数学建模-足球队排名.doc

1 -足球队排名摘要本论文针对足球的排名问题设计一个依据各队的成绩排出各队的名次的模型对于这个足球队排名问题，我们采用竞赛图法和层次分析法这两种方法给出足球队的排名顺序用竞赛图法我们应该先建立竞赛图，以 n 个队，T1,T2,T3….Tn 为竞赛图的 G 的顶点集建立竞赛图 G 的边集就可以算出各队的排名顺序这个名次正是比赛成绩所体现的各队实力的顺序，所建立的模型充分考虑了排名结果对各场比赛成绩的重要性的反馈影响基本上消除了由于比赛对手的强弱不同造成的不公平现象，本模型比较完满的解决了足球队排名出问题，而且经过简单的修改，他可适用于任何一种对抗赛的排名关键词：竞赛图 、邻接矩阵、最大特征值、特征向量- 2 -一、 提出问题附表给出的是我国 12 支球队字 1988~1989 年全国甲级联赛中的成绩，要求建立数学模型，对各队进行排名次排名的目的是根据比赛成绩排出反映各队正是实力状况的一个顺序，所以说一个好的排名算法应满足下面的一些基本要求：（1） 保序性：我们认为各队的真实实力水平在成绩表中反映出来，所以根据排名的目的，我们要求排名顺序与成绩表所反映的各队的真实水平是一致的2） 稳定性:成绩表中校的变动不会对排名造成巨大的影响。

3） 能够处理不同场次的权重：应为不同比赛在排名中的地位不同，往往会出现有的对不信遇到较强的对而输掉，避免由于对手的强弱不同造成的不公平（4） 能够准确的进行补残：两个队之间没有打比赛，我们只为成绩表残缺，对于两队成绩的残缺，只能通过他们同其他队的比赛成绩判断他们实力的大小5） 能够判断成绩表的可约性6） 容忍不一致现象（7） 对数据可依赖程度给出较为精确的描述二、 问题的重述下表给出了我国 12 只足球队在 1988—1989 年全国足球甲级联赛中的成绩要求（见附表一）1) 设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法并给出用该算法排名次的结果2) 把算法推广到任意 N 个队的情况3) 讨论数据应具备什么样的条件用你的方法才能够排出诸队的名次对下表的说明1) 12 支球队依次记作 T1,T2,··· T122) 符号 X 表示两队未曾比赛3) 数字表示两队比赛结果如 T3 行与 T8 列交叉处的数字表示T3 与 T8 比赛了 2 场 T1 与 T2 的进球数之比为 0：1 和 3 ：1- 3 -三、 模型的假设（1） 一对排在另一对之前，不能只考虑这两队的成绩，而应充分考虑这两对所有比赛场次的战绩。

2） 要充分考虑对手的强弱因素，减少球队发挥水平不正常而带来的影响，避免强队偶然输给弱队带来名次的大落，又应考虑弱队超水平发挥后名次的上升3） 如果两队之间由于种种原因，没有比赛或者双方打成平局，就有其他队的战绩确定这两队的强弱4） 参赛各队存在客观的真实实力，这是任何一种排名算法的基础5） 在每场比赛中体现出来的强队对弱队的表面真实实力对比是以他们真实实力对比为中心的互相独立的真态分布四、符号说明符号 其定义和说明（Ti，Tj） 第 i 队和第 j 队的比赛，i=1，2，3，…，12；j=1，2，3，…，12；aij、 aji 地 i 队对第 j 队的表现实力ai（2） 第 i 队打败的对的二重积分和w 排名向量B 判断矩阵的辅助矩阵A 判断矩阵§max 最大特征值mij Ti胜 Tj 平均每场净胜球数- 4 -五、 模型的建立和求解方法一、竞赛图法（问题一）、设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法并给出用该算法排名次的结果根据问题的假设和比赛成绩表，我们构造竞赛图如下：以 n 个参赛队 T1,T2,T3,…,Tn为竞赛图 G 的顶点，G 的边集按如下算法求得：i 从 1 到 n 循环，j 从 1 到 n 循环。

若 Ti 胜 Tj 的场次多，则以 Ti 为尾 Tj 为头，作边（Ti，Tj）；若 Tj 胜 Ti 的场次多，则建边（Tj，Ti），若两队之间胜的场次相同，则以两队比赛进球多的一队为尾，另一头为头建边，否则不建 边若两队之间没有比赛则不建边根据建边情况，可建立矩阵 A=aij如下：1）a ii=0；2）当 i≠j 时，若 Ti， Tj建边，则取 aij=1，a ji=0；若 Ti， Tj之间未建边，则 aij、 aji不计数则建立 A 的矩阵如下表所示：T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12T1 0 0 1 1 1 0 0 1T2 0 0 1 1 1 0T3 1 1 0 1 1 1 0 1 1T4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0T5 0 0 1 0 0 0T6 0 0 0 1 1 0T7 1 1 1 0 1 1 1 1 1T8 1 0 1 0 0 1T9 0 0 1 0 0 1 1 1T10 1 0 1 0 0 0 1 1T11 0 0 0 0 0 0T12 1 0 0 0 1 0(2)、对 i 从 1 到 n 计分，其计算得分量为 ai， 然后再计算其二级的分量 ai（2） 其计算结果如下：一级得分向量：（a 1，a 2, a3, a4，a 5, a6, a7, a8, a9, a10, a11, a12）=(4,3,7,0,1,2,8,3,4,4,0,2)- 5 -二级得分向量：（a (2)1，a (2)2, a(2)3, a(2)4，a (2)5, a(2)6, a(2)7, a(2)8, a(2)9, a(2)10, a(2)11, a(2)12）=(7,6,17,0,0,1,24,4,6,5,0,1)三级得分向量：（a （3） 1,a（3） 2,a（3） 3, a（3） 4，a （3） 5, a（3） 6, a（3） 7, a（3） 8, a（3） 9, a（3） 10, a（3） 11, a（3） 12）= (7,7,23,0,0,0,40,7,12,7,0,1)(3)、i 从 1 到 n 循环，j 从 1 到 n 循环。

