低速气流中二元叶片颤振数值模拟与hopf分岔分析.pdf

低速气流中二元叶片颤振数值模拟与Hopf分岔分析 2－134 低速气流中二元叶片颤振数值模拟与低速气流中二元叶片颤振数值模拟与 Hopf 分岔分析分岔分析 张家忠12F , 孙旭，雷鹏飞 (西安交通大学 能源与动力工程学院,陕西 西安 710049) 摘 要：摘 要：给出了一种低速来流下二元叶片颤振数值模拟、运动稳定性分析的方法：流场方面，以速度势函 数形式的Laplace方程、非定常Bernoulli方程作为流动控制方程，利用有限单元法进行数值模拟，计算二 元叶片所受气动载荷；结构方面，根据已有二元叶片沉浮、扭转结构动力模型，应用四阶Runge-Kutta法 对振动方程积分一步，得到下一时刻叶片振动的位移和速度；流动和结构方程迭代求解，实现低速来流中 叶片振动的数值模拟最后，从非线性动力学角度，利用动力系统稳定性理论、分岔理论，在相平面上对 叶片振动平衡位置稳定性进行分析，对颤振发生的机理进行了研究作为算例，着重分析了来流速度对叶 片振动的影响， 分析表明： 来流速度增加而导致的叶片颤振是以来流速度为分岔参数的Hopf分岔产生的结 果 关键词：关键词：Laplace方程；非定常Bernoulli方程；有限单元法；颤振；Hopf分岔 Numerical Simulation and Hopf Bifurcation of Flutter-Type Oscillation of Two-Dimensional Blade in flow with Lower Reynolds Number Zhang Jia-zhong, Sun Xu, Lei Peng-fei (1.College of Energy and Power Engineering, Xi’an Jiaotong University, Shanxi 710049, China) Abstract：： A numerical method is proposed to simulate the Flutter-type oscillation, and investigate the fundamental nature of the nonlinear phenomena from the viewpoint of Hopf bifurcation. The finite element method is used to approach the solution of Laplace equation, in terms of velocity potential, and the unsteady aerodynamic loads can be then obtained through the unsteady Bernoulli equation. Further, the Runge-Kutta method is applied to solve the equation of structural dynamics. Calculating the flow and structure equations alternately, the orbits of the two-dimensional blade in the flow are obtained. Finally, the flutter-type oscillation is studied in detail based on Hopf bifurcation. In particular, the stability of the equilibrium position is analyzed and some explanations for such oscillation are given. As the results, it can be concluded that the appearance of flutter-type oscillation of two-dimensional blade in the flow is the result of the occurrence of Hopf bifurcation, as the velocity of the flow is increasing. Key words: Lapace equation; unsteady Bernoulli equation; finite element method; flutter-type 作者简介：作者简介：张家忠(1968-)，男，山西人，博士，副教授，从事非线性动力系统（流体、固体、流-固耦合） 的运动稳定性、分岔及其数值方法研究. E-mail:jzzhang@ 2007年第九届全国振动理论及应用学术会议论文集 杭州，2007.10.17-19 2－135 oscillation; Hopf bifurcation 引 言 引 言 现代工业大型化、 集成化的发展趋势使作为其关键设备的透平机械不断向大型、 高 效和长寿命的方向发展。

透平机组的大型化使叶片颤振这一问题更加突出 叶片颤振是 一种自激振动，由气流激励下叶片所受弹性力、惯性力、气动力耦合作用导致，是造成 叶片安全性问题和寿命问题的重要原因 叶片气动弹性试验可以很好的反应实际工作过 程中透平叶片的振动情况，但费用高昂，而且对于一些高温、高压的工况难以实现因 此， 运用数值方法对叶片振动进行模拟、 并加以稳定性分析对于透平叶片设计生产以及 故障诊断有着重大意义 近年来，越来越多的学者开始采用数值方法对叶片、机翼颤振问题进行研究[1-4]鉴于 流-固耦合问题的复杂性，叶片多简化为二元直叶片，振动模型采用沉浮、扭转两自由度刚 体模型其中气动力求解多以Euler方程、Navier-Stokes方程为流动控制方程，通过采用高 精度的算法和网格加密技术，计算结果具有较高的精度然而，提高精度的同时也极大地增 加了计算机时若对实际叶片的颤振问题进行预估，将耗费大量的时间况且，对于低速情 况，流动方程可作适当简化，如仍采用前述做法将耗费大量的机时，造成资源的浪费 本文针对低速来流，发展了一种叶片振动数值模拟、运动稳定性分析的方法：以速度势 函数形式的Laplace方程、 非定常Bernoulli方程作为流动控制方程求解气动载荷； 利用沉浮、 扭转两自由度结构动力模型计算叶片振动； 从非线性动力学角度， 在相平面内利用动力系统 稳定性理论、分岔理论对计算结果加以分析，对叶片颤振发生机理进行研究。

