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高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系第三节第三节 函数的极限函数的极限一、定义一、定义 在自变量的变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限问题:的过程表示x0x0x0x<-

几何解释: 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例2证例3证 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例4证明：这里，函数在点 x = 1是没有定义的，但函数当x→1时的极限存在与否跟它并无关系事实上，对于任意给定的正数ε，不等式约去非零因子 x-1后，就化为|x-1| < ε ,因此，只要取δ = ε， 那么，当时，就有证： 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系注：在用函数极限的定义证明时，必须找出δ与ε之间的联系，以便对于任给的ε，总能找到对应的δ，对于满足 0<|x-x0|<δ的一切x，使不等式|f(x)-A|<ε都成立证毕 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例5 证明：任给ε>0∵需满足因此，如取那么当x适合不等式即证：就满足不等式对应的函数值 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系3 3、单侧极限、单侧极限例如, 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系左极限右极限记作 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系极限: 左极限和右极限极限左极限右极限三者关系且 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系左右极限存在但不相等,例6证 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系三、自变量趋向无穷大时函数的极限三、自变量趋向无穷大时函数的极限 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系问题:通过上图可知:问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.函数值函数在的过程中, 对应f(x)无限确定值A.趋近于y = f(x) 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系,0>ε, 0>X.)(ε<－ Axf恒有,> Xx时使当1、定义对于任意给定的正数(不论它多么小), 总存在着正数, 使得对于适合的一切对应的函数值满足不等式,那么常数就叫函数当时的极限, 记作定义2 如果存在常数A，不等式都任意存在 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系2 2、另两种情形、另两种情形用函数极限的定义容易证明如下定理：定理： 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系3 3、几何解释、几何解释 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例1证证 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系1 1、有界性定理、有界性定理 如果函数 f(x) 当x→x0时的极限存在, 则函数 f(x)在x0的某个去心邻域内有界。

思考：比较两者的不同之处！注：数列与此相关的定理是收敛数列必有界证明 ……四、函数极限的性质四、函数极限的性质 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系证：不妨设极限值为A. 由极限的定义可知，任取ε> 0, 总存在 δ> 0，对于满足不等式0 <∣x-x0∣<δ的一切x,都有 ∣f (x)-A∣<ε，即 A -ε< f (x) < A +ε,取 M = max{∣A -ε∣, ∣A +ε∣},那么，对于满足不等式0 <∣x-x0∣<δ的一切x, 都有 ∣f (x)∣< M，定理证毕 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系2 2、唯一性、唯一性推论3 3、不等式性质、不等式性质定理(保序性) 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系定理(保号性)). 0( 0), 0(,,0,lim>d=AA0U 0(x,d)x Af(x)x0x或则或时当且若推论注： “f(x)> 0(或 f(x)<0), 则A> 0(A<0)”如f(x)f(x)  高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系4 4、子列收敛性（函数极限与数列极限的关系）、子列收敛性（函数极限与数列极限的关系）定义定理 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例如,定理（函数极限与数列极限的关系） 函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等. 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系其特征是:M> 0,有x<-M关于函数极限与数列极限的联系与区别函数极限, 从自变量的变化趋势来看,有以下两种类型:（1）自变量无限增大1。

x→∞,表示x按绝对值无限增大其特征是:M> 0,有|x|>M.其特征是:M> 0,有x>M2 x→+∞,表示x保持正值无限增大3x→-∞,表示x保持负值,但绝对值无限增大 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例：证二者不相等, 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系（2）自变量趋向某个定数 x0 1x→x0 ,表示x以任意方式趋向x0,但不等于x0其特征是:δ> 0,有0<|x-x0|<δ2 x→x0+ ,表示 x>x0 的方式趋向x0其特征是:δ> 0,有x0< x 0,有x0 -δ < x < x0 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 显然,数列{an}的通项an可以看作下标n(自然数)的函数an= f(n),因此数列极限实际上是函数极限中x→+∞这一情形的特例.。