高等代数二次型共32页.ppt

第五章 二次型•一、二次型及其标准形的概念•二、二次型的表示方法•三、二次型的矩阵及秩•四、化二次型为标准形•五、惯性定理•六、正(负)定二次型的概念•七、正(负)定二次型的判别1一、二次型及其标准形的概念称为二次型称为二次型. .2只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）．称为二次型的标准形（或法式）．例如例如为二次型的标准形为二次型的标准形. .只含有平方项的且形如以下二次型只含有平方项的且形如以下二次型称为二次型的规范形称为二次型的规范形31 1．用和号表示．用和号表示对二次型对二次型二、二次型的表示方法42 2．用矩阵表示．用矩阵表示56三、二次型的矩阵及秩　　在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，　　在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在次型与对称矩阵之间存在一一对应一一对应的关系．的关系．7解解例１例１8四、化二次型为标准形2.正交线性替换法1.配方法Ｐ２０６例２3.初等变换法9设设四、化二次型为标准形　　对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求　　对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．可逆的线性变换，将二次型化为标准形．1011说明说明1213用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤14解解1 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例例2 215从而得特征值从而得特征值2 2．求特征向量．求特征向量3 3．将特征向量正交化．将特征向量正交化得正交向量组得正交向量组164 4．将正交向量组单位化，得正交矩阵．将正交向量组单位化，得正交矩阵17于是所求正交变换为于是所求正交变换为18解解例例3 31920212223二、小结　　将一个二次型化为标准形，可以用正交变换法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用．正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数必定相同，项数等于所给二次型的秩．24五、惯性定理　　一个实二次型，既可以通过正交变换化为标　　一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过配方法化为标准形，准形，也可以通过配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．只含有平方项的且形如以下二次型只含有平方项的且形如以下二次型称为二次型的规范形称为二次型的规范形正惯性指数:规范型中正项个数.负惯性指数: 规范型中负项个数25六、正(负)定二次型的判概念•1.正定二次型与正定矩阵P215•2.负定二次型与负定矩阵P22026七、正(负)定二次型的判别27正定矩阵具有以下一些简单性质正定矩阵具有以下一些简单性质28例例1 1 判别二次型判别二次型是否正定是否正定.解解它的顺序主子式它的顺序主子式故上述二次型是正定的故上述二次型是正定的.29例例2 2 判别二次型判别二次型是否正定是否正定.解解二次型的矩阵为二次型的矩阵为用用特征值判别法特征值判别法.故此二次型为正定二次型故此二次型为正定二次型.即知即知 是正定矩阵，是正定矩阵，30例例3 3 判别二次型判别二次型的正定性的正定性.解解312.　　正定二次型正定二次型（（正定矩阵正定矩阵）的判别方法：）的判别方法：(1)(1)定义法定义法；；(2)(2)顺次主子式判别法顺次主子式判别法；；(3)(3)特征值判别法特征值判别法.四、小结　　　　1.　正定二次型的概念，正定二次型与正定　正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系．矩阵的区别与联系．　　　　3.　根据正定二次型的判别方法，可以得到　根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型负定二次型（（负定矩阵负定矩阵）相应的判别方法，请大）相应的判别方法，请大家自己推导．家自己推导．32。