阶导数的点数值微分公式.doc

1二阶导数的五点数值微分公式下面给出问题的条件：设f(x)为定义在区间la,b 1上的函数，给 定f (x)在等距节点a _^X0 x^ X2< X3

)，f(xj, f(x2), f(x3), f(x4)在X2点作 Tay-lor展开并代入(3) 式的右端整理得到" 4 6 8f (x2)-S2」(h) =a/ +a2h +a3h +....(6)式中：S.k 1表示Xi节点处第k次外推公式皿心）WJW g"）90100812h2f9(X2)'3 21600，对于固定的X2,冷（i=1,2,…）是与h无关的常数，所以上面的误差估计式符合Richardson外推算法，将h缩小一倍得到（7）式:" h h 4 h 6 h 8心）^計咱％）吩…⑺由16 （7）-6式整理得到f(X2)-S2.2(h)=a1少印(少印(少…式中：：21 ' 1 16S2.1(2)-S2.1(3)莎2宀八打3,'的 -由此可见，X2点的五点微分公式外推一次后，精度由 Oh4提高到Oh6依次类推，可得到外推算法的递推序列S2.1(h) jWETg 停曲心)12h222"+10(2)-5.附)S2.k 1(h)二 2^+21 ,(k = 1,2,...)吐8)k+2式中k为外推次数，S2.k+（h）的截断误差为O（h2（k+1）），既每外推一次收敛阶增长两阶2.2其他节点五点微分公式的外推算法对于其他节点x（i=0,1,2,3），将f（xj（i =0,1,2,3,4）在人点处作Taylor展开并分别代入（1）（2）（3）（4）（5）式整理得到“ 5 3 £(5) 119 4八6) 43 5 (7) 797 6 £(8)/f (Xo) -Sodh) = —h f (x°)+ — h f (x°)+ — h f (x°)+ h f (x°)+…(9)6 90 36 1008" 1 3 (5) 19 4 (6) 1 5 (7) 23 6 (8)f (xJ-SMh) hf()(X1)+ h f()(xj+寸 h f()(xj+ h f()(X1)+...(10)12 360 36 20161 3(xAS^h^/hf(5)(X3)」4 r(6) 、 1」5 _(7).360hf (x3)+36hf (x3)-19 ,4 r ( 6)斗 6f(8)2016区片…⑴)" 5 3 £(5) 119-4 £( 6) 43 5 £( 7) 797 6 £(8)f (x4) —S41(h) = —h f (x4)———h f (x4)+一h f (x4)— h f (x4)+…(12)6 90 36 10083Xi(i = 0,1,2,3, 4)0h hXi(i =0,1,3,4)由上式可知，节点x/i =0,123,4)的5点数值微分公式精度均为 Oh3。

分别将(9)至(12)式h缩小一倍乘以8减去(9)至(12) 式即得到Xi(i =0,1,3,4)节点外推公式的递推算法1S01 =—2 &5f(x0)—104 f(xj+114f (x2)—56f(x3)+11f (x4)】12h1S11 =— H1f (x)-20f(X1)+6f(X2)+4f(X3)-f(X4)]』 12h >I 1』S3.1 f(X0)+4f(xJ+6f(X2)-20f (X3)+11f(X4)】“ 12h 'S41 11f (x0)—56f(xJ +114f (x2) —104 f(x3)+35f (x4)】. 12h ,KHZ?) -氐(h)S2.k 卅(h) = ~k+2" ,(k =1,2,..J. 2 -1(13)经过一次外推，点X1,X2,X3,X4的数值微分公式精度由0(h)3提高 到0(h)4，k次外推后精度均提高到 Ok"k)，微分公式本身精度及外推算法收敛阶的提高均不如中点节点 X2。