高中数学11导数及其应用全部课件苏教版选修一极大值与极小值1.ppt

3.3.2 极大值与极小值极大值与极小值单调性与导数的关系：单调性与导数的关系：设函数设函数y=f(x)在在某个区间某个区间内可导，内可导，•如果如果f ′(x)>0，则，则f(x)为增函数；为增函数；•如果如果f ′(x)<0，则，则f(x)为减函数；为减函数；•如果如果f ′(x)=0，则，则f(x)为常数函数；为常数函数；B(04全国卷全国卷Ⅱ理理10) 函数函数 在下面哪个区间内是增函数在下面哪个区间内是增函数 （（ ）） A．． B．． C．． D．．如如:复习复习: yxOaby= =f(x)x1 f (x1)x2 f(x2)x3 f(x3)x4 f(x4) 函数函数 y=f (x)在点在点x1 、、x2 、、x3 、、x4处的处的函数值函数值f (x1)、、 f (x2)、、 f (x3)、、 f (x4)，与它们左右，与它们左右近旁各点处的函数值，相比有什么特点近旁各点处的函数值，相比有什么特点?观察图像：观察图像：一、函数的极值定义一、函数的极值定义一般的，设函数一般的，设函数f(x)在点在点x0附近有定义，附近有定义，•如果对如果对X0附近的所有点，都有附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则则f(x0) 是函数是函数f(x)的一个极小值，记作的一个极小值，记作y极小值极小值= f(x0)；；◆◆函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值. (极值即峰谷处的极值即峰谷处的值值------不一定最大或最小）不一定最大或最小）使函数取得极值的使函数取得极值的点点x0称为称为极值点极值点数学建构数学建构 （（3））极大值与极小值没有必然关系，极大值与极小值没有必然关系， 极大值可能比极小值还小极大值可能比极小值还小. 注意：注意：o oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1))y=f(x)Q(x2,f(x2))（（1））极值是某一点附近的小区间而言极值是某一点附近的小区间而言的的,是函数的局部性质是函数的局部性质,不是整体的最值不是整体的最值;（（2））函数的极值不一定唯一函数的极值不一定唯一,在整个定义区间在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；内可能有多个极大值和极小值； yxO观察与思考：观察与思考：极值与导数有何关系？极值与导数有何关系？在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。

在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的aby= =f(x)x1 f  (x1)= =0 x2 f  (x2)= =0 x3 f  (x3)= =0 x4 f  (x5)= =0 x5 观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法究方法,看极值与导数之间有什么关系看极值与导数之间有什么关系?o a x0 b x y xx0 0左侧左侧 x0x0 0右侧右侧 f (x) f(x) o a x0 b x y xx0 0左侧左侧 x0x0 0右侧右侧 f (x) f(x)增增f (x) >0f (x) =0f (x) <0极大值极大值减减f (x) <0f (x) =0增增减减极小值极小值f (x) >0数学建构数学建构请问如何判断请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值？是极大值或是极小值？ f  (x)<0 yxOx1aby= =f(x)在极大值点附近在极大值点附近在极小值点附近在极小值点附近 f  (x)<0 f  (x)>0 f  (x)>01、如果在、如果在x0附近的左侧附近的左侧f ’(x)>0，右侧，右侧f ’(x)<0，，则则f (x0)是极大值；是极大值；2、如果在、如果在x0附近的左侧附近的左侧f ’(x)<0，右侧，右侧f ’(x)>0，， 则则f (x0)是极小值；是极小值；已知函数已知函数f(x)在点在点x0处是处是连续连续的，则的，则二、判断函数极值的方法二、判断函数极值的方法x2•导数为导数为0的点不一定是极值点；的点不一定是极值点；•极值点处的导数不一定是存在的；极值点处的导数不一定是存在的；•若极值点处的导数存在，则一定为若极值点处的导数存在，则一定为0左正右负为极大，右正左负为极小左正右负为极大，右正左负为极小注意注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是的，是局部性质局部性质。

