数理金融学连续时间金融初步期权定价.ppt

数理金融学数理金融学 第第7章章连续时间金融初步：连续时间金融初步： 期权定价期权定价7.1 期权（期权（Option））§期权是一种选择权，它表示在特定的时间，以特期权是一种选择权，它表示在特定的时间，以特定的价格交易某种一定金融资产的权利期权交定的价格交易某种一定金融资产的权利期权交易就是易就是“权钱交易权钱交易” §期权交易同任何金融交易一样，都有买方和卖方，期权交易同任何金融交易一样，都有买方和卖方，但这种买卖的划分并不建立在商品和现金的流向但这种买卖的划分并不建立在商品和现金的流向基础上它是以权利的获得和履行为划分依据的它是以权利的获得和履行为划分依据的§期权的买方就是支付期权费（期权的买方就是支付期权费（Option premium））的一方，在他支付了期权费之后，即获得了能以的一方，在他支付了期权费之后，即获得了能以确定的时间、价格、数量和品种买卖合约的权利确定的时间、价格、数量和品种买卖合约的权利 9/16/202427.1.1 期权合约的概念期权合约的概念（（1）定义）定义Ø期权合约（期权合约（ Option contracts）是期货合约的一个发展，）是期货合约的一个发展，它与期货合约的区别在于期权合约的买方有权利而没它与期货合约的区别在于期权合约的买方有权利而没有义务一定要履行合约，而期货合约双方的权利和义有义务一定要履行合约，而期货合约双方的权利和义务是对等的。

务是对等的2）基本术语）基本术语Ø行权价格（行权价格（Strike price）：是买卖标的资产）：是买卖标的资产(Underlying asset）的价格它在合约有效期内是固）的价格它在合约有效期内是固定不变的，而且它不一定就是资产的市价，可以高于定不变的，而且它不一定就是资产的市价，可以高于或低于市价，当然也可能恰好相等或低于市价，当然也可能恰好相等9/16/20243§期权费（期权费（Option premium）：期权买方付的购买期权的）：期权买方付的购买期权的费用，也就是买卖权利的价格买入方支付期权费，既可费用，也就是买卖权利的价格买入方支付期权费，既可购买买权，也可购入卖权，同理，卖出方收取期权费，既购买买权，也可购入卖权，同理，卖出方收取期权费，既可出售看涨期权，也可出售看跌期权可出售看涨期权，也可出售看跌期权§到期日（到期日（Maturity date）约定的实施期权日期过期作废，）约定的实施期权日期过期作废，一般合约有效期不超过一年，以三个月较为普遍例外：一般合约有效期不超过一年，以三个月较为普遍例外：长期股权期权（长期股权期权（Long-term equity securities，，LEAPS））§数量（数量（Amount）：以股票为例，每份期权合约代表可交）：以股票为例，每份期权合约代表可交易易100股股票的权利，但执行价格却是按每股标出。

股股票的权利，但执行价格却是按每股标出9/16/20244§标的资产（标的资产（Underlying asset): 期权多方在支付期期权多方在支付期权费后有权购买或出售的合约中规定的资产如权费后有权购买或出售的合约中规定的资产如股票期权的标的资产就是股票股票期权的标的资产就是股票§结算（结算（Settlement)期权交易是通过经纪人在市期权交易是通过经纪人在市场上竞价实现的，这经纪人就是期权清算公司，场上竞价实现的，这经纪人就是期权清算公司，它是每笔期权交易的中间人，是所有买方的卖方它是每笔期权交易的中间人，是所有买方的卖方和所有卖方的买方期权清算公司采用电脑清算和所有卖方的买方期权清算公司采用电脑清算每一笔合约，并为其提供担保如某个期权卖方每一笔合约，并为其提供担保如某个期权卖方不履行义务，公司则必须代为履约，因此，期权不履行义务，公司则必须代为履约，因此，期权无信用风险无信用风险9/16/202457.1.2 期权合约的种类期权合约的种类（（1）按权利分类）按权利分类Ø买权或看涨期权（买权或看涨期权（Call option）） ：看涨期权的：看涨期权的多头方有权在某一确定时间以某一确定价格购多头方有权在某一确定时间以某一确定价格购买标的资产，但无履约义务。

