用导数研究报告函数的恒成立及存在性问题答案.doc

1 用导数研究函数的恒成立与存在问题1．已知函数，其中为常数．（1）若，求函数的单调区间； （2）若函数在区间上为单调函数，求的取值围．2．已知函数，是的导函数1）当时，对于任意的，，求的最小值；（2）若存在，使＞0，求的取值围3．已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间；（3）设，若对任意，均存在，使得，数的取值围. 4．（2016届二模）已知函数．（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）若函数与有相同极值点．①数的值；②对(为自然对数的底数)，不等式恒成立，数的取值围．5．已知函数．（1）当时，使不等式，数的取值围；（2）若在区间，函数的图象恒在直线的下方，数的取值围．用导数研究函数的恒成立与存在问题 答案1．解：(1)若a＝1，则f(x)＝3x－2x2＋ln x，定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－4x＋3＝＝(x＞0)．当x∈(0,1)时，f′(x)＞0，函数f(x)＝3x－2x2＋ln x单调递增．当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，函数f(x)＝3x－2x2＋ln x单调递减，即f(x)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1，＋∞)．(2)f′(x)＝－4x＋.若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，即在[1,2]上，f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)＝－4x＋≤0，即－4x＋≥0或－4x＋≤0在[1,2]上恒成立．即≥4x－或≤4x－.令h(x)＝4x－，因为函数h(x)在[1,2]上单调递增，所以≥h(2)或≤h(1)，即≥或≤3，解得a＜0或0＜a≤或a≥1.故a的取值围是(－∞，0)∪(0，]∪[1，＋∞)．2. 解：（1）由题意知令当在[-1，1]上变化时，随的变化情况如下表：x-1（-1，0）0（0，1）1-7-0+1-1↓-4↑-3的最小值为的对称轴为，且抛物线开口向下, 的最小值为的最小值为-11. （2）.①若,上单调递减，又②若当从而上单调递增，在上单调递减， ，则综上，的取值围是(或由,用两种方法可解)3．解：（1）由已知，， 故曲线在处切线的斜率为而，所以切点为，在点处的切线方程为（2）①当时，由于，故，所以，的单调递增区间为. ②当时，由，得. 在区间上，，在区间上，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）由已知，问题等价于为. 其中由(2)知，当时，在上单调递增，值域为R，故不符合题意.(或者举出反例：存在，故不符合题意.) 当时，在上单调递增，在上单调递减，故的极大值即为最大值，， 所以，解得. 4．解（Ⅰ），…………………………1分 由得；由得.在上为增函数，在上为减函数. ……………………2分函数的最大值为.…………………………………………3分（Ⅱ）.①由（1）知，是函数的极值点，又函数与有相同极值点， 是函数的极值点，，解得.……………………………………………4分经验证，当时，函数在时取到极小值，符合题意. ……5分②，易知，即. ………7分由①知，当时，；当时，.故在上为减函数，在上为增函数.，而.. …………………9分当，即时，对于，不等式恒成立.，. ……………………………………………10分当，即时，对于，不等式恒成立.，. ………………………………11分综上，所数的取值围为.…………………12分5．【解】：(1)当a＝1时，f(x)＝x2＋ln x(x＞0)，f′(x)＝x＋，由x∈[1，e]，f′(x)＞0得函数f(x)在区间[1，e]为增函数，则当x∈[1，e]时，f(x)∈.故要使∃x0∈[1，e]使不等式f(x0)≤m成立，只需m≥即可.(2)在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象恒在直线y＝2ax的下方等价于对∀x∈(1，＋∞)，f(x)＜2ax，即(a－)x2＋ln x－2ax＜0恒成立．设g(x)＝(a－)x2－2ax＋ln x(x∈[1，＋∞))，则g′(x)＝(2a－1)x－2a＋＝(x－1)(2a－1－)．当x∈(1，＋∞)时，x－1＞0,0＜＜1.①若2a－1≤0，即a≤，g′(x)＜0，函数g(x)在区间[1，＋∞)上为减函数，则当∀x∈(1，＋∞)时g(x)＜g(1)＝a－－2a＝－－a，只需－－a≤0，即当－≤a≤时，g(x)＝(a－)x2＋ln x－2ax＜0恒成立．②若0＜2a－1＜1，即＜a＜1时，令g′(x)＝(x－1)(2a－1－)＝0得x＝＞1，函数g(x)在区间为减函数，为增函数，则g(x)∈，不合题意．③若2a－1≥1，即当a≥1时g′(x)＞0，函数g(x)在区间[1，＋∞)为增函数，则g(x)∈[g(1)，＋∞)，不合题意．综上可知：当－≤a≤时g(x)＝(a－)x2＋ln x－2ax＜0恒成立，即当－≤a≤时，在区间(1，＋∞)上函数f(x)的图象恒在直线y＝2ax的下方．. . . w d . 。