数学方法论数学中的化归方法.doc

第五章 数学中的化归措施 就数学思想措施的研究而言，一种重要问题在于：与一般的科学家（例如物理学家）相比，数学家在思想措施上与否有其特殊的地方对于上述问题、匈牙利出名数学家罗莎·彼得（Rosza Peter）在其名著《无穷的玩艺》中曾通过一种有趣的事例进行分析她所给出的事例是这样的：有人提出了这样一种问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当如何去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上提问者肯定了这一回答但是，她又追问到：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已有了足够的水，那么你又应当如何去做？”这时被提问题者往往会很有信心地回答道：“点燃煤气，再把壶放到煤气灶上”但是，这一回答却未能使提问者感到满意，由于，在后者看来，更为恰当的回答是：“只有物理学家才会这样的；而数学家则会倒去壶中的水，并声称她已经把后一问题化归成先前的已经得到解决的问题了罗莎指出，这种思维措施对数学家来说是十分典型的这就是说：“她们往往不是对问题实行正面的袭击，而是不断地将它变形，直至把它转化成可以得到解决的问题这也就是说，数学家思维的重要特点之一，就是她们特别善于使用化归的措施去解决问题。

本章的内容重要是论述化归措施的基本思想与原则以及某些具体的化归措施§5.1 化归措施的基本思想与原则人们在结识一种新事物或解决一种新问题时，往往会设法将对新事物或新问题的分析研究纳入到已有的结识构造或模式中来例如，我们在解决数学问题的过程中，常常是将待解决的问题通过转化，归结为较熟悉的问题来解决，由于这样就可以充足调动和运用我们已有的知识、经验和措施于问题的解决这种问题之间的转化概括起来就是化归措施化归”是转化和归结的简称化归措施是数学中解决问题的一般措施，其基本思想是：人们在解决数学问题时，常常是将待解决的问题，通过某种转化手段归结为另一种问题，而问题是相对较易解决或已有固定解决模式的问题，且通过对问题的解决而得到原问题的解答用框图可直观表达为：待解决问题较易解决的问题B问题A的解答问题B的解答转化（化归途径）（化归 目的）还原（化归 对象）其中，问题B常被称为化归目的，转化的手段被称为化归途径或化归方略辩证法告诉我们：任何事物都不是孤立、静止和一成不变的，而是在不断地发展变化着因此，作为一种数学系统或数学构造，其构成要素之间互相依存和互相联系的形式是可变的，正是这种可变的性质，产生了数学中的化归措施。

化归措施有着坚实的客观基本，是人们对事物间的“普遍联系”和矛盾在一定条件下的“互相转化”的能动反映它着眼于揭示联系，实现转化通过“矛盾转化”解决问题在数学史上，曾有不少数学家从多种不同的角度对化归措施进行过论述例如，笛卡儿在《指引思维的法则》一书中就曾提出过如下的“万能措施”：第一， 将任何实际问题化归为数学问题；第二， 将任何种类的数学问题化归为代数问题；第三， 将任何代数问题化归为方程式的求解由于求解方程的问题被觉得是已经解决的（或者说，是较为容易解决的），因此，在笛卡儿看来，我们就可以运用这样的措施去解决多种类型的问题笛卡儿所给出的这一“问题解决”的模式可以看作是化归措施的一种具体运用这一基本思想曾协助笛卡儿发明理解析几何；并且现今人们把几何学命题的证明过程转化为代数方程组的零点集拟定问题，最后实现机器证明定理的目的，也是这一思想的现代发展和深化固然，任何措施都必然具有一定的局限性，因而所谓的“万能措施”是主线不存在的数学中的化归措施在数学的理论研究及数学问题的解决过程中都占有重要的地位例如，两个数学系统之间的同构关系（视为一种化归），不同的数学对象化归在同一种数学系统中进行研究，从而导致新的数学理论的产生，因而推动了数学的发展。

另一方面，化归又为解决数学问题提供了一种有力的武器例如，在微积分中，不定积分的计算措施中就有所谓分部积分法设函数具有持续的导数，则 ①或写作 ②运用公式①或②有时可以使难求得不定积分转化为易求的不定积分，从而得到所规定的成果 又如，在定积分理论中，有出名的牛顿—莱布尼茨公式： 若函数是持续函数在区间上的一种原函数，则 牛顿—莱布尼茨公式不仅在理论上是很重要的，并且在实际计算中也有重要的意义，即将求定积分的问题化归为求被积函数的原函数或不定积分的问题问题是数学的心脏”，数学问题的解决是数学教学中的一种重要构成部分，而几乎所有的数学问题的解决都离开不化归，只是体现的化归形式不同而已计算题是运用规定的计算法则进行化归；证明题是运用定理、公理或已解决了的命题进行化归；应用问题是运用数学模型进行化归数学问题的化归措施也是多样的把高次的化为低次的；多元的化为单元的；高维的化为低维的；把指数运算化为乘法运算；把乘法运算化为加法运算；把几何问题化为代数问题；把微分方程问题化为代数方程问题；化无理为有理；化持续为离散；化离散为持续；化一般为特殊；化特殊为一般；……。