一旦多方决定履买标的资产，但无履约义务一旦多方决定履约，空头必须出售资产约，空头必须出售资产Ø卖权或看跌期权（卖权或看跌期权（Put option）） ：多头方有权：多头方有权在某一确定时间以某一确定价格出售标的资产，在某一确定时间以某一确定价格出售标的资产，但无履约义务空头方只有履约义务但无履约义务空头方只有履约义务Ø 注意：这里看涨和看跌是以多头的收益来命名注意：这里看涨和看跌是以多头的收益来命名的9/16/20246看涨期权看涨期权看跌期权看跌期权多头：多头：买了买了以一定价格以一定价格购买购买某种资某种资产的权利，希望标的资产价格上涨产的权利，希望标的资产价格上涨空头：空头：卖了卖了以一定价格以一定价格购买购买某种某种资产的权利，希望标的资产价格资产的权利，希望标的资产价格下跌因为下跌多方不会履约，下跌因为下跌多方不会履约，则空头赚取期权费则空头赚取期权费多头多头 ：：买了买了以一定价格以一定价格出售出售某种资某种资产的权利，希望标的资产价格下跌产的权利，希望标的资产价格下跌空头：空头：卖了卖了以一定价格以一定价格出售出售某种资某种资产的权利希望标的资产价格上升，产的权利希望标的资产价格上升，因为价格上升多方不会履约，则空因为价格上升多方不会履约，则空头赚取期权费。

头赚取期权费期期权权9/16/20247（（2）按合约是否可以提前执行（）按合约是否可以提前执行（Settlement））Ø欧式期权（欧式期权（European option）：只有在到期日那天才）：只有在到期日那天才可以实施的期权可以实施的期权Ø美式期权（美式期权（American option ）：有效期内任一交易日）：有效期内任一交易日都可以实施的期权都可以实施的期权Ø问题：若其他条件相同，那种期权的期权费更高？问题：若其他条件相同，那种期权的期权费更高？（（3）按标的资产（）按标的资产（Underlying asset）分类）分类Ø权益期权：股票期权、股指期权权益期权：股票期权、股指期权Ø固定收益期权：利率期权、货币期权固定收益期权：利率期权、货币期权Ø金融期货期权：股指期货期权，将期货与期权结合在金融期货期权：股指期货期权，将期货与期权结合在一起9/16/20248§例例1：清华同方股票期权（欧式）：清华同方股票期权（欧式）Ø2001年年1月月1日，投资者日，投资者A向向B购买购买未来未来6个月内个月内交割的，以每股交割的，以每股35元的价格元的价格购买购买清华同方股票清华同方股票的的权利（看涨期权）权利（看涨期权），共，共10份合约，份合约， 100股为股为标准合约单位，该期权的总价格为标准合约单位，该期权的总价格为500元，即元，即每股期权费为每股期权费为0.5元。

元Ø概念辩析：概念辩析： 2001年年1月月1日为合约生效日，这里日为合约生效日，这里35元为行权价格，每股期权费为元为行权价格，每股期权费为0.5元，元，2001年年6月月30日为到期日，也是执行日日为到期日，也是执行日ØA是多头，是多头，B是空头9/16/20249§操作步骤：操作步骤：1.2001年年1月月1日合约生效，投资者日合约生效，投资者A必须向必须向B付出付出500元因此，不论未来的价格如何，因此，不论未来的价格如何，A的成本是的成本是500元2.如果如果6月月30日股票的价格高于日股票的价格高于35元，则元，则A行权那么，行权那么，A还要再付出还要再付出35000元购买股票，由于股票价格高于其元购买股票，由于股票价格高于其成本，那么他马上将股票抛售就能获利成本，那么他马上将股票抛售就能获利§问题问题1：若：若5月月20日清华同方宣布它的股票以日清华同方宣布它的股票以1:10的比例进行分割，该期权合约条款是否应该调整的比例进行分割，该期权合约条款是否应该调整？？§问题问题2：如果预期清华同方在合约有效期内现金：如果预期清华同方在合约有效期内现金分红，是否对期权价格构成影响？分红，是否对期权价格构成影响？ 9/16/202410u如果到期日股票价格为如果到期日股票价格为45元，则多方的利润元，则多方的利润是多少？空方损失多少？是多少？空方损失多少？9500u如果到期日股票价格为如果到期日股票价格为30元，则多方的损失元，则多方的损失为？空方获利多少？为？空方获利多少？5009/16/202411例例2：投资者：投资者A购买清华同方股票看跌期权（欧式）购买清华同方股票看跌期权（欧式）Ø 合约生效日：合约生效日：2001年年1月月1日日Ø有效期：有效期：6个月个月Ø期权费：期权费：0.5元元/股股Ø合约数量：合约数量：10份份Ø标准合约单位：标准合约单位：100股股Ø执行价（行权价）：执行价（行权价）： 35元元/股股§问题：问题：Ø如果如果6月月30日清华同方股价低于日清华同方股价低于34.8元，元，A是否行权？是否行权？Ø假设假设6月月30日的价格为日的价格为33.5元，元，A将获利将获利1000元，元，A如何如何才能获得这才能获得这1000元？元？ 9/16/202412 因为因为（（1））A必须持有股票必须持有股票1000股，才能在将来行权时出股，才能在将来行权时出售给售给B，，因此，因此，A原先有原先有1000股。

