活用外角妙解题.docx

          活用外角妙解题          Error! Cannot read or display file.          关键词：三角形外角；角的大小；角的度数三角形的外角是三角形的一边与另一边的延长线组成的角它是平面几何的基本概念之一，而三角形外角性质在解决实际问题中有着广泛的应用，灵活应用它有助于提高我们的解题能力，恰当地用好外角，往往可以简化解题过程，起到事半功倍的效果下面笔者结合例题予以分类剖析一、比较角的大小例1如图1，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E试说明：∠BAC＞∠B.分析：要证∠BAC＞∠B由于∠BAC、∠B在同一三角形中，没有定理可用，必须找中间角转换解：∵∠BAC是△ACE的外角∴∠BAC＞∠1同理在△BCE中，∠2＞∠B∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线∴∠1=∠2∴∠BAC＞∠B注：涉及角的不等关系的问题常利用“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”例2如图2，已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，CE垂直AD,交ADE，求证：∠ACE＞∠B.证明：延长CE交AB于F，∵AD是∠BAC的平分线。

∴∠1=∠2又∵CE⊥AD∴∠AEC=∠AEF=90°在△AEF中，∠AFC=180°—（∠1＋∠AEF）在△AEC中，∠ACE=180°—（∠2＋∠AEC）∴∠ACE=∠AFC∵∠AFC是△BCF的一个外角∴∠AFC＞∠B从而∠ACE＞∠B.说明：利用已知条件，构造∠AFC作为桥梁一方面它等于∠ACE；另一方面，它又是△BFC的一个外角，它应大于不相邻的任一内角，从而解决问题二、计算角的度数例3如图3，在七星形ABCDEFG中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数分析：∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F、∠G七个角不在一个三角形中，需要利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”转化到一个三角形中解：由三角形的外角性质，得∠1=∠C+∠F∠2=∠B+∠E∠4=∠D+∠G∠3=∠4+∠A=∠D+∠G+∠A从而∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠1+∠2+∠3=180°注：本题中，所求的7个角很分散直接求出它们的和很困难因此，我们利用三角形的外角性质，把它们集中到一个三角形中，从而解决问题例4如图4，已知AB∥CD，若∠ABE=120°，∠DCE=35°∠BEC等于多少度？解：延长BE交CD于F，∵AB∥CD∴∠BFC=180°—∠ABE=60°∵∠BEC是△ECF的外角∴∠BEC=∠DCE+∠BFC=95°注：通过作图中的辅助线，把复杂的图形化归为基本图形，巧妙地把∠BEC转化为△ECF的外角，从而利用平行线性质及外角性质来解决问题。

三、证明角的关系例5（1）如图5，把△ABC沿着DE折叠，使顶点C落在四边形ABED的内部，求证：∠1+∠2=2∠C2）如图6，把△ABC沿着DE折叠，使顶点C落在四边形ABED的外部，其它条件不变，判断∠1，∠2，∠C的关系，并证明你的结论分析：可用三角形的外角性质解题，所以本题（1）要构造三角形的外角证明：（1）连接CC/，∵∠1是△C/CD的外角∴∠1=∠DCC/+∠DC/C同理∠2=∠ECC/+∠EC/C∴∠1+∠2=∠DCC/+∠DC/C+∠ECC/+∠EC/C=∠DCE+∠DC/E∵∠DCE=∠DC/E∴∠1+∠2=2∠DCE（2）∠1—∠2=2∠C理由：由三角形外角性质可知：∠1=∠C+∠3；∠3=∠2+∠C/∴∠1=∠C+∠2+∠C/∵∠C=∠C/∴∠1=2∠C+∠2即∠1—∠2=2∠C注：在三角形中求角的关系时常用到三角形外角性质若没有直接条件，就要添加辅助线构造出三角形的外角四、生产、生活中的应用例6（1）如图7，∠1、∠2为△ABC的两个外角，∠B=40°试求∠1＋∠2的值，利用上述结论，解决下面的问题2）如图8，在一条小河的一边修筑了两条路设计要求：两条公路成30°的角，你如何检验这两条公路是否符合要求？分析：由外角性质可知∠1、∠2、∠B之间存在一种特殊关系：∠1＋∠2==∠B+180°。

因此从图8中通过测得两个角的度数，就可以判定是否符合要求解：（1）∵∠1、∠2是△ABC的外角∴∠1=∠B+∠BCA∠2=∠B+∠BAC∴∠1＋∠2=∠B+∠BCA+∠B+∠BAC=∠B+（∠BCA+∠B+∠BAC）=∠B+180°=220°（2）由（1）可知，若设计符合要求，则∠BAC+∠ACD=180°+30°=210°因此只须测量两角的度数，即可判断注：这是利用外角解决生活中的实际问题，外角在实际生活中应用很广泛，它与其他知识结合，能解决许多生活中复杂的难题三角形外角的结论体现了角之间相等与不等的关系，它是进行与角有关的计算或证明的重要工具，在解题过程中，要善于从多个角度观察图形，在多个三角形中运用三角形外角的性质，并不断地总结方法和技巧，提高运用知识的能力参考文献：[1]马忠林.数学教育评价[M].南宁：广西教育出版社，1998.[2]马忠林.数学学习论[M].南宁：广西教育出版社，1996.作者单位：福建省莆田第六中学邮政编码：351111WittilySolvingProblemsbyFlexiblyUtilizingExternalAnglesLINTianguoAbstract:Thecharacteristicofexternalanglesintrianglesiswidelyappliedinsolvingmathematicsproblems.Someproblemscouldbesimplifiedintheirsolutionsifexternalanglesareappliedproperly.Keywords:externalangleoftriangle;bigorsmallofexternalangle;degreeofexternalangle  -全文完-。