(均值不等式)总结整理及典例.pdf

均值不等式归纳总结 1. (1)若Rba,，则abba2 22 (2) 若Rba,，则 2 22 ba ab （ 当 且 仅 当 ba时取“=”） 2. (1)若 * ,Rba，则ab ba 2 (2) 若 * ,Rba，则abba2（当且仅当ba 时取“=” ） (3) 若 * ,Rba，则 2 2 ba ab ( 当且仅当ba时取“ =” ） 3. 若0x，则 1 2x x ( 当且仅当1x时取“ =” ） 若0x，则 1 2x x ( 当且仅当1x时取“=” ） 若0x，则 111 22-2xxx xxx 即或 ( 当且仅当ba时取“=” ） 4. 若 0ab，则 2 a b b a ( 当且仅当 ba时取“=” ） 若0ab，则22-2 ababab bababa 即或 ( 当且仅当ba时取“ =” ） 5. 若Rba,，则 2 ) 2 ( 22 2 baba （当且仅当ba时取“ =” ） (1) 当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定 值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2) 求最值的条件“一正，二定，三取等” (3) 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际 问题方面有广泛的应用』 应用一：求最值 例 1：求下列函数的值域 （1）y＝3x 2 ＋ 1 2x 2（2）y＝x＋ 1 x 解：(1)y ＝3x 2 ＋ 1 2x 2≥23x 2 · 1 2x 2＝6 ∴值域为 [6 ，+∞） (2) 当 x＞0 时，y＝x＋1 x ≥2x·1 x ＝2； 当 x＜0 时， y ＝x＋ 1 x = －（－ x － 1 x ）≤－ 2x·1 x = －2 ∴值域为（－∞，－ 2] ∪[2 ，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例已知 5 4 x，求函数 1 42 45 yx x 的最大值。

解：因450x，所以首先要“调整”符号，又 1 (42) 45 x x 不是常数，所以 对42x要进行拆、凑项， 5 ,540 4 xx， 11 42543 4554 yxx xx 231 当且仅当 1 54 54 x x ，即1x时，上式等号成立，故当1x时， max 1y 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值 技巧二：凑系数 例 1. 当时，求(82 )yxx的最大值 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定 值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值注意到 2(82 )8xx为定值， 故只需将(82 )yxx凑上一个系数即可 当，即 x＝2 时取等号当 x＝2 时，(82 )yxx的最大值为 8 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而 可利用均值不等式求最大值 变式：设 2 3 0x，求函数)23(4xxy的最大值 解：∵ 2 3 0x∴023x∴ 2 9 2 232 2)23(22)23(4 2 xx xxxxy 当且仅当,232xx即 2 3 , 0 4 3 x时等号成立 技巧三：分离 例 3. 求 2 710 (1) 1 xx yx x 的值域。

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的 项，再将其分离 当, 即时, 4 21)59 1 yx x （（当且仅当 x＝1 时取“＝”号） 技巧四：换元 解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在分 离求最值 22 (1)7(1 +10544 =5 tttt yt ttt ） 当, 即 t=时, 4 259yt t （当 t=2 即 x＝1 时取“＝”号） 评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将 式子分开再利用不等式求最值即化为 ( )(0,0) ( ) A ymg xB AB g x ，g(x) 恒正 或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值 技巧五：在应用最值定理求最值时， 若遇等号取不到的情况， 结合函数 ( ) a f xx x 的单调性 例：求函数 2 2 5 4 x y x 的值域 解：令 2 4(2)xt t，则 2 2 5 4 x y x 2 2 11 4(2) 4 xtt t x 因 1 0,1tt t ，但 1 t t 解得1t不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性 因为 1 yt t 在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故 5 2 y。

所以，所求函数的值域为 5 , 2 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1） 2 31,( 0) xx yx x （2） 1 2,3 3 yxx x (3) 1 2sin,(0,) sin yxx x 2．已知01x，求函数(1)yxx的最大值 . ；3． 2 0 3 x，求函数(2 3 )yxx 的最大值 . 条件求最值 1. 若实数满足2ba，则 ba 33的最小值是 . 分析： “和”到“积”是一个缩小的过程，而且 ba 33定值，因此考虑利用均 值定理求最小值， 解： ba 33 和都是正数， ba 33≥632332 baba 当 ba 33时等号成立，由2ba及 ba 33得1ba即当1ba时， ba 33的 最小值是 6． 变式：若 44 loglog2xy，求 11 xy 的最小值 .并求 x,y 的值 技巧六：整体代换 多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错 2：已知0,0xy，且 19 1 xy ，求xy的最小值 错 解 ． ． ： 0,0xy， 且 19 1 xy ， 199 2212xyxyxy xyxy 故 min 12xy。