股2））假设假设6月月30日的价格为日的价格为33.5元，元， A行权，则以行权，则以35元的价格向元的价格向B出售出售1000股股票，获得股股票，获得35000元3））A花花33500元购买元购买1000股股票，剩余股股票，剩余1500元，元，扣除扣除500元的期权费，元的期权费，A就获得就获得1000元4）现在，）现在，A拥有拥有1000股股票加股股票加1000元现金的资产，元现金的资产，显然显然A获利获利1000元9/16/202413§看涨期权的风险与收益关系看涨期权的风险与收益关系ST RST R图中：何为多方、何为空方？图中：何为多方、何为空方？ §看跌期权的风险与收益关系看跌期权的风险与收益关系7.1.3 期权的风险与收益期权的风险与收益9/16/202414看涨期权多看涨期权多头的收益头的收益ST－－X－－Ct，，若若ST≥X－－Ct，，若若ST ≤ X其中，其中，ST是到期日是到期日T标的资产的价格；标的资产的价格； X是执行价格是执行价格, Ct和和Pt分别是分别是t时刻看涨时刻看涨期权期权和看跌期权的期权费和看跌期权的期权费看跌期权多看跌期权多头的收益头的收益X －－ST －－Pt ，若，若ST ≤ X－－Pt，，若若ST ≥ X9/16/202415总结总结§看涨期权的损益（看涨期权的损益（Profit & Loss)（（1））多头方：多头方：Rcl＝＝max(0,ST-X)-Ct（（2））空头方：空头方：Rcs＝＝ Ct -max(0,ST-X)§看跌期权的损益看跌期权的损益（（1）多头方：）多头方： Rpl＝＝max(0, X -ST)-Pt（（2））空头方：空头方： Rps＝＝ Pt -max(0, X -ST)9/16/2024167.1.4 期权的投资策略期权的投资策略（（1）保护性看跌期权（）保护性看跌期权（Protective put））Ø同等数量的标的资产同等数量的标的资产多头多头与看跌期权与看跌期权多头多头构成构成的组合。

的组合Ø组合价值至少是组合价值至少是X-Pt，最大是，最大是ST-Pt问题：保护性看跌期权的投资策略是否违反问题：保护性看跌期权的投资策略是否违反“风险与收益风险与收益对等对等”原则？原则？ST≤XST>X股票多头股票多头STST看跌期权多头看跌期权多头X-ST-Pt-Pt总计总计X-PtST-Pt9/16/202417§保护性看跌期权的特征保护性看跌期权的特征Ø对于该组合的多方而言，其损失是有限的，而对于该组合的多方而言，其损失是有限的，而理论收益无限理论收益无限§双重目的双重目的Ø在标的资产下跌时减少损失在标的资产下跌时减少损失Ø不影响标的资产上升时的获利机会不影响标的资产上升时的获利机会 所以，它对资产具有保护作用，因此，要所以，它对资产具有保护作用，因此，要付出保护费！付出保护费！9/16/202418（（2）抛补的看涨期权（）抛补的看涨期权（Covered call））：标：标的资产多头＋看涨期权空头的资产多头＋看涨期权空头§抛补抛补——期权空头方将来交割标的资产的期权空头方将来交割标的资产的义务正好被手中的资产抵消义务正好被手中的资产抵消ST≤XST>X股票多头股票多头STST看涨期权空头看涨期权空头Ct-(ST-X)＋＋Ct总计总计ST ＋＋CtX＋＋Ct组合的最大价值是组合的最大价值是X＋＋Ct，最小为，最小为Ct。

