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matlab周期方波信号（一） 周期离散方波信号频域分析与周期模拟信号一样，周期离散信号同样可以展开成傅里叶级数形式，并得到离散傅里叶级数（DFS）XkΩ=1Nn=-N2N2xne-jkΩn k=0,1,2,…,N-1 上式可以看成周期离散信号x(n)的离散傅里叶级数展开xn=k=0N-1XkΩejkΩn上式是DFS的反变换，记作IDFS并且称X(kΩ)与x(n)构成一对离散傅里叶级数变换对以上两式中Ω=2π/N）在MTALAB中，DFS通过建立周期延拓函数语句实现：function Xk=DFS(n,x,N)if N>length(x) n=0:N-1; x=[x zeros(1,N-length(x))];endk=0:N-1;WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n*k;WNnk=WN.^nk;Xk=x*WNnk;end建立一个离散非周期方波信号xn=RNn=1, &0≤n≤N-10, &其他R4n通过周期延拓后所得的周期序列利用DFS计算实现代码如下：clear all;close all;clc;n=0:3;x=ones(1,4);X=fft(x,1024);Xk1=DFS(n,x,4);1 / 14Xk2=DFS(n,x,8);figure(1);plot((-1023:2048)/2048*8,[abs(X) abs(X) abs(X)],--);hold on;stem(-4:7,[abs(Xk1) abs(Xk1) abs(Xk1)],LineWidth,2);grid;figure(2);plot((-1023:2048)/2048*16,[abs(X) abs(X) abs(X)],--);hold on;stem(-8:15,[abs(Xk2) abs(Xk2) abs(Xk2)],LineWidth,2);grid;set(gcf,color,w);运行后得到的是分别以4和8为周期延拓后的R4n频谱：即第一幅图表示的是周期序列 xn=1 -∞

两图中的包络线表示的是通过快速傅里叶变换（FFT）所得到的频谱线二）非周期离散方波信号频域分析对于非周期离散方波信号，可采用离散时间傅里叶变换DTFT进行分析XΩ=n=-∞+∞x(n)e-jωn上式为离散时间信号x(n)的离散时间傅里叶变换（DTFT）xn=12π02πXΩejΩndΩ上式为XΩ的离散时间傅里叶反变换（IDTFT）由于：i=-∞+∞x(i)<+∞所以序列x(n)绝对可和，意味着DTFT存在，而非稳定序列（比如周期序列）不满足绝对可和条件，所以其DTFT不存在在MTALAB中，DTFT可以用以下语句实现：w=-3*pi:0.01:3*pi;K=length(w);X=x*exp(-j*n*w*K);建立一个离散非周期方波信号xn=RNn=1, &0≤n≤N-10, &其他R8n的离散傅里叶变换Xejω利用DTFT计算实现代码如下：clear all;close all;clc;n=0:7;x=ones(1,8);w=-3*pi:0.01:3*pi;X=x*exp(-j*n*w);figure(1);plot(w/pi,abs(X));grid;figure(2);plot(w/pi,angle(X));grid;set(gcf,color,w);运行后分别得到该离散非周期方波信号的幅频特性与相频特性：幅频特性相频特性（三） 两种变换DFS的DTFT的性质DFS主要具有如下性质：1. 线性性质2. 周期卷积性质3. 复共轭4. 帕斯瓦尔定理DTFT同连续时间信号傅里叶变换相似，具有如下性质：1. 线性性质2. 时域频域平移性质3. 时间翻转性质4. 共轭对称性质5. 时域频域卷积性质6. 调制性质7. 频域微分性质8. 帕斯瓦尔定理从DTFT的推导过程，说明DTFT是DFS当N→∞的极限情况。