因此说，离开化归措施，数学问题的解决将寸步难行总之，数学中的化归措施的目的就是化难为易，化繁为简，化生为熟，化暗为明为了实既有效的化归，一般应遵循如下诸原则：1、化归目的简朴化原则化归目的简朴化原则是指化归应朝目的简朴的方向进行，即复杂的待解决问题应向简朴的较易解决的问题化归这里的简朴不仅是指问题构造形式表达上的简朴，并且还指问题解决方式措施的简朴例1，已知求分析：根据题设等式构造的特点，遵循简朴化原则，予以简化只须令，条件等式就可化为，在此条件下求，关系就明朗许多由新条件等式中与的特殊关系，我们可想到在等式中用代，仍会得到一种有关的等式，这样，问题就化归为求解这两个等式构成的有关的方程组这是一种简朴问题例2，一种凸边形，无三条对角线共点，它的边和对角线一共可以构成多少个三角形？分析：我们根据目的——由凸边形的边和对角线构成的三角形，与否具有凸边形的顶点，具有多少个顶点，将所求的三角形所成的集合分为4个集合0,1,2,3显见，与凸边形的顶点集的三元子集一一相应，故的每4个三角形相应于凸边形顶点集的一种四元子集，反之，不同的四元子集相应于中完全不同的4个三角形，于是 同理： 故 。

2、和谐统一性原则化归的和谐统一性原则是指化归应朝着使待解决的问题在体现形式上趋于和谐，在量、形、关系方面趋于统一的方面进行，使问题的条件与结论体现得更匀称和恰当例3．已知，、求证：三个数中至少有一种为1分析：由于条件给出的是的运算关系由和谐统一性原则，欲证构造，我们只需证：① （将成果也表白为一种运算关系）如何证明①？不妨把它化为② 联想到条件 ，可知要证②，只需证：③ 而③与条件等价的，可知原结论是成立的例4.在△ABC中证明：分析：三角形的射影定理：反映了三角形中边角之间所固有的和谐统一，正是这种和谐统一性启发我们将原问题化归为齐次线性方程组的解的讨论问题：我们将射影定理写成由此可知，（非零的）是齐次线性方程组的一组非零解 根据齐次线性方程有非零解的充要条件是其系数行列式等于零即 = 0∴3、具体化原则 化归的的具体化原则是指化归的方向一般应由抽象到具体，即分析问题和解决问题时，应着力将问题向较具体的问题转化，以使其中的数量关系更易把握，如尽量将抽象的式用品体的形来表达；将抽象的语言描述用品体的式或形表达，以使问题中的多种概念以及概念之间的互相关系具体明确 例5 求函数的最大值。

分析：函数构造复杂，无法用常规措施解设法将其具体化由根式我们会联想到距离，问题的核心是两个根式内的被开方式能否化成平方和的形式通过拆凑，发现可以，即 xBPCy 图5.1对其作合适的语义解释，问题就转化为：求点到点（3，2）与点B（0，1）距离之差的最大值进一步将其直观具体化（如图5.1）由A、B的位置知直线AB必交抛物物于第二象限的一点C，由三角形两边之差不不小于第三边知，位于C时，才干取到最大值且最大值就是，故 上述分析过程的核心是将问题通过几何直观，转化为具体的形，“形”使我们把握住了的变化状况4、原则形式化原则化归的原则形式化原则是说将待解决问题在形式上向该类问题的原则形式化归，原则形式是指已经建立起来的数学模式，由于数学从某种意义上来说是有关模式的科学，如一元二方程求根公式及根与系数的关系都是有关原则形式的一元二次方程而言的，只有化归成原则的一元二次方程形式后，才可用有关成果二次曲线的有关理论都是针对原则形式方程讨论的，因此也只有化成原则方程形式，才也许运用这些理论因此，问题向原则形式化归也是数学解题思维的一种基本原则5、低层次化原则化归的低层次化原则是说，解决数学问题时，应尽量将高维空间的待解决问题化归成低维空间的问题，高次数的问题化归成低次数的问题，多元问题化归为少元问题解决，这是由于低层次问题比高层次问题更直观、具体、简朴。

例6 求方程 的自然数解分析：由方程构造知，＞，又由知不能比大太多，考虑用线性代换减少方程次数代入原方程并整顿得由＞得，从而＞0又由于＞0，因此，＜61,≤3 因此，只有三种也许的取值=1,2,3.不难验证，只有时，才有自然数解，此时因此，原方程的自然数解为又如§2.3中的例4就是一种将高维空间的待解决的问题化归成低维空间的问题的一种成功例子下面我们将简介某些具体的化归措施§5.2 变换措施一方面讲到的是恒等变形，这是最常用的措施所谓“恒等”，其意思是不要变；所谓“变形”固然又是规定变在这里，变的规定是重要方面，要化归就必须变；但变化时又必须遵守一定规则，在这里是规定“恒等”，也就说恒等变形是规定变要在“不变”的前提下进行例1．已知，不查表求出分析：已知者，未知者；仅依托一种已知的怎么求出 呢？固然还得谋求已知的东西事实上，我们还懂得，但对我们有用的，也许就是了，由于这样，我们就能不久求出 的值这里，核心在把5变形为 ，并得用了 的这一隐含的已知条件这是一种再简朴但是的例子，但它阐明要会变，在变中将未知的东西化归为已知的东西尚有一种有趣的事实在是上面运用了 ，“1”在数系中占有重要地位，作为数域里的元素，它是单位元。

因此便产生了许多有关“1”的恒等式，例如，因此，在解题中，有时运用这些恒等式，往往能起到事半功倍之效在初等数学中我们常运用变量替代、换元、增量替代等措施解题，核心在于根据问题的构造特性，合适选用可以以简驭繁、化难为易的变换，以实现问题的化归例2 设，求证：分析：较易证明，下面讨论由，取其平均值为原则量，进行如下增量替代： ，则，于是，令 由于不全为正，不妨设，但，因此，于是例3，解方程分析：换元：令，则因此，方程化简为 由（1）得，代入（2）得：得 即 ，从而 经检查知是原方程的解例4 解方程 分析：解这个有关的三次方程较困难，但注意到系数的特点，我们不妨把 3看作未知数，即设，则得到有关的二次方程由于，解上述方程得：于是有 因此，原方程的解为：。