9/16/202419§抛补看涨期权的收益特征抛补看涨期权的收益特征Ø在获得期权费的同时，放弃了标的资产价格上在获得期权费的同时，放弃了标的资产价格上涨可能带来的获利机会涨可能带来的获利机会问题：投资者希望到问题：投资者希望到期日标的资产市价超过期日标的资产市价超过X，还是低于，还是低于X？（基？（基于于“机会（沉没）成本机会（沉没）成本”的分析）的分析）若投资者手中拥有股票若投资者手中拥有股票100元，则他可以设置一个执行价元，则他可以设置一个执行价格为格为110元的看涨期权空头，期权费元的看涨期权空头，期权费3元若价格为到期元若价格为到期日资产价格为日资产价格为105元，则投资者获利元，则投资者获利8元反之，若股票元反之，若股票价格低于价格低于100元呢？元呢？n 投资策略：尽可能设置高的执行价格投资策略：尽可能设置高的执行价格X9/16/202420（（3）对敲（）对敲（Straddle），又称骑墙或者跨坐组），又称骑墙或者跨坐组合：合：§对敲多头组合：同时对敲多头组合：同时买进买进具有相同执行价格具有相同执行价格与到期时间的同一种股票的看涨期权与看跌与到期时间的同一种股票的看涨期权与看跌期权。

期权费可能不等？）期权期权费可能不等？）ST≤XST>X看涨期权多头看涨期权多头-CtST-X-Ct看跌期权多头看跌期权多头X-ST –Pt–Pt总计总计X-ST -Ct-PtST- X-Ct -Pt9/16/202421 RST RXST00 RXST09/16/2024229/16/202423对敲组合多头的收益特征对敲组合多头的收益特征§损失有限：若标的资产价格损失有限：若标的资产价格=执行价格，则执行价格，则损失最大损失最大§（理论）收益无限：收益随标的资产价格（理论）收益无限：收益随标的资产价格的上升或下降而增加的上升或下降而增加§问题：对敲组合多头适用于什么样的市场问题：对敲组合多头适用于什么样的市场条件？条件？当投资者预期标的资产的价格会有较大的波动，当投资者预期标的资产的价格会有较大的波动，且无法判断其方向时且无法判断其方向时例如一家企业成为兼并收购的目标时例如一家企业成为兼并收购的目标时9/16/2024247.1.5 期权与金融工程期权与金融工程§金融工程（金融工程（Financial engineering））包括包括创创新新型金融工具与金融手段的设计、开发与型金融工具与金融手段的设计、开发与实施，以及对金融问题给予实施，以及对金融问题给予创造创造性的解决。

性的解决§运用期权与标的股票以及无风险债券构造运用期权与标的股票以及无风险债券构造资产组合（资产组合（Portfolio），），可以得到与某些可以得到与某些金融工具有完全相同的损益特征（即金融工具有完全相同的损益特征（即模仿模仿金融工具金融工具），也可以），也可以合成金融工具合成金融工具，例如：，例如：可转换债券可转换债券9/16/202425实例：模仿股票（实例：模仿股票（the mimicking stock)§模仿股票是一个买权多头和一个卖权空头模仿股票是一个买权多头和一个卖权空头的组合§假设假设t时刻，股票买权和卖权的价格分别是时刻，股票买权和卖权的价格分别是ct和和pt，，两个期权的执行价格都是两个期权的执行价格都是X＝＝St（（t时刻股票的价格），到期日股票价格为时刻股票的价格），到期日股票价格为ST则到期日的收益为则到期日的收益为 R= max(0,ST-X)-max(0, X -ST)- (ct-pt）） =ST-X-ct＋＋pt =ST- St -ct＋＋pt9/16/202426股票股票模仿股票模仿股票模仿股票与实际股模仿股票与实际股票还是有所区别！票还是有所区别！9/16/2024277.1.6 期权的作用与本质期权的作用与本质（（1）套期保值（）套期保值（Hedge））Ø 利用期权损益的不对称性可以对资产进行保值。

利用期权损益的不对称性可以对资产进行保值期权的多头方相当于购买了一个保险，期权费期权的多头方相当于购买了一个保险，期权费相当于保险费相当于保险费Ø例：假设例：假设A公司的股票当前价格为每股公司的股票当前价格为每股60元，元，投资者投资者B估计股票估计股票A将上涨投资者要购买将上涨投资者要购买10000股的股票（股的股票（10份期权合约）那么，他份期权合约）那么，他有两个策略可以选择有两个策略可以选择9/16/202428§策略策略1：：B直接购买直接购买10,000股股票，总投资股股票，总投资600,000元；元；§策略策略2：：B买入执行价格为买入执行价格为60元的看涨期权，假设元的看涨期权，假设期权费为期权费为3元元/股，总投资股，总投资30000元§两种策略比较：两种策略比较：Ø若若A公司的股票大幅上涨，上涨越多二者的获利越趋向公司的股票大幅上涨，上涨越多二者的获利越趋向于相同（虽然策略要付出期权费，但策略于相同（虽然策略要付出期权费，但策略1的投资额大的投资额大大多于策略大多于策略2，要付出利息），要付出利息） Ø若股票大幅下跌，策略若股票大幅下跌，策略2的损失锁定为的损失锁定为30000元，策略元，策略1的损失却是无法预期的。