并用该方法对 某轴流压缩机翼型所对直叶片在低速来流中的振动过程进行了数值模拟， 详细研究了来流速 度对叶片颤振的影响 1 力学模型 1 力学模型 对于低速来流中的叶片颤振问题，做如下简化： （1） 来流速度较低（Ma0.3） ，故满足不可压缩假设 （2） 不考虑流体粘性 （3） 叶片为二元直叶片，而非实际透平机组中的三维扭曲叶片 1.1 流动控制方程 1.1 流动控制方程 图 1 绕翼型流动图 Fig. 1 Flow around a single airfoil 低速气流中二元叶片颤振数值模拟与Hopf分岔分析 2－136 通过以上假设， 透平叶片绕流可简化为二维不可压缩翼型绕流 其流动模型如图1所示， 1 Γ、 2 Γ、 3 Γ所围矩形为流场外边界，其沿x，y方向均取翼型弦长的5倍，以保证其上流 动与无穷远处近似，外边界为固定边界； 4 Γ（翼型表面）为内边界，在此处流动应满足无 穿透条件，该边界为运动边界，其位移、速度在叶片振动过程中随时间变化；由于流场中包 含翼型的任一封闭曲线上均存在速度环量， 因此流场中每个点处的速度势函数值都不是唯一 的，无法进行求解采用文献[5]中的处理方式，在翼型后缘作两无限接近的割线h-g和e-f （理论上，割线的形状和位置可以是任意的） ，在割线上下两侧速度势函数存在跳跃，差值 为绕翼型的速度环量Γ。

在单连通区域a-b-h-g-k-e-f-c-d-a中每一点处的速度势函数值是唯 一的，可以进行求解 取速度势函数形式的Laplace方程为流动控制方程，该翼型绕流模型对应如下边值问题 [6]： 1234 22 22 0( , ) ,0 ( 0 n efgh a x y xy uuv nnnn φφ φφφφ φφ φ ΓΓΓΓ ⎫∂∂ +=∀∈Ω ⎪ ∂∂ ⎪ ⎪ ∂∂∂∂ ⎪ = −=== ⎬ ∂∂∂∂ ⎪ ⎪ −= Γ ⎪ ⎪= ⎭ ,, 对应点处） （1） 其中u为自由来流速度片振动时各点法向速度，取a点为速度势函数参考点 因为内边界为可动边界，因而为非定常流动压力场求解采用非定常Bernoulli方程[7] 即： 1 ( ) 2 dp GF t t φ φφ ρ ∂ ++∇ •∇ −= ∂ ∫ （2） 其中F(t)为非定常Bernoulli常数， 同一时刻该值在流场内各点处是一致的 对于不可压缩流 动，ρ为常数，同时不考虑重力的影响， （2）式可简化为： 1 ( ) 2 p F t t φ φφ ρ ∂ ++∇ •∇= ∂ （3） 1.2 叶片结构动力模型 1.2 叶片结构动力模型 图2 叶片结构动力模型 Fig. 2 Model of the structural dynamics 2007年第九届全国振动理论及应用学术会议论文集 杭州，2007.10.17-19 2－137 图 2 为两自由度叶片结构动力模型。

旋转中心位于弦长 1/4 处，弹簧、阻尼器均与旋转 中心相连取叶片自由悬挂平衡位置为y轴原点，转角θ顺时针方向为正该振动模型的运 动方程式[8]为： 2 2 ()2() ()2() xyyy x yS myy Lt m S I yM t I θθθθθ θζ ωω θζ ωθ ωθ ⎫−++= ⎪ ⎬ −++= ⎪⎭ ?? ??? ??? ?? （4） 其中m为单位展长叶片质量；Iθ为叶片对转轴的转动惯量；/ x Sm为重心到旋转中心的侧向 距离； y ω、 y ζ和 θ ω 、 θ ζ分别为沉浮、扭转方向上结构固有频率和阻尼系数；( )L t、( )M t 为叶片所受升力、气动扭矩，通过求解流场得出，是随叶片振动不断变化的量；y、θ为沉 浮、扭转振动位移 2 2 数值求解 数值求解 2.1 流-固耦合求解流程 2.1 流-固耦合求解流程 设定叶片初始位置及速度，设定总 时间步 根据叶片沉浮、扭转位移和速度调整 绕流模型内边界位置及边界条件 利用有限单元法求解流场，求解瞬态 气动载荷 取所得瞬态气动载荷在小的时间间隔 内为定值，采用Runge-Kutta法求解叶 片振动方程，得到下一时刻的叶片沉 浮、扭转位移和速度 输出所得沉浮、扭转振动位移和 速度 到达指定时间步或 沉浮、扭转位移超 出设定界限？ 结 束 将所得沉浮、扭 转方向位移和速 度作为初始值 开 始 Yes No 利用Delaunay三角化方法生成非结构 化网格 图 3 流-固耦合求解流程图 Fig.3 Flowchart of the fluid-structure interaction 流体诱发振动是一个复杂的流-固耦合问题，流场计算、叶片振动求解是一个相互耦合 的过程。

本文采用迭代的方法：某一时刻，首先通过求解流动模型得到叶片振动方程（4） 中气动载荷( )L t、( )M t然后，通过计算振动方程得到下一时刻叶片沉浮、扭转振动位移 和速度最后，根据翼型的位移和速度调整翼型绕流计算模型中的边界位置和内边界条件 如此迭代求解，便实现了气流冲击下翼型颤振的数值模拟图 3 给出了这个流-固耦合问题 数值模拟的总体流程，各部分具体的计算方法将在下文中给出 2.2 流动模型数值求解 2.2 流动模型数值求解 速度势函数求解：采用文献[5]所示有限单元法对流动模型（1）进行了计算，有限元函 低速气流中二元叶片颤振。