5拉格朗日与天体力学.doc

拉格朗日一、简一、简 介介约瑟夫约瑟夫·路易斯路易斯·拉格朗日拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange 1735~1813）法国数学家、物理学家1736 年 1 月 25 日生于意大利都灵，1813 年 4 月 10 日卒于巴黎他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出拉格朗日是 18 世纪的伟大科学家，在数学、力学和天文学三个学科中都有历史性的重大贡献但他主要是数学家，拿破仑曾称赞他是“一座高耸在数学界的金字塔”，他最突出的贡献是在把数学分析的基础脱离几何与力学方面起了决定性的作用．使数学的独立性更为清楚，而不仅是其他学科的工具．同时在使天文学力学化、力学分析化上也起了历史性作用，促使力学和天文学(天体力学)更深入发展．在天体力学领域的主要贡献是发展了摄动理论摄动理论，建立了分析力学的基本理论在限制性三体问题的研究中，在欧拉直线解的基础上，进一步得到了三角形解，也即今天常说的拉格朗日平动点拉格朗日平动点二、生二、生 平平拉格朗日 1736 年 1 月 25 日生于意大利意大利西北部的都灵父亲是法国陆军骑兵里的一名军官，后由于经商破产，家道中落。

据拉格朗日本人回忆，如果幼年时家境富裕，他也就不会作数学研究了，因为父亲一心想把他培养成为一名律师拉格朗日个人却对法律毫无兴趣到了青年时代，在数学家雷维里的教导下，拉格朗日喜爱上了几何学17 岁时，他读了英国天文学家哈雷哈雷的介绍牛顿微积分成就的短文《论分析方法的优点》后，感觉到“分析才是自己最热爱的学科”，从此他迷上了数学分析数学分析，开始专攻当时迅速发展的数学分析18 岁时，拉格朗日用意大利语写了第一篇论文，是用牛顿二项式定理处理两函数乘积的高阶微商，他又将论文用拉丁语写出寄给了当时在柏林科学院任职的数学家欧拉不久后，他获知这一成果早在半个世纪前就被莱布尼兹取得了这个并不幸运的开端并未使拉格朗日灰心，相反，更坚定了他投身数学分析领域的信心1755 年拉格朗日 19 岁时，在探讨数学难题“等周问题等周问题”的过程中，他以欧拉的思路和结果为依据，用纯分析的方法求变分极值第一篇论文“极大和极小的方法研究”，发展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础变分法的创立，使拉格朗日在都灵声名大震，并使他在 19 岁时就当上了都灵皇家炮兵学校的教授，成为当时欧洲公认的第一流数学家1756 年，受欧拉的举荐，拉格朗日被任命为普鲁士科学院通讯院士。

1764 年，法国科学院悬赏征文，要求用万有引力解释月球天平动月球天平动问题，他的研究获奖接着又成功地运用微分方程理论和近似解法研究了科学院提出的一个复杂的六体问题(木星的四个卫星的运动问题)，为此又一次于 1766 年获奖1766 年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请时说，在“欧洲最大的王”的宫廷中应有“欧洲最大的数学家”于是他应邀前往柏林，任普鲁士科学院数学部主任，居住达 20 年之久，开始了他一生科学研究的鼎盛时期在此期间，他完成了《《分析力学分析力学》》一书，这是牛顿之后的一部重要的经典力学著作书中运用变分原理和分析变分原理和分析的方法，建立起完整和谐的力学体系，使力学分析化了他在序言中宣称：力学已经成为分析的一个分支拉格朗日在柏林期间完成了大量重大研究成果，为一生研究中的鼎盛时期，多数论文在德国发表，少量仍寄回都灵．其中有关月球运动(三体问题)、行星运动、轨道计算、两个不动中心问题、流体力学、数论、方程论、微分方程、函数论等方面的成果，成为这些领域的开创性或奠基性研究．此外，还在概率论、循环级数以及一些力学和几何学课题方面有重要贡献．他还翻译了欧拉和 A．棣莫弗(De Moivre)的著作． 1782 年给拉普拉斯(Laplace)的信中说：“我几乎写完《分析力学论述》(Traitéde Mécanique Analytique)，但无法出版． ”拉普拉斯安排在巴黎出版，出书时已是 1788 年，拉格朗日已到巴黎了．此书成为分析力学的奠基著作．1783 年，拉格朗日的故乡建立了“都灵科学院“，他被任命为名誉院长。