的损失却是无法预期的9/16/202429（（2）高杠杆）高杠杆(Leverage)的投资的投资§例例4：Ａ公司股票现价为：Ａ公司股票现价为60元元/股，其未来股，其未来3个到期的看涨期权的期权费为个到期的看涨期权的期权费为2元元/股，若股，若预期到期日的股票价格为预期到期日的股票价格为63元，投资者持元，投资者持有有6000元，则两种投资策略下的损益为：元，则两种投资策略下的损益为：Ø购买股票获利购买股票获利300元，利润率：元，利润率：5％；购买％；购买30份份期权合约（期权合约（100股股/份）获利份）获利3000元，利润率：元，利润率：50%§若股票价格下跌到若股票价格下跌到61元，期权投资亏损元，期权投资亏损6000元，股票亏损元，股票亏损100元§期权投资是赌博？期权投资是赌博？9/16/202430（（3）期权的本质）期权的本质——时间价值时间价值Ø期权的购买者买到的是：降低未来不确定性的期权的购买者买到的是：降低未来不确定性的保险Ø期权空头方给予多头方一段时间，使其能够进期权空头方给予多头方一段时间，使其能够进一步利用所获得的新的信息，降低对未来预期一步利用所获得的新的信息，降低对未来预期中的不确定程度，从而做出更加合理的决策。

中的不确定程度，从而做出更加合理的决策Ø投资：时间价值的交易投资：时间价值的交易——风险的交易风险的交易Ø引申：由于时间的单向性，时间是最宝贵的资引申：由于时间的单向性，时间是最宝贵的资源：义务源：义务=献出时间，权利献出时间，权利=得到时间得到时间9/16/202431练习题练习题1.假设有两个标的资产和到期日相同的看涨假设有两个标的资产和到期日相同的看涨期权期权1和和2，期权，期权1的执行价格和期权费分的执行价格和期权费分别是别是95元和元和7元，期权元，期权2的执行价格和期权的执行价格和期权费分别是费分别是105元和元和3元 若某投资者买入两个期权若某投资者买入两个期权1，同时卖出，同时卖出1个期权个期权2，形成一个期权投资组合，请计，形成一个期权投资组合，请计算该组合的损益算该组合的损益?（分别用分段函数和图（分别用分段函数和图来表示）来表示）9/16/202432练习题练习题2.假设某股票当前的市场价格为假设某股票当前的市场价格为100元，以元，以该价格作为执行价格买权和卖权分别为该价格作为执行价格买权和卖权分别为7元和元和3元投资者选择以下两种投资策略元。

投资者选择以下两种投资策略I.通过股票市场以通过股票市场以100元价格买入该股票；元价格买入该股票；II.通过期权市场构造模仿股票通过期权市场构造模仿股票§如何模仿？请列出二者的损益，并分析如何模仿？请列出二者的损益，并分析其投资效率（投入产出比）？其投资效率（投入产出比）？9/16/2024337.2 Black-Scholes期权定价模型概述期权定价模型概述§Black、、Scholes和和Merton发现了看涨期权发现了看涨期权定价公式，定价公式，Scholes和和Merton也因此获得也因此获得1997年的诺贝尔经济学奖年的诺贝尔经济学奖§模型基本假设模型基本假设8个个Ø无风险利率已知，且为一个常数，不随时间变无风险利率已知，且为一个常数，不随时间变化Ø标的股票不支付红利标的股票不支付红利Ø期权为欧式期权期权为欧式期权9/16/202434Ø无交易费用：股票市场、期权市场、资金借贷无交易费用：股票市场、期权市场、资金借贷市场市场Ø投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等，投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等，均为无风险利率均为无风险利率Ø股票交易无限细分，投资者可以购买任意数量股票交易无限细分，投资者可以购买任意数量的标的股票的标的股票Ø对卖空没有任何限制对卖空没有任何限制Ø标的资产为股票，其价格标的资产为股票，其价格S的变化为几何布朗的变化为几何布朗运动运动9/16/202435B-S模型证明思路模型证明思路ITO引理引理ITO过程过程B-S微分方程微分方程B-S买权定价公式买权定价公式9/16/2024367.3 维纳过程维纳过程§根据有效市场理论，股价、利率和汇率具根据有效市场理论，股价、利率和汇率具有随机游走性，这种特性可以采用有随机游走性，这种特性可以采用Wiener process，它是，它是Markov stochastic process的一种。

