线面垂直习题测验精选.pdf

习题精选精讲线面垂直的证明中的找线技巧通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直1 如图 1，在正方体1111ABCDA B C D中，M为1CC的中点， AC 交 BD 于点 O，求证：1AO平面 MBD证明：连结MO，1A M， DB1A A，DBAC，1A AACAI，DB平面11A ACC，而1AO平面11A ACCDB1A O设正方体棱长为a，则22132A Oa，2234MOa在 Rt11AC M中，22194A Ma22211AOMOA M，1AOOM OMDB=O，1AO平面 MBD评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明利用面面垂直寻求线面垂直2 如图 2，P是 ABC 所在平面外的一点，且PA平面 ABC，平面 PAC平面 PBC求证： BC平面 PAC证明：在平面PAC 内作 ADPC 交 PC 于 D因为平面 PAC平面 PBC，且两平面交于PC，AD平面 PAC，且 ADPC， 由面面垂直的性质，得 AD平面 PBC又BC平面 PBC，ADBCPA平面 ABC，BC平面 ABC， PABCADPA=A， BC平面 PAC（另外还可证BC 分别与相交直线AD，AC 垂直，从而得到BC平面 PAC）评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂直这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题下面举例说明3 如图所示，ABCD为正方形，SA平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB SCSD，于EFG， ，求证：AESB，AGSD证明：SA平面ABCD，SABCABBC，BC平面SAB又AE平面SAB，BCAESC平面AEFG，SCAEAE平面SBCAESB同理可证AGSD评注 ：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化4 如图，在三棱锥BCD中，BCAC，ADBD，作BECD，为垂足，作AHBE于求证：AH平面BCD证明：取AB的中点，连结CF，DFACBC，CFABADBD，DFAB又CFDFFI，AB平面CDFCD平面CDF，CDAB又CDBE，BEABBI，CD平面ABE，CDAHAHCD，AHBE，CDBEEI，AH平面BCD习题精选精讲评注 ：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直如此反复，直到证得结论5 如图，AB是圆的直径，是圆周上一点，PA平面ABC若AEPC，为垂足，是PB上任意一点，求证：平面AEF平面PBC证明：AB是圆的直径，ACBCPA平面ABC，BC平面ABC，PABCBC平面APCBC平面PBC，平面APC平面PBCAEPC，平面APC平面PBCPC，AE平面PBCAE平面AEF，平面AEF平面PBC评注： 证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直， 而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系6. 空间四边形ABCD 中，若 AB CD，BCAD ，求证： ACBD A D B O C证明：过 A 作 AO平面 BCD 于 O AB CDCD BO，同理 BCDO O 为 ABC 的垂心于是BD COBD AC7. 证明：在正方体ABCD A1B1C1D1中， A1C平面 BC1D D1C1A1B1D C A B证明：连结AC BDACAC 为 A1C 在平面 AC 上的射影BD A CA C BCA CBC D11111同理可证平面8. 如图，PA平面 ABCD ，ABCD 是矩形， M、N 分别是 AB 、PC 的中点，求证：MNABP N D C A BM . 证：取 PD 中点 E，则ENDC/12习题精选精讲P E N D C A BM ENAM/AEMN/ /又平面平面平面CDADPAACCDPADAEPADCDAECDABAEMNMNAB/ / /9 如图在 ABC 中， AD BC， ED=2AE ， 过 E 作 FGBC，且将 AFG沿 FG折起，使 AED=60 ，求证 :A E平面 ABC 分析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。

解：FGBC，AD BC AEFG AEBC 设 A E=a，则 ED=2a 由余弦定理得： AD2=AE2+ED2-2?AE?EDcos60 =3a2 ED2=AD2+AE2 ADAE AE平面 ABC 10 如图 , 在空间四边形SABC 中, SA 平面 ABC, ABC = 90 , ANSB于 N, AMSC于 M求证 : AN BC; SC 平面 ANM分析 : 要证 AN BC, 转证, BC 平面 SAB要证 SC 平面 ANM, 转证 , SC 垂直于平面ANM 内的两条相交直线, 即证 SC AM, SC AN要证 SC AN, 转证 AN 平面 SBC, 就可以了证明 : SA 平面 ABCSA BC又 BC AB, 且 ABSA = ABC 平面 SABAN平面 SABAN BC AN BC, AN SB, 且 SBBC = BAN 平面 SBCSCC平面 SBCAN SC又 AMSC, 且 AMAN = ASC 平面 ANM11 已知如图， P平面 ABC ，PA=PB=PC ， APB= APC=60 ， BPC=90求证：平面ABC 平面 PBC 分析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。