1786 年腓特烈大帝去世以后，他接受了法王路易十六的邀请，离开柏林，定居巴黎，直至去世这期间他参加了巴黎科学院成立的研究法国度量衡统一问题的委员会，并出任法国米制委员会主任1799 年，法国完成统一度量衡工作，制定了被世界公认的长度、面积、体积、质量的单位，拉格朗日为此做出了巨大的努力1791 年，拉格朗日被选为英国皇家学会会员，又先后在巴黎高等师范学院和巴黎综合工科学校任数学教授1795 年建立了法国最高学术机构——法兰西研究院后，拉格朗日被选为科学院数理委员会主席此后，他才重新进行研究工作，编写了一批重要著作：《论任意阶数值方程的解法》 、 《解析函数论》和《函数计算讲义》 ，总结了那一时期的特别是他自己的一系列研究工作1813 年 4 月 3 日，拿破仑授予他帝国大十字勋章，但此时的拉格朗日已卧床不起，4月 11 日早晨，拉格朗日逝世三、主要成就三、主要成就拉格朗日科学研究所涉及的领域极其广泛他在数学上最突出的贡献是使数学分析与使数学分析与几何与力学脱离开来几何与力学脱离开来，使数学的独立性更为清楚，从此数学不再仅仅是其他学科的工具拉格朗日总结了 18 世纪的数学成果，同时又为 19 世纪的数学研究开辟了道路，堪称法国最杰出的数学大师。

同时，他的关于月球运动月球运动(三体问题)、行星运动行星运动、轨道计算轨道计算、两个不动中心问题、流体力学等方面的成果，在使天文学力学化天文学力学化、力学分析化力学分析化上，也起到了历史性的作用，促进了力学和天体力学的进一步发展，成为这些领域的开创性或奠基性研究在柏林工作的前十年，拉格朗日把大量时间花在代数方程和超越方程的解法上，作出了有价值的贡献，推动了代数学的发展他提交给柏林科学院两篇著名的论文：《关于解数值方程》和《关于方程的代数解法的研究》 把前人解三、四次代数方程的各种解法，总结为一套标准方法，即把方程化为低一次的方程(称辅助方程或预解式)以求解拉格朗日也是分析力学分析力学的创立者拉格朗日在其名著《分析力学》中，在总结历史上各种力学基本原理的基础上，发展达朗贝尔达朗贝尔、欧拉欧拉等人研究成果，引入了势势和等势面的概念，进一步把数学分析应用于质点和刚体力学，提出了运用于静力学和动力学的普遍方程，引进广义坐标广义坐标的概念，建立了拉格朗日方程，把力学体系的运动方程从以力为基本概念的牛顿形式，改变为以能量为基本概念的分析力学以能量为基本概念的分析力学形式，奠定了分析力学的基础，为把力学理论推广应用到物理学其他领域开辟了道路。