的一种§对于随机变量对于随机变量w是是Wiener process，必须，必须具有两个条件：具有两个条件：1.在某一小段时间在某一小段时间Δt内，它的变动内，它的变动Δw与时段满与时段满足足Δt9/16/202437（（7.1））2. 在两个不重叠的时段在两个不重叠的时段Δt和和Δs, Δwt和和Δws是独立的，这是独立的，这个条件也是个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！过程的条件，即增量独立！（（7.2））有效市场有效市场9/16/202438§满足上述两个条件的随机过程，称为维纳满足上述两个条件的随机过程，称为维纳过程，其性质有过程，其性质有§当时段的长度放大到当时段的长度放大到T时（从现在的时（从现在的0时刻时刻到未来的到未来的T时刻）随机变量时刻）随机变量Δwt的满足的满足9/16/202439§证明：证明：9/16/202440§在连续时间下，由（在连续时间下，由（7.1）和（）和（7.2）得到）得到（（7.3））（（7.4））§所以，所以， 概率分布的性质概率分布的性质以上得到的随机过程，称为维纳过程以上得到的随机过程，称为维纳过程9/16/2024417.4 ITO定理定理§一般维纳过程一般维纳过程(Generalized Wiener process)可表示为可表示为（（7.5））显然，一般维纳过程的性质为显然，一般维纳过程的性质为9/16/202442§一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂的变动特征。

的变动特征Ø漂移率和方差率为常数不恰当漂移率和方差率为常数不恰当§若把变量若把变量xt的漂移率的漂移率a和方差率和方差率b当作变量当作变量x和和时间时间t的函数，的函数，扩展后得到的即为扩展后得到的即为ITO过程过程9/16/202443§B-S 期权定价模型是根据期权定价模型是根据ITO过程的特例－几何过程的特例－几何布朗运动来代表股价的波动布朗运动来代表股价的波动省略下标省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程，变换后得到几何布朗运动方程（（7.6））证券的预期回报与其价格无关证券的预期回报与其价格无关9/16/202444§ITO定理：假设某随机变量定理：假设某随机变量x的变动过程可由的变动过程可由ITO过程表示为（省略下标过程表示为（省略下标t））§令令f(x,t)为随机变量为随机变量x以及时间以及时间t的函数，即的函数，即f(x,t)可可以代表以标的资产以代表以标的资产x的衍生证券的价格，则的衍生证券的价格，则f(x,t)的价格变动过程可以表示为的价格变动过程可以表示为（（7.7））9/16/202445证明：将（证明：将（7.7）离散化）离散化由（由（13.1）知）知利用泰勒展开，忽略高阶段项，利用泰勒展开，忽略高阶段项，f(x,t)可以展开为可以展开为（（7.8））9/16/202446在连续时间下，即在连续时间下，即因此，（因此，（7.8）可以改写为）可以改写为（（7.9））从而从而9/16/202447即即Δx2不呈现随机波动！不呈现随机波动！（（7.10））9/16/202448由（由（7.10）可得）可得（（7.11））由（由（13.11）得到）得到（（7.12））9/16/202449 由于由于Δx2不呈现随机波动，所以，其期望值不呈现随机波动，所以，其期望值就收敛为真实值，即就收敛为真实值，即当当Δt→0时，，由（由（7.9）可得）可得■9/16/2024507.5 B-S微分方程微分方程假设标的资产价格变动过程满足假设标的资产价格变动过程满足§这里这里S为标的资产当前的价格，令为标的资产当前的价格，令f(s,t)代表衍生证代表衍生证券的价格，则券的价格，则f(x,t)的价格变动过程可由的价格变动过程可由ITO引理近引理近似为似为9/16/202451假设某投资者以假设某投资者以δδ份的标的资产多头和份的标的资产多头和1 1个单位的个单位的衍生证券空头来构造一个组合，且衍生证券空头来构造一个组合，且δδ满足满足则该组合的收益为则该组合的收益为9/16/202452§下面将证明该组合为无风险组合，在下面将证明该组合为无风险组合，在Δt时时间区间内收益为间区间内收益为9/16/202453§注意到此时注意到此时ΔΔπ不含有随机项不含有随机项w，这意味着该组，这意味着该组合是无风险的，设无风险收益率为合是无风险的，设无风险收益率为r，且由于，且由于Δt较较小（不采用连续复利），则小（不采用连续复利），则整理得到整理得到9/16/202454B-S微分方程的意义微分方程的意义衍生证券的价格衍生证券的价格f，只与当前的市价，只与当前的市价S，时间，时间t，证券，证券价格波动率价格波动率σσ和无风险利率和无风险利率r有关，它们全都是客观有关，它们全都是客观变量。

