天体运动问题的基本模型与方法.docx

天体运动问题的基本模型与方法陕西省宝鸡市陈仓区教育局教研室 邢彦君天体运行问题的分析与求解，是牛顿第二定律与万有引力定律的综合运用，问题的分析与求解的关键 是建模能力一、基本模型计算天体间的万有引力时，将天体视为质点，天体的全部质量集中于天体的中心；一天体绕另一天体的稳定运行视为匀速圆周运动；研究天体的自转运动时，将天体视为均匀球体二、基本规律1．天体在轨道稳定运行时，做匀速圆周运动，具有向心加速度，需要向心力所需向心力由中心天体对它的万有引力提供设质量为m的天体绕质量为M的天体，在半径为r的轨道上以速度v匀速圆周运严Mm vCr—— = m —动，由牛顿第二定律及万有引力定律有： t r这就是分析与求解天体运行问题的基本关系式，由于有线速度与角速度关系卩二购、角速度与周期关系 T ，这一基本关系式还可表示为:Mm 2尸M陀 圭2tt,G―— = G―— = —广 或广 T2•在天体表面，物体所受万有引力近似等于所受重力设天体质量为M,半径为R,其表面的重力加速度为g,由这一近似关系有： ，即 这一关系式的应用，可实现天体表面重力加速度g与 的相互替代，因此称 为“黄金代换”3．天体自转时，表面各物体随天体自转的角速度相同，等于天体自转角速度，由于赤道上物体轨道半径最大，所需向心力网丘⑦ 最大。

对于赤道上的物体，由万有引力定律及牛顿第二定律有:将最先被“甩”出，“甩”出的临界条件是：N=0，此时有:Mm~R^，由此式可以计算天体不，式中 N 为天体表面对物体的支持力如果天体自转角速度过大，赤道上的物体G^ = mR^ M = -7iR3p瓦解所对应的最大自转角速度；如果已知天体自转的角速度，由 丘 及 孑 可计算出天体不瓦解的最小密度三、常见题型1．估算天体质量问题由关系式 t T 可以看出，对于一个天体，只要知道了另一天体绕它运行的轨道半径及周期，可估算出被绕天体的质量例1•据媒体报道，嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高200km,运行周期为127分钟若 还知道引力常量和月球半径，仅利用以上条件丕能求出的是A. 月球表面的重力加速度 B.月球对卫星的吸引力C.卫星绕月运行的速度 D.卫星绕月运行的加速度解析：设月球质量为M,半径为R,月面重力加速度为g,卫星高度为h,运行周期为T,线速度为v, 加速度为a，月球对卫星的吸引力为F对于卫星的绕月运行，由万有引力定律及牛顿第二定律有：GMm（应+曲尸，由此式可求知月球的质量M由“黄金代换”有:GM（应+血尸，由这两式可求知月面重力加速度g。

由线覃_ 2打（应+曲）速度的定义式有： T ，由此式可求知卫星绕月运行的速度由万有引力定律及牛顿第二定GMm 厂 GMm 2 = ma F = 律有，由此式可求知绕月运行的加速度由万有引力定律有： （止+朋），由于不知也不可求知卫星质量m因此，不能求出月球对卫星的吸引力故，本题选B2．估算天体密度问题若已知天体的近“地”卫星（卫星轨道半径等于天体半径）的运行周期，可以估算出天体的密度例 2．天文学家新发现了太阳系外的一颗行星这颗行星的体积是地球的 4.7 倍，质量是地球的 25 倍已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G=6.67X1O-11N・m2/kg2，由此估算该 行星的平均密度约为A.1.8X103kg/m3B. 5.6X103kg/m3C. 1.1X104kg/m3D. 2.9X104kg/m3解析：对于近地卫星饶地球的运动有：M = p—tjR而 3，代入已知数据解得：p=2.9X104kg/m3o 本题选 D3.运行轨道参数问题对于做圆周运动的天体，若已知它的轨道半径，可以计算它的运行线速度、角速度、周期等运行参数 并且可以看出，这些参数取决于轨道半径。