他还给出刚体在重力作用下，绕旋转对称轴上的定点转动（拉格朗日陀螺）的欧拉动力学方程的解，对三体问题的求解方法有重要贡献，解决了限制性三体运动的定型问题定型问题拉格朗日对流体运动的理论也有重要贡献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法拉格朗日的研究工作中，约有一半同天体力学有关他用自己在分析力学中的原理和公式，建立起各类天体的运动方程在天体运动方程的解法中，拉格朗日发现了三体问题运动方程的五个特解，即拉格朗日平动解拉格朗日平动解此外，他还研究了彗星和小行星的摄动问题，提出了彗星起源假说等近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作所以他在数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一拉格朗日在数学、力学和天文学三个学科中都有重大历史性贡献，但他主要是数学家，研究力学和天文学的目的是表明数学分析的威力．全部著作、论文、学术报告记录、学术通讯超过 500 篇．拉格朗日的学术生涯主要在 18 世纪后半期．当对数学、物理学和天文学是自然科学主体．数学的主流是由微积分发展起来的数学分析，以欧洲大陆为中心；物理学的主流是力学；天文学的主流是天体力学．数学分析的发展使力学和天体力学深化，而力学和天体力学的课题又成为数学分析发展的动力．当时的自然科学代表人物都在此三个学科做出了历史性重大贡献．下面就拉格朗日的主要贡献分别评述．数学分析的开拓者牛顿和莱布尼兹以后的欧洲数学分裂为两派．英国仍坚持牛顿在《自然哲学中的数学原理》中的几何方法，进展缓慢；欧洲大陆则按莱布尼兹创立的分析方法(当时包括代数方法)，进展很快，当时叫分析学(analysis)．拉格朗日是仅次于欧拉的最大开拓者，在 18 世纪创立的主要分支中都有开拓性贡献．3.1 变分法变分法这是拉格朗日最早研究的领域，以欧拉的思路和结果为依据，但从纯分析方法出发，得到更完善的结果．他的第一篇论文“极大和极小的方法研究”(Recherches sur la méthode demaximis et minimies)[2]是他研究变分法的序幕； 1760 年发表的“关于确定不定积分式的极大极小的一种新方法”(Essai d'unenouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima desformules integrales indéfinies)[3]是用分析方法建立变分法的代表作．发表前写信给欧拉时，称此文中的方法为“变分方法”(themethod of variation)．欧拉肯定了，并在他自己的论文中正式将此方法命名为“变分法”(the calculus of variation)．变分法这个分支才真正建立起来．拉格朗日方法是对积分进行极值化，函数 y=y(x)待定．他不象欧拉和前人用改变极大或极小化曲线的个别坐标的办法，而是引进通过端点(x1，y1)，(x2，y2)的新曲线y(x)+δy(x)，δy(x)叫曲线 y(x)的变分．J 相应的增量△J 按 δy，δy′展开的一、二阶项叫一次变分 δJ和二次变分 δ2J．他用分析方法证明了 δJ 为零的必要条件就是欧拉方程他达继续讨论了端点变动时的情况以及两个自变量的重积分的情况，使这个分支继续发展．1770 年以后，拉格朗日达研究了被积函数 f 包含高阶导数的单重和多重积分时的情况，现在已发展成为变分法的标准内容．3.2 微分方程微分方程早在都灵时期，拉格朗日就对变系数常微分方程研究做出重大成果．他在降阶过程中提出了以后所称的伴随方程，并证明了非齐次线性变系数方程的伴随方程的伴随方程，就是原方程的齐次方程．他还把欧拉关于常系数齐次方程的结果推广到变系数情况，证明了变系数齐次方程的通解可用一些独立特解乘上任意常数相加而成；而且在知道方程的 m 个特解后，可以把方程降低 m 价．在柏林时期，他对常微分方程的奇解和特解做出历史性贡献，在 1774 年完成的“关于微分方程特解的研究”(Sur les intégralesparticulieres des equations différentielles)[22]中系统地研究了奇解和通解的关系，明确提出由通解及其对积分常数的偏导数消去常数求出奇解的方法；还指出奇解为原方程积分曲线族的包络线．当然，他的奇解理论还不完善，现代奇解理论的形式是由 G．达布(Darboux)等人完成的．常微分方程组的研究在当时结合天体力学中的课题进行．拉格朗日在 1772 年完成的“论三体问题”(Essai sur le problémedes trois corps)中，找出了三体运动的常微分方程组的五个特解：三个是三体共线情况；两个是三体保持等边三角形；在天体力学中称为拉格朗日拉格朗日平动解平动解．他同拉普拉斯一起完善的任意常数变异法任意常数变异法，对多体问题方程组的近似解有重大作用，促进了摄动理论摄动理论的建立．拉格朗日是一阶偏微分方程理论的建立者，他在 1772 年完成的。

“关于一阶偏微分方程的积分”(Sur l'integration des équationau differences partielles du premier order)和 1785 年完成的“一阶线性偏微分方程的一般积分方。