因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会变量因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会对对f的值产生影响的值产生影响在对衍生证券定价时，可以采用在对衍生证券定价时，可以采用风险中性定价风险中性定价，即，即所有证券的预期收益率都等于无风险利率所有证券的预期收益率都等于无风险利率r只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用B-S微微分方程求出价格分方程求出价格f9/16/202455若股票价格服从几何布朗运动若股票价格服从几何布朗运动设当前时刻为设当前时刻为t，则，则T时刻股票价格满足对时刻股票价格满足对数正态分布，即数正态分布，即7.6 几何布朗运动与对数正态分布几何布朗运动与对数正态分布9/16/202456令令则则这样由伊藤引理得到这样由伊藤引理得到即即9/16/202457由（由（13.1））9/16/202458则称则称ST服从对数正态分布，其期望值为服从对数正态分布，其期望值为所以所以9/16/2024597.7 B-S买权定价公式买权定价公式 对于欧式不支付红利的股票期权，其看涨期权对于欧式不支付红利的股票期权，其看涨期权（买权）的在定价日（买权）的在定价日t的定价公式为的定价公式为9/16/202460§（（1）设当前时刻为）设当前时刻为t，到期时刻，到期时刻T，若股票，若股票价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻t的股票价格为的股票价格为St,则则T时刻的股票价格的期时刻的股票价格的期望值为望值为B-S买权定价公式推导买权定价公式推导（（7.13））9/16/202461（（7.14））由（由（13.13）和（）和（13.14）得到）得到（（7.15））§根据根据B-S微分方程可知，定价是在风险中性微分方程可知，定价是在风险中性条件下，则资产的期望回报为无风险回报，条件下，则资产的期望回报为无风险回报，则则这表明：在风险中性的世界中，任何可交易的金这表明：在风险中性的世界中，任何可交易的金融资产的回报率均为无风险利率。

融资产的回报率均为无风险利率9/16/202462（（2）在）在风险中性的条件下风险中性的条件下，任何资产的贴现率为，任何资产的贴现率为无风险利率无风险利率r，故买权期望值的现值为，故买权期望值的现值为（（7.16））9/16/202463§由于由于ST服从对数正态分布，其服从对数正态分布，其pdf为为（（7.17））第第1项项第第2项项将将由由(7.16)得到得到9/16/202464（（3）化简（）化简（7.17）中的第）中的第1、、2项，先化简第项，先化简第1项项（（7.18））当前时刻价格，不是变量当前时刻价格，不是变量9/16/202465（（7.19））9/16/202466 将（将（7.19）与（）与（7.18）内的第）内的第2个指数项合个指数项合并，即并，即（（7.20））9/16/202467将（将（7.20）代入（）代入（7.18））下面，将利用变量代换来简化下面，将利用变量代换来简化（（7.21），不妨令），不妨令（（7.21））9/16/2024689/16/202469y的积分下限为的积分下限为y的积分上限为的积分上限为9/16/202470将将dy与与y代入（代入（7.21），即有），即有这样就完成了第这样就完成了第1项的证明。

项的证明7.22））9/16/202471下面证明下面证明B-S公式中的第公式中的第2项，项，首先进行变量代换，令首先进行变量代换，令9/16/202472§则则z的积分下限的积分下限§z的积分上限的积分上限9/16/202473§将将z和和dz代入代入（（7.23））9/16/202474则由（则由（7.22）和（）和（7.23）得到）得到其中其中9/16/202475pr0dN(d)例如例如:当当d＝＝1.96时时,N(d)＝＝913.5%9/16/202476B-S买权公式的意义买权公式的意义§N(d2)是在风险中性世界中是在风险中性世界中ST大于大于X的概率，的概率，或者说式欧式看涨期权被执行的概率或者说式欧式看涨期权被执行的概率§ e-r(T-t)XN(d2)是是X的风险中性期望值的现值的风险中性期望值的现值 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是是ST的风险中性期望值的风险中性期望值的现值 9/16/202477§其次，其次， 是复制交易策略中股票的数是复制交易策略中股票的数量，量，SN（（d1)就是股票的市值就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)则是复制交易策略中负债的价值。

