sin 可化为 2 4 sin , 其直角坐标方程为 x2y2 4 y0 ，即2 2x 〔 y 2〕 4 .例 2.2 、设过原点 O 的直线与圆 C ： 〔 x1〕2y2 1的一个交点为 P ，点 M 为线段 OP 的中点 .(1) 求圆 C的极坐标方程；2(2) 求点 M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．解：（ 1）圆 〔x1〕2y 1 的极坐标方程为 2cos ，（ 2） 设点 P 的极坐标为〔 1 ,1〕 ，点 M 的极坐标为〔 ,〕 ，∵点M为线段 OP 的中点，∴程，得cos ∴点M 轨迹的极坐标方程为1 2 ， 1 ， 将 1 2 ， 1 代入圆的极坐标方cos ，它表示圆心在点 〔 1 ,0〕2，半径为 12的圆 .例 2.3 、在极坐标系中，求圆 2 与直线cos3 sin6 的位置关系 .考点 3、参数方程与直角坐标方程互化例题 3.1 、 已知曲线C1 的参数方程为x 2 10cos（ 为参数） ，曲线C 2 的极坐标方程为y 10 sin2 cos 6 sin ．（ 1）将曲线C1 的参数方程化为一般方程，将曲线C2 的极坐标方程化为直角坐标方程；（ 2）曲线C1 ， C 2 是否相交，如相交恳求出公共弦的长，如不相交，请说明理由．x解：（ 1）由2 10 cos得 〔 x2〕 2y2 10 ∴曲线C1 的一般方程为 〔x2〕2，y2 10y∵ 2 cos10 sin26 sin ， ∴2 cos6 sin ， ∵2x2 y 2 , xcos , ysin∴ x 2 y22 x 6 y ， 即 〔x 1〕 22〔 y 3〕10 ， ∴ 曲 线 C 2的 直 角 坐 标 方 程 为〔x 1〕 2〔 y 3〕 210 ．（ 2） ∵圆C1 的圆心为 〔2,0〕 ，圆 C 2 的圆心为〔1,3〕 ，∴C1C2〔 2 1〕 2〔0 3〕23 2 210 ∴精品资料 欢迎下载两圆相交， 设相交弦长为 d ，由于两圆半径相等， 所以公共弦平分线段C1C2 ∴〔 d 〕22〔 3 2 〕 22〔 10〕 2，∴ d 22 ．x2例 3.2、在椭圆y21 上找一点，写出椭圆的参数方程并在椭圆上找这一点到直线x 2 y12 0 的16 12距离的最小值．解：设椭圆的参数方程为x 4cos， dy 2 3 sin4cos 4 3 sin 1254 5 cos 3sin 34 5 2cos〔 〕 3 ，当 cos〔 〕 1时， dmin4 5，此时所求点为5 5 3 3 5〔2, 3〕 .．例题 3.3 、已知直线 l 经过点P〔1,1〕, 倾斜角 ，6①写出直线 l 的参数方程 ;②设 l 与圆x 2 y24 相交与两点A, B ，求点 P 到A, B 两点的距离之积 .解 ：（ 1）直线的参数方程为x 1 t cos x 6 ，即y 1 t sin y 61 3 t2 ．1 1 t2（ 2）把直线x 1 3 t2 代入x 2 y24 ，得 〔13 t〕 2〔1 1 t〕 24, t 2〔 3 1〕t2 0 ，y 1 1 t 2 22t1t2 2 ， 就点 P 到A, B 两点的距离之积为 2 ．例题 3.4 、求直线x 1 4 t5y 1 3 t5（ t为参数）被曲线 2 cos〔 〕 4所截的弦长 .解：将方程x 1 4 t5y 1 3 t5， 2 cos〔 〕 分别化为一般方程： 3x44 y 1 0 ，x2 y2 x y1 10,圆心 C2 圆心到直线的距离 d＝ 1 ，（ ，－ ），半径为2 22 10精品资料 欢迎下载2 2 1 1 7弦长＝ 2 r d2 .2 100 5考点 4：利用参数方程求值域例题 4.1 、已知点P 〔x, y〕 是圆 x2y2 2 y 上的动点，求 2 x y 的取值范畴 .例题 4.2 、在曲线C1 ：x 1 cos y 。