错因：解法中两次连用均值不等式，在2xyxy等号成立条件是xy，在 199 2 xyxy 等号成立条件是 19 xy 即9yx,取等号的条件的不一致，产生错误因 此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而 且是检验转换是否有误的一种方法 正解： 19 0,0,1xy xy ， 199 1061016 yx xyxy xyxy 当且仅当 9yx xy 时，上式等号成立，又 19 1 xy ， 可得4,12xy时， min 16xy 变式： （1）若Ryx,且12yx，求 yx 11 的最小值 (2) 已知Ryxba,,,且 1 y b x a ，求yx的最小值 技巧七 已知x，y为正实数，且x 2 ＋y 2 2 ＝1，求x1＋y 2 的最大值 . 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤a 2 ＋b 2 2 同时还应化简1＋y 2 中y 2 前面的系数为 1 2 ，x1＋y 2 ＝x2· 1＋y 2 2 ＝2 x· 1 2 ＋ y 2 2 下面将x， 1 2 ＋y 2 2 分别看成两个因式： x· 1 2 ＋y 2 2 ≤ x 2 ＋( 1 2 ＋y 2 2 ) 2 2 ＝ x 2 ＋ y 2 2 ＋ 1 2 2 ＝3 4 即x1＋y 2 ＝ 2 ·x 1 2 ＋ y 2 2 ≤ 3 4 2 技巧八： 已知a，b为正实数， 2b＋ab＋a＝30，求函数y＝ 1 ab 的最小值 . 分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化 为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可 行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又 有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不 等式的途径进行。

法一：a＝ 30－2b b＋1 ，ab＝30－2b b＋1 ·b＝－2 b 2＋30b b＋1 由a＞0 得，0＜b＜15 令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝－2t 2＋34t －31 t ＝－2（t＋16 t ）＋34∵t＋16 t ≥ 2t·16 t ＝8 ∴ab≤18 ∴y≥ 1 18 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6 时，等号成立 法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥22 ab∴ 30 －ab≥ 22 ab 令u＝ab则u 2＋2 2 u－30≤0， －52 ≤u≤32 ∴ab≤32 ，ab≤18，∴y≥ 1 18 点评：①本题考查不等式ab ba 2 ）（ Rba,的应用、不等式的解法及运算能力； ②如何由已知不等式230abab）（Rba,出发求得ab的范围，关键是寻找到 abba与之间的关系，由此想到不等式ab ba 2 ）（ Rba,，这样将已知条件转 换为含ab的不等式，进而解得ab的范围 . 变式：1. 已知a0，b0，ab－(a＋b) ＝1，求a＋b的最小值 2. 若直角三角形周长为1，求它的面积最大值 技巧九、取平方 5、已知x，y为正实数， 3x＋2y＝10，求函数 W ＝3x＋2y的最值 . 解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系， a＋b 2 ≤a 2 ＋b 2 2 ，本题 很简单 3x＋2y≤2 （3x） 2＋（ 2y） 2 ＝2 3x＋2y＝25 解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函 数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

W ＞0， W 2＝3x＋2y＋2 3x·2y＝10＋23x·2y≤10＋(3x ) 2·( 2y ) 2 ＝10＋(3x＋2y)＝20 ∴ W≤20 ＝25 变式: 求函数 15 2152 () 22 yxxx 的最大值 解析：注意到 21x与52x 的和为定值 22 (2152 )42(21)(52 )4(21)(52 )8yxxxxxx 又 0y，所以022y 当且仅当 21x=52x ，即 3 2 x时取等号故 max 22y 评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了 条件 总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时 还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式 应用二：利用均值不等式证明不等式 1．已知 cba,, 为两两不相等的实数，求证：cabcabcba 222 1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证： (1 －a)(1 －b)(1 －c) ≥8abc 例 6：已知 a、b、cR，且1abc求证： 111 1118 abc 分析：不等式右边数字 8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个 “2”连乘，又 112 1 abcbc aaaa ，可由此变形入手。

解： a、 b、 cR， 1abc 112 1 abcbc aaaa 同理 12 1 ac bb ， 12 1 ab cc 上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 111222 1118 bcacab abcabc 当且仅当 1 3 abc时取等号 应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知0,0xy且 19 1 xy ，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围 解：令,0,0,xyk xy 19 1 xy ， 99 1. xyxy kxky 109 1 yx kkxky 103 12 kk 16k，,16m 应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例 ： 若) 2 l g (),lg(lg 2 1 ,lglg,1 ba RbaQbaPba， 则RQP,,的 大 小 关 系 是 . 分析：∵1ba∴0lg,0lgba 2 1 Q（pbabalglg)lglg Qabab ba Rlg 2 1 lg) 2 lg(∴RQP 。