则是复制交易策略中负债的价值Ø假设两个假设两个N(d)均为均为1，看涨期权价值为，看涨期权价值为St-Xe-rT，则没有不确定性如果确实执行了，我们就，则没有不确定性如果确实执行了，我们就获得了以获得了以St为现价的股票的所有权，而承担了为现价的股票的所有权，而承担了现值现值Xe-rT的债务§期权的价值关于标的资产的价格及其方差，期权的价值关于标的资产的价格及其方差，以及到期时间等以及到期时间等5个变量的非线性函数个变量的非线性函数Ct=f(St,X,τ,σ,r)的函数的函数，具有如下性质，具有如下性质9/16/202478FactorEffect on valueStock price increasesExercise price decreasesVolatility of stock price increasesTime to expirationincreasesInterest rate increasesDividend RatedecreasesFactors Influencing Option Values: CallsSo = 100X = 95r = 0.10T = 0.25 (quarter)= 0.50d1 = [ln(100/95) + (0.10+(0 5 2/2))] / (0 5 ×0 ×0.251/2) = 0.43 d2 = 0.43 + ((0 50 0.251/2) =0.18N (0.43) = 0.6664，， N (0.18) =0 .5714Call Option Example9/16/202480Co = SoN(d1) - Xe-rTN(d2)Co = 100 *0 .6664 - 95 e- 0.10 *0 .25 *0 .5714 Co = 13.70P = Xe-rT [1-N(d2)] - S0 [1-N(d1)]Call Option Value9/16/2024817.8 看跌期权的定价看跌期权的定价§利用金融工程的原理来看待期权平价关系利用金融工程的原理来看待期权平价关系§考虑如下两个组合：考虑如下两个组合：Ø组合组合A：一份欧式看涨期权加上金额为：一份欧式看涨期权加上金额为 的现金的现金Ø组组合合B：：一一份份有有效效期期和和协协议议价价格格与与看看涨涨期期权权相相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产同的欧式看跌期权加上一单位标的资产9/16/202482§组合组合A到期时刻到期时刻T的收益的收益§组合组合B到期时刻到期时刻T的收益的收益§两个组合具有相同的价格，且由于欧式期权不能两个组合具有相同的价格，且由于欧式期权不能提前执行，则在提前执行，则在t时刻两个组合价值相等，否则就时刻两个组合价值相等，否则就有套利，即有套利，即此为看涨看跌期权平价公式。

此为看涨看跌期权平价公式9/16/202483从几何图性上看，二者对影响期权的关键指标从几何图性上看，二者对影响期权的关键指标都进行了负向变换，是关于纵向对称的都进行了负向变换，是关于纵向对称的9/16/202484标的资标的资产价格产价格期权价值期权价值9/16/2024857.9 有收益资产的欧式期权定价有收益资产的欧式期权定价§当标的证券已知收益的现值为当标的证券已知收益的现值为I时，我们只时，我们只要用（要用（St－－I）代替）代替B-S公式中的公式中的St§当标的证券的收益为按连续复利计算的固当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率定收益率q（单位为年）时，我们只要将（单位为年）时，我们只要将9/16/202486§对于欧式期货期权，其定价公式为对于欧式期货期权，其定价公式为其中：其中：F为到期日期货的价格，即付出为到期日期货的价格，即付出X，得到，得到一个价值为一个价值为F的期货的期货9/16/202487§根据泰勒公式对期权价格进行二阶展开，忽略高阶项根据泰勒公式对期权价格进行二阶展开，忽略高阶项DeltaThetaVegaRhoGamma7.10 B-S公式的边际分析公式的边际分析9/16/202488§命题：欧式看涨期权的命题：欧式看涨期权的Delta=N(d1)9/16/2024899/16/202490利用利用Delta进行套期保值进行套期保值§某人出售某人出售10份看涨期权并且持有份看涨期权并且持有6股股票，股股票，根据根据0.6的套期比率，股票价格每升高的套期比率，股票价格每升高1美元，美元，股票的收益增加股票的收益增加6美元，同时看涨期权则损美元，同时看涨期权则损失失10×0 . 6美元，即美元，即6美元。

可见股票价格美元可见股票价格的变动没有引起总财富的变动，这就使头的变动没有引起总财富的变动，这就使头寸得到了套期保值寸得到了套期保值§Delta 对冲对冲=对冲比9/16/202491。