例 3 ．最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运动一周所用 的时间为1200 年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100陪假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕 太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有A.恒星质量与太阳质量之比B.恒星密度与太阳密度之比C.行星质量与地球质量之比D.行星运行速度与地球公转速度之比解析：由万有引力定律和牛顿第二定律有：广 T ，解得： GT由题意2押v = 可知，能求出恒星质量与太阳质量之比由 T 及题意可知，能求出行星运行速度与地球公转速度之比本题选 AD4.人造地球卫星问题人造卫星运行轨道的中心与地球球心重合同步通信卫星的轨道与赤道平面重合，运行的角速度（或周期）与地球的自传角速度（或周期）相同，距地面的高度一定近地卫星的轨道半径与地球半径相等例4•已知地球半径为R,地球表面重力加速度为g,不考虑地球自转的影响（1）推导第一宇宙速度V］的表达式;（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h,求卫星的运行周期解析：（1）第一宇宙速度等于近地卫星的环绕速度设卫星的质量为m地球的质量为M,在地球表面附近满足，卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力，即Mm2）对于卫星绕地球的运动，由万有引力定律及牛顿第二定律有：，解得：例 5．某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳照射的此卫星。

试问春分那天（太阳光直射赤道）在日落后12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为 R,地球表面处的重力加速度为g,地球自转周期为T,不考虑大气对光的折射解析：如图1所示，E为地球赤道，S表示卫星，A表示观察者，0表示地心由图知春分那天日落后, 当卫星由位置S运动到S/立置过程中，恰好处于地球的阴影区域，卫星无法反射阳光，观察者看不到卫星 设地球质量、卫星质量分别为M、m,卫星轨道及地球半径分别为r、R,由万有引力定律及牛顿第二定律有:面有:池=普氐解得:5．“相遇”问题若某天体有两颗轨道共面的卫星，从某次它们在天体中心同侧与天体中心共线（两卫星相距最近）到Af ◎ 阿下次出现这一情形的时间 与两卫星角速度I 2间满足关系：- ％血=2硕 « = 1.2.3 ……例6．如图2 所示， A 是地球的同步卫星另一卫星 B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为 h 已知地球半径为R，地球自转角速度为eo地球表面的重力加速度为g，O为地球中心1）求卫星 B 的运行周期2）如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（0、B、A在同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？解析：（1）对卫星 B 绕地球的运行，由万有引力定律和牛顿第二定律有：解得：在地面有：2）由题意应有：，解得：由于卫星A是同步卫星，故:6．外星上的物理问题若已知某天体的半径及质量，由黄金代换式可求出天体表面的重力加速度，此后可运用有关物理规律 求解在外星表面的进行的与重力加速度有关的物理问题。

这类问题的另一形式是由运动学公式，根据运动量求解出天体表面的重力加速度，然后由黄金代换式 及基本关系式求解天体的其它参量例 7．在“勇气号”火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h,速度方向是水平的，速度大小为v,o 求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力已知火星的一个卫星的圆轨道的半径 为r，周期为T火星可视为半径为r的均匀球体o解析：以M表示火星的质量，m表示火星表面处某一物体的质量，以g表示火星表面附近的重力加速Mm度，由于在火星表面的重力等于火星对它的万有引力，故有:吨 ；以m表示火星的卫星的质量，由万有引力定律和牛顿第二定律有：设着陆器第二次落到火星表面时的速度为v,它的竖直分量为v，则水平分量仍为v，由于着陆器第1o一次反弹后在最高点时的竖直分速度为零，故有：7．变轨问题飞船或卫星从地面发射时，一般先将其发射到距地球较近的轨道上做圆周运动，再在适当位置实施变 轨，使其离开原来的圆周轨道，在半长轴较大的椭圆轨道运动，当运行至椭圆轨道的远地点时再次实施变 轨，使其在以椭圆半长轴为半径的圆轨道上做圆周运动，这个轨道就是飞船或卫星的稳定运行或工作轨道。

还有一类变轨问题：在某确定轨道（半径一定）上圆周运动的卫星，由于某种原因的影响，若速度发丄 “警生了变化，由基本关系式'Rz［可以得出： 卩，由此可以看出，当卫星速度变化时，轨道半径随之变化例8．2008年9 月25日至28日我国成功实施了“神舟”七号载人航天飞行并实现了航天员首次出舱如图3所示，飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟下列判断正确的是：A. 飞船在变轨前后的机械能相等B. 飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态C. 飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度D. 飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后圆轨道运动的加速度解析：飞船变轨前后，由于推进火箭的做功，飞船的机械能不守恒，A错；飞船在圆轨道上运动时时 万有引力来提供向心力，航天员出舱前后都处于失重状态，B对；飞船在此圆轨道上运动的周期90分钟小于同步卫星运动的周期24小时，根据 e可知，飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运 动的角速度，C对飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时只有万有引力来提供加速度，变轨后沿圆轨道运动 也是只有万有引力来提供加速度，沿两轨道运动经过该点时，所受万有引力相等，有牛二定律知加速度相 等， D 错。