显然BC 中点 D，证明 AD 垂直平 PBC 即可证明：取 BC 中点 D 连结 AD 、PD PA=PB ； APB=60 PAB为正三角形同理 PAC为正三角形设 PA=a 在 RTBPC中， PB=PC=a BC=2a PD=22a 在 ABC中 AD=22BDABABCDFEGA习题精选精讲 =22aAD2+PD2=222222aa =a2=AP2 APD为直角三角形即AD DP又AD BC AD 平面 PBC 平面 ABC 平面 PBC 13 以 AB 为直径的圆在平面内，PA于 A，C 在圆上，连 PB、PC 过 A 作 AE PB 于 E，AFPC 于 F，试判断图中还有几组线面垂直ABCPEF解：PCAFBCAFPACAFPACBCBCACABBCPABCPA面面为直径PBPBAEPBAFPBCAF面面 AEF 例 1 如图 939，过 S 引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且 ASB=ASC=60， BSC=90，求证：平面ABC 平面 BSC【证明】 SB=SA=SC， ASB= ASC=60 AB=SA=AC 取 BC 的中点 O，连 AO、SO，则 AOBC，SOBC， AOS 为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a，又 BSC=90， BC=2a，SO=22a，AO2=AC2OC2=a221a2=21a2， SA2=AO2+OS2， AOS=90，从而平面ABC平面 BSC【评述】要证两平面垂直，证其二面角的平面角为直角这也是证两平面垂直的常用方法例 2如图 940，在三棱锥 SABC 中， SA平面 ABC，平面 SAB平面 SBC图 940 （1）求证： AB BC；（ 2）若设二面角SBCA 为 45， SA=BC ，求二面角ASCB 的大小（1）【证明】作AH SB 于 H，平面 SAB平面 SBC平面 SAB平面 SBC=SB， AH 平面 SBC，又 SA平面 ABC， SABC，而 SA 在平面 SBC 上的射影为SB， BCSB，又 SASB=S，BC平面 SAB BCAB（2）【解】 SA平面 ABC ，平面 SAB平面 ABC，又平面 SAB平面 SBC， SBA 为二面角 SBCA 的平面角， SBA=45设 SA=AB=BC=a ，作 AESC 于 E，连 EH，则 EHSC， AEH 为二面角 ASCB 的平面角，而AH=22a，AC=2a，SC=3a，AE=36a sinAEH=23，二面角 ASCB 为 60【注】三垂线法是作二面角的平面角的常用方法习题精选精讲例 3如图 941，PA平面 ABCD ，四边形ABCD 是矩形， PA=AD=a ，M、N 分别是 AB、PC 的中点（1）求平面 PCD 与平面 ABCD 所成的二面角的大小；（2）求证：平面MND 平面 PCD （1）【解】 PA平面 ABCD ，CDAD ，PDCD，故 PDA 为平面 ABCD 与平面 PCD 所成二面角的平面角，在RtPAD 中， PA=AD ， PDA=45（2）【证明】取PD 中点 E，连结 EN，EA ，则 EN 21CD AM ，四边形ENMA 是平行四边形，EAMN AEPD，AE CD， AE平面 PCD，从而 MN平面 PCD， MN平面 MND ，平面 MND 平面 PCD【注】证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证MN 平面 PCD 较困难，转化为证明AE 平面 PCD 就较简单了另外，在本题中，当 AB 的长度变化时，可求异面直线PC 与 AD 所成角的范围例 4如图 942，正方体 ABCD A1B1C1D1中， E、F、M、N 分别是 A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点图 942 （1）求证：平面MNF 平面 ENF（ 2）求二面角MEFN 的平面角的正切值（1）【证明】 M、N、E 是中点，MCNCNBEB111145MNCENB1190MNE即 MN EN，又 NF平面 A1C1，11CAMN平面MN NF，从而 MN 平面 ENF MN 平面 MNF ，平面 MNF 平面 ENF（2）【解】过N 作 NHEF 于 H，连结 MH MN 平面 ENF，NH 为 MH 在平面 ENF 内的射影，由三垂线定理得MH EF， MHN 是二面角 MEFN 的平面角在RtMNH 中，求得 MN=22a，NH=33a，tanMHN=26NHMN，即二面角MEFN 的平面角的正切值为26例 5在长方体ABCD A1B1C1D1中，底面 ABCD 是边长为2的正方形，侧棱长为3，E、F 分别是 AB1、CB1的中点，求证：平面 D1EF平面 AB1C【证明】如图943，E、F 分别是 AB1、CB1的中点，图 943EFAC AB1=CB1，O 为 AC 的中点 B1OAC 故 B1OEF在 RtB1BO 中， BB1=3，BO=1习题精选精讲 BB1O=30，从而 OB1D1=60，又 B1D1=2，B1O1=21OB1=1（O1为 BO 与 EF 的交点） D1B1O1是直角三角形，即B1OD1O1， B1O平面 D1EF又 B1O平面 AB1C，平面 D1EF平面 AB1C1棱长都是2 的直平行六面体ABCD A1B1C1D1中， BAD=60 ，则对角线A1C 与侧面 DCC1D1所成角的正弦值为_【解】过 A1作 A1GC1D1于 G，由于该平行六面体是直平行六面体，A1G平面 D1C，连结 CG， A1CG 即为 A1C 与侧面 DCC1D1所成的角A1G= A1 D1sinA1 D1 G=2sin60=223=3而AC=120cos222BCABBCAB=32)21(2222222A1C=4124221ACAA，sinA1CG=4311CAGA【答案】432E、F 分别是正方形ABCD 的边 AB 和 CD 的中点， EF、BD 相交于 O，以 EF 为棱将正方形折成直二面角，则BOD=_ 【解析】设正方形的边长为2a则 DO2。