因此一个函数在其整个定义区间因此一个函数在其整个定义区间上可能有上可能有多个极大值或极小值多个极大值或极小值，并对同一个函数来，并对同一个函数来说，在某说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值一点的极大值也可能小于另一点的极小值例例.判断下面判断下面4个命题，其中是真命题序号为个命题，其中是真命题序号为 ①①可导函数必有极值；可导函数必有极值；②②函数在极值点必有定义；函数在极值点必有定义；③③函数的极小值一定小于极大值函数的极小值一定小于极大值（设极小值、极大值都存在）；（设极小值、极大值都存在）；④④函数的极小值（或极大值）不会多于一个函数的极小值（或极大值）不会多于一个②②例例1 求函数求函数 的极值x(-∞，-2）-2(-2，2）2(2，+∞） y′y解解：定义域为：定义域为R，，y′=x2-4由由y′=0可得可得x=-2或或 x=2当当x变化时，变化时，y′, y的变化情况如下表：的变化情况如下表：因此，当因此，当x=-2时，时， y极大值极大值=17/3 当当x=2时，时， y极小值极小值=－－5+ ++ +0 0-0 0极大值极大值17/3极小值极小值 -5求可导函数求可导函数f(x)极值的极值的 步骤：步骤：(2)求导数求导数f ’(x)；；(3)求方程求方程f ’(x））=0的根；的根； (4)把定义域划分为把定义域划分为部分区间，并列成表格部分区间，并列成表格检查检查f ’(x)在方程根左右的符号在方程根左右的符号——•如果如果左正右负左正右负（（+ ~ -），）， 那么那么f(x)在这个根处取得极在这个根处取得极大大值；值；•如果如果左负右正左负右正（（- ~ +），）， 那么那么f(x)在这个根处取得极在这个根处取得极小小值；值；(1) 确定函数的确定函数的定义域定义域；；例例2 求函数求函数 y=(x2-1)3+1 的极值。

的极值x(-∞,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+∞)y′－0－0+0+y无极值无极值极小值极小值0无极无极值值解解：定义域为：定义域为R，， y′=6x(x2-1)2由由y′=0可得可得x1=-1, x2=0 ，，x3=1当当x变化时，变化时，y′ , y的变化情况如下表：的变化情况如下表：因此，当因此，当x=0时，时， y极小值极小值=0点评：一点是极值点的点评：一点是极值点的充分条件充分条件是这点两侧的导数异号是这点两侧的导数异号1、函数、函数y=f(x)的导数的导数y/与函数值和极值之间的关系为与函数值和极值之间的关系为( )A、导数、导数y/由负变正由负变正,则函数则函数y由减变为增由减变为增,且有极大值且有极大值B、导数、导数y/由负变正由负变正,则函数则函数y由增变为减由增变为减,且有极大值且有极大值C、导数、导数y/由正变负由正变负,则函数则函数y由增变为减由增变为减,且有极小值且有极小值D、导数、导数y/由正变负由正变负,则函数则函数y由增变为减由增变为减,且有极大值且有极大值D练习：练习： （（2006年天津卷年天津卷)函数函数 的定义域为开区间的定义域为开区间导函数导函数 在在 内的图像如图所示，则函数内的图像如图所示，则函数在开区间在开区间 内有（内有（ ）个极小值点。

个极小值点 A.1 B.2 C.3 D. 4Af (x) <0f (x) >0f (x) =0注意：注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别数形结合以及原函数与导函数图像的区别2、例例3 已知函数已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，当，当x=-1时取时取得极大值得极大值7；当；当x=3时取得极小值，时取得极小值，求这个极小值及求这个极小值及a、、b、、c的值 函数函数 在在 时有极值时有极值1010，则，则a，，b的值为（的值为（ ））A A、、 或或 B B、、 或或C C、、 D D、、 以上都不对以上都不对 C，解解:由题设条件得：由题设条件得：解之得解之得通过验证，都合要求，故应选择通过验证，都合要求，故应选择A 注意：注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件注意代注意代入检验入检验 3、4.(4.(2006年年北京卷北京卷) )已知函数已知函数在点在点 处取得极大值处取得极大值5,其导函数其导函数 的图像的图像(如图如图)过点（过点（1,0））,（（2,0））, 求：求：（（1）） 的值；（的值；（2））a,b,c的值；的值；.略解：略解：(1)由图像可知：由图像可知：(2)注意：数形结合以及函数与方程思想的应用注意：数形结合以及函数与方程思想的应用 x(-∞∞,-a) -a(-a,0)(0,a) a(a,+∞∞) f’(x) + 0 - - 0 + f(x) ↗↗极大值极大值-2a ↘ ↘ ↘ ↘极小值极小值2a ↗ ↗故当故当x=-a时时,f(x)有极大值有极大值f(-a)=-2a;当当x=a时时,f(x)有极有极小值小值f(a)=2a.例例3:求函数求函数 的极值的极值.解解:函数的定义域为函数的定义域为令令 ,解得解得x1=-a,x2=a(a>0).当当x变化时变化时, ,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:。