第4章矩阵的特征值及二次型.doc

1第 4 章 矩阵的特征值及二次型一、内容解析1.理解矩阵特征值、特征向量的概念；掌握特征值与特征向量的求法；设 为 阶方阵，若存在数 和非零 维向量 ，使得AnnxAx则称数 为 的特征值，称 为 相应于特征值 的特征向量注意特征向量必为非零向量例如，设 1,231xA因 3所以 2 为 的特征值， 为 相应于 2 的特征向量x1A特征值的求法： 求特征方程 的根；0||I特征向量的求法： 求齐次线性方程组 的非零解，称为矩阵 的相应于特征oxI)( A值 的特征向量几个有用的结论：（1）n 阶方阵 n 个特征值之和等于方阵对角线元素之和（称为迹） 2）n 阶方阵 n 个特征值之乘积等于方阵的行列式值3）若 为方阵 特征多项式的 重根，则 相应于 的特征向量线性无关的个数不会超过AkA，即有可能相等，有可能小于k（4）任一方阵对应于不同特征值的特征向量是线性无关的由此结论知，方阵 所有特征向A量中线性无关的总数为对应于每个特征值的线性无关特征向量个数之和2.了解矩阵相似的定义和相似矩阵的性质；设 ， 都是 n 阶方阵，若有可逆方阵 P ,使ABP -1 P =AB则称 是 的相似矩阵，或说 和 相似，记为  ，对 进行运算 P -1 P 称为对BA进行相似变换，其中可逆阵 P 称为相似变换矩阵。

相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值3.掌握实对称矩阵对角化的方法当 阶矩阵 有 个线性无关的特征向量时， 被它的特征值和特征向量唯一确定，即一定nAnA有=P P -12其中 P 是以特征向量为列向量的方阵， 是以特征值为对角线元素的对角阵4.理解二次型的定义，二次型的矩阵表示；把变量 的二次齐次多项式nx,,21 221212121 ),( nnn nn xaxaxxxxf   称为 n 元二次型利用矩阵的乘法，可把二次型确切地用矩阵表示为 AXfn),,(21其中 ， nxX21 jiijnnaaA 且  15.了解二次型的标准形及其矩阵描述；只有平方项而没有交叉乘积项的二次型，即 ),,(21nyf 2221nydyd称其为二次型的标准形任何一个二次型都可化为标准形即任何一个对称阵 A，总能找到可逆阵 C，使 成为对A角阵6.掌握用配方法化二次型为标准形的方法；以三个变量的二次型为例，即 ),( 232313231211321 xaxaxf 先将含 的各项配成一个含 的一次式的完全平方，再将含 的各项配成完全平方，作变量1x1x替换，可得标准形。

7.了解正定矩阵的概念，掌握正定矩阵的判定若二次型 对任意非零向量 ，恒有 ，则AT21),(nxf Tnx),(21x0TAx称 为正定二次型，也称实对称矩阵 为正定矩阵f正定矩阵的判别可利用下面的等价条件设 为 阶实对称矩阵，则下列命题等价： An（1） 是正定矩阵；（2） 的正惯性指数为 n（3） 的 个特征值全大于零3二、典型例题例 1 单项选择题（1）设 为 阶矩阵， 既是 又是 的特征值， 既是 又是 的特征向量，则结BA,nABxAB论（　）成立．(A) 是 的特征值 (B) 是 的特征值(C) 是 的特征向量 (D) 是 的特征值x（2）设矩阵 A 的特征多项式 ，则 A 的特征值为 ( )．3021AIA． B． C． D． ， ，123123（3）设矩阵 的特征值为 0，2，则 3A 的特征值为 ( ) ．1A．0，2 B．0，6 C．0，0 D．2，6解：（1）由题给条件可知： = ， = ，那么AxBx（ + ） = + = + =2x所以， 是 的相应于特征值 2 的特征向量。

x正确答案：C（2）由0)3(2)1(3021AI可知，A 的特征值为 ， ， 12正确答案：D（3）因为0)6(3AI可知，A 的特征值为 ， 012正确答案：B例 2 用配方法将二次型 化为标准型，并求出所作32321321 657),( xxxf 的满秩变换．解： 32321321 657),(xxf 4233221)(7xxx令 （*）3321,, xyxy即得23213217),(f 由式（*）解出 ，即得x321yx或写成3213210yx例 3 用配方法将二次型 化为标准型，并323121231321 6),( xxxxf 求出所作的满秩变换．解： 323121231321 6),(xf284)( xxx233231 )(令 （*）2321 ,, xyxyxy 即得 31),(f由（*）式解出 ，即得　321,x32314yx或写成 32132104yx例 4 用配方法将二次型 化为标准型，3231212321321 4),( xxxxf 并求出所作的满秩变换．5解： 3231212321321 4),( xxxxf 2)( 233231 7)(xxx令 （*）2321 ,1, yyxy 即得 317),(f由（*）式解出 ，即得　321,x3231yxyyx或写成 3213210yx。