共同点：在时域都是离散的，在频域都是以2π为周期，周而复始不同点：离散时间周期信号频谱是离散的，具有谐波性，X(kΩ)是谐波复振幅，适用于计算机计算而离散时间非周期信号的频谱则是连续的，不具有谐波性， XΩ表示的是谐波密度，是连续变量Ω的函数，所以不便于计算机进行分析计算四） 离散傅里叶变换（DFT）由于DTFT不便于计算机进行计算，所以需要建立一种时域和频域都是离散的傅里叶变换对，这就是离散傅里叶变换（DFT）Xk=n=0N-1x(n)e-jkΩn k=0,1,2,…,N-1上式为离散时间非周期信号的离散傅里叶变换（DFT）xn=1Nk=0N-1XkejkΩn n=0,1,2,…,N-1上式为DFT的反变换，记作IDFTXk和xn称为离散傅里叶变换（DFT）对在MTALAB中，DFT通过建立函数实现：function Xk=DFT(n,x,N)if N>length(x) n=0:N-1; x=[x zeros(1,N-length(x))];endk=0:N-1;WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n*k;WNnk=WN.^nk;Xk=x*WNnk;End建立一个离散非周期方波信号xn=RNn=1, &0≤n≤N-10, &其他R8n的离散傅里叶变换Xejω利用DFT计算实现代码如下：clear all;close all;clc;n=0:7;x=ones(1,8);X=fft(x,1024);Xk2=DFT(n,x,16);figure(1);plot((-1023:2048)/2048*32,[abs(X) abs(X) abs(X)],--);hold on;stem(-16:31,[abs(Xk2) abs(Xk2) abs(Xk2)],LineWidth,2);grid;figure(2);plot((-1023:2048)/2048*32,[angle(X) angle(X) angle(X)],--);hold on;stem(-16:31,[angle(Xk2) angle(Xk2) angle(Xk2)],LineWidth,2);grid;set(gcf,color,w);运行后分别得到该离散非周期方波信号的幅频特性与相频特性：幅频特性相频特性两图中的包络线表示的是通过快速傅里叶变换（FFT）所得到的频谱线。

离散傅里叶变换是傅里叶变换在时域、频域均离散化的形式，因而与其他傅里叶变换有着相似的性质但是它又是从傅里叶级数派生而来的，所以又具有一些与其他傅里叶变换不同的特性，最主要的是圆周位移性质和圆周卷积性质一、 快速傅里叶变换（FFT）快速傅里叶变换，简称FFT，是计算DFT的快速算法，习惯上是指以库利和图基算法为基础的一类高效算法根据快速傅里叶变换基本思路以及基2FFT算法，在MTALAB中，FFT通过建立函数实现：function y=fft(x)m=nextpow2(x); N=2^m;if length(x)

三、采样定理（一）时域采样定理为了验证时域采样定理，可以把原始采样序列每隔D-1点取一个值，形成一个新的序列在MATLAB中，通过以下程序实现：clear all;close all;clc;x=ones(1,8);D=2;xd=x(1:D:length(x));fx=fft(x,512);fxd=fft(xd,512);z=abs(fx);s=abs(fxd);k=0:length(z)-1;plot(k,s,k,z);D=2时得到的原始序列与采样序列的幅频特性（蓝色为原始序列，绿色为采样序列）D=3时得到的原始序列与采样序列的幅频特性（蓝色为原始序列，绿色为采样序列） D=4时得到的原始序列与采样序列的幅频特性（蓝色为原始序列，绿色为采样序列）D=0.5时得到的原始序列与采样序列的幅频特性（蓝色为原始序列，绿色为采样序列）由此可见，采样周期在D大于2的范围内，出现明显的混叠现象，有失真产生，而在小于1的范围内，采样过于密集，增加运算系统负担因此，可验证时域采样定理二）频域采样定理为了验证频域采样定理，可以把原始采样序列每隔D-1点取一个值，形成一个新的序列在MATLAB中，通过以下程序实现：clear all;close all;clc;x=-10:0.001:10;y=(sin(x))/x;X=fft(y,20);D=7;Xd=X(1:D:length(X));fxd=ifft(Xd,20);s=fxd;k=0:length(s)-1;plot(k,s); D=7时根据频域样本集合恢复的原信号D=3时根据频域样本集合恢复的原信号D=10时根据频域样本集合恢复的原信号由此。