如果 Ti与 Tj之间没有边连接，则比较 ai与 aj，如果 ai>aj则建立（T i，T j） ，如果 aiaj，a ij=1；2） aia（2） j，a ij=1；4） a（2） i04）构造判断矩阵 Ai 从 1 到 n 循环，j 从 1 到 n 循环1)若 Ti与 Tj互胜场次相等，则（i） 净胜球为 0 时，令 aij= aji=1；（ii） Ti净胜球多时以 Ti净胜 Tj一场做后续处理2）若 Ti净胜 Tjk场且 k>0，则(i)bij=2k(1≤k≤4);(ii)mij=Ti胜 Tj 平均每场净胜球数；Dij=1（m ij>2）,d ij=0(0≤m ij≤2),d ij=-1(mij<0)(iii)aij=bij+dij,aji=1/aij(2)若 Ti与 Tj无比赛成绩，则 aij=aji=0 则根据以上规则，可建立如下的判断矩阵 AT1 T2 T3 T4T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11T12T1 1 1 1/2 6 2 2 1/4 1/2 5 1 0 0T2 1 1 1/2 2 1 2 1 1 2 1/2 0 0T3 2 2 1 2 2 3 1/2 2 2 2 0 0T4 1/6 1/2 1/2 1 1/2 1/2 1/5 1/2 1/2 1/2 0 0T5 1/2 1 1/2 2 1 1/2 0 0 0 0 2 1/2T6 1/2 1/2 1/3 2 2 1 0 0 0 0 0 0T7 4 1 2 5 0 0 1 4 7 7 2 2T8 2 1 1/2 2 0 0 1/4 1 1/2 1 2 1T9 1/5 1/2 1/2 2 0 0 1/7 2 1 4 2 2T101 2 1/2 2 0 0 1/7 1 1/4 1 2 2T110 0 0 0 1/2 0 1/2 1/2 1/2 1/2 1 1/2T1 0 0 0 0 2 0 1/2 1 1/2 1/2 2 1- 8 -25)检测 A 的可约性，如果可约则输出可约信息后退出。

6）构造辅助矩阵 Bi 从 1 到 n 循环，j 从 1 到 n 循环bij=aij (i≠j 且 aij≠0)； bij=mi+1 （i=j，其中 mi为 A 的第 i 行 0 的个数） ；b ij=0（a ij=0）T1 T2 T3 T4T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11T12T1 3 1 1/2 6 2 2 1/4 1/2 5 1 0 0T2 1 3 1/2 2 1 2 1 1 2 1/2 0 0T3 2 2 3 2 2 3 1/2 2 2 2 0 0T4 1/6 1/2 1/2 3 1/2 1/2 1/5 1/2 1/2 1/2 0 0T5 1/2 1 1/2 2 5 1/2 0 0 0 0 2 1/2T6 1/2 1/2 1/3 2 2 7 0 0 0 0 0 0T7 4 1 2 5 0 0 3 4 7 7 2 2T8 2 1 1/2 2 0 0 1/4 3 1/2 1 2 1T9 1/5 1/2 1/2 2 0 0 1/7 2 3 4 2 2T101 2 1/2 2 0 0 1/7 1 1/4 3 2 2T110 0 0 0 1/2 0 1/2 1/2 1/2 1/2 6 1/2T120 0 0 0 2 0 1/2 1 1/2 1/2 2 66） 计算 B 的主特征根§ max主特征向量 w1利用“和法”计算，（1） 将 A 的每一列向量归一化得（2）对 按行求和得（3）将归一化得 - 9 -即为近视特征向量， （4）计算， 作为最大特征根的近似值。

7）按 w 的各分量由大到小的顺序对参赛各队排名次六、 模型的评价与推广通过与现行的一些比较，用竞赛图法求出排名的结果，是比较简单的，但要将其推广到 n 的对来进行排名，是比较麻烦的，主要是在计算机上运行的结果不太明确，虽然用 matlab 能够将其最大特征值和特征向量算来，但结果太长，且不容易比较但对于只有有限个对的排名是比较简单的对于 n 个队，我们采用了层次分析法，他就具有明显的优势了：（1） 它存在反馈机制，并且具有稳定性，保证了排名的稳定性，保证了排名的公平性;（2） 能较准确的处理残缺、不一致等性质很差的数据，对比赛程序没有严格的要求;（3） 灵活机动，这包括它提供了对比赛成绩表进行取舍的参考指标，以及他适合 N 个队任何对抗赛的排名；（4） 满足保序性模型的一个缺点就是算法复杂在从成绩构造判断矩阵时用到的方法也不是最好的，这一步在整个模型里引入误差最大，稍微复杂一点的方法是根据成绩通过查表或专家咨询活的实力对比值另外一个不足之处是在莫残缺元素过多的情况下排名的稳定性和可靠性较低模型的改进余地也是很大的，他只是使用了层次分析法中单一准则一个层次的排序方法，可以考虑使用多个准则和梯阶层次，比如将净胜球数，净胜局数，射门次数，犯规次数作为四个准则，两个层次。

10 -七、参考文献【1】 姜启源等数学模型高等教育出版社，2003 。