第6章-窄带随机过程要点课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,,,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,上海大学通信学院,第六章 窄带随机过程,一、窄带随机过程的定义,很多无线电系统的通频带 是比较窄的，它们远小于,其中心频率 ，这种系统只允许输入信号靠近 附近的频率分量通过，故称为,窄带系统,其满足：,,,,,,,,一般为高频载波同理，可定义窄带随机过程，即：,若一个随机过程的功率谱密度，只分布在高频载波,ω,0,,附近的一个较窄的频率范围∆,ω,内，且满足,ω,0,>>∆,ω,时，则称该过程为,窄带随机过程,记为：,Z( t ),第六章 窄带随机过程一、窄带随机过程的定义,1,,例：图6.1为以窄带随机过程的功率谱密度函数,,,问题,: 对应于功率谱密度,G,Z,(,ω,)的窄带随机过程,Z,(t)的表达,式为何？即 例：图6.1为以窄带随机过程的功率谱密度函数问题: 对应于,2,1. 由 可知:,,若,G,z,(ω)占的频带很窄，则│,Z,T,(,ω,)│也一定占很窄的,频带。

2. 由频移特性(《信号与线性系统》上册P166-168)可知：,,G,z,(ω)的谱特征实际上是一个具有幅度慢变化(∵∆ω窄),的随机过程谱特征,经移频变换的结果,即时域中的一个,慢变化信号对一高频(,ω,0,)信号的调幅变换因此，任一窄带随机过程,Z,(t)可用下式表示：,表达式1：,,引入,Ф( t ),是为了不失一般性的考虑式中,B( t ),与,Ф( t ),分别称为窄带随机过程Z(t)的包络函数 与相位函数，且,B( t ),和,Ф( t ),都是随时间,t,慢变化的随机过程Z( t ),的一个实现（样本函数）如图6.2所示1. 由,3,表达式 2：,,,其中：,,,由于 与,正交，,故称,X( t ),为,Z( t ),的同相分量,，,Y( t ),为,Z( t ),的正交分量,引入表达式 2 的目的是将,Z( t ),分解成两个相互正交的分量，以便于分别分析表达式 2： 其中：　 由于 与,4,表达式 1 和表达式 2 两者间的几何关系：,表达式1：,表达式2：,,,,,表达式 1 和表达式 2 两者间的几何关系：,5,噪声通过窄带线性系统形成窄带随机过程的物理现象,,输出信号的振荡频率等于窄带系统的谐振频率,ω,0,；,输出信号的振幅取决于输入脉冲信号的面积。

由于输,入脉冲信号的面积是随机的，故输出的振幅也是随机的；,系统是有耗的，故输出信号是衰减振荡的窄带系统的总体输出就是许多个不同时刻输出衰减振,荡随机信号的和，,即可表示为,,其中 噪声通过窄带线性系统形成窄带随机过程的物理现象,6,表达式1：,,表达式2：,,,,问题的提出：,,,若已知,Z( t ),的功率谱密度 或统计特性,（讨论平稳窄带过程），则其,B( t ),与,Ф( t ),或,X( t ),和,Y( t ),的统计特性如何确定呢？,,,表达式1：,7,二、解析信号与希尔伯特变换*,,1． 解析信号的引入,,,时域实信号S(t),,,满足共轭对称性，即，,,由此可知：,时域实信号正、负频域的频谱可互求二、解析信号与希尔伯特变换*  1． 解析信号的引入时,8,,从有效利用信号的角度出发，实信号负频域部分是冗余,的，所以只要保留正频域的频谱，记为 ，即可若只取正频域频谱 ，则 ，即 不满,足共轭对称性，且 时域复信号。

复信号=实部+虚部， 传送二路信号不经济信号传输： 实信号；,信号处理： 复信号问题：如何由给定的时域实信号构造对应的时域复信号?,,,,,,,,从有效利用信号的角度出发，实信号负频域部分是,9,2．解析信号的构造,,,对给定的时域实信号s(t)，设构造的时域复信号为,,其中， 为一由s(t)构造的信号，其构造方法可为，,,即，,,,,,2．解析信号的构造 对给定的时域实信号s(t)，设构造的,10,,H(f)的设计要求：,1．要满足使得Z(f)只有正频域频谱；,2．要使z(t)信号与s(t)信号的总能量保持不变由此可得，,,故此，,H,[,s(t),]，,称为,Hilbert变换H(f)的设计要求：故此， H [s(t)]，称为Hi,11,,,H(f)或h(t)称为Hilbert变换器它不改变信号的幅频特性，,只改变信号的相频特性由此方法构造的复信号称为实信号s(t)的,解析信号,写为,H,,H(f)或h(t)称为Hilbert变换器它不改变信号的,12,3．Hilbert变换的性质,,性质1.,,H,[ ]= 性质2,若 ，则,,H,[ ],,性质3,和x(t)的能量及平均功率相等，即,,,,,,,,,。

3．Hilbert变换的性质 性质1. H [,13,性质4.,平稳随机过程X(t)和其对应的Hilbert变换,的自相关函数满足：,,，,,其中，,性质,5.,,平稳随机过程,X(t),和其对应的,Hilbert,变换,的互相关函数满足：,,,，,,,,性质4. 平稳随机过程X(t)和其对应的Hilbert变,14,,且,为奇函数即,由此可知，X(t)与,在同一时刻正交性质6.,,设具有有限带宽,的信号,的傅氏变换,，假定,， 则有,H,[ ],H,[ ],,,且 为奇函数即由此可知，X(t)与在同一时刻正交 性,15,三、窄带随机过程的性质,问题：若已知Z(t)的功率谱密度 或统计特性,（讨论平稳窄带过程），则其 和 或 和,的统计特性如何确定呢？,,,,,,若Z(t)是任意的窄带、宽平稳、实随机过程，零均,且功率谱密度满足：,,,,,三、窄带随机过程的性质问题：若已知Z(t)的功率谱密度,16,则X(t)和Y(t)具有下列性质：,,性质1．,,X(t)和Y(t)各自宽平稳且联合宽平稳。

性质,2,．,,性质3．,,性质4．,,,性质5．,,性质6．,,,性质7．,,,,则X(t)和Y(t)具有下列性质： 性质1． X(t)和Y,17,性质8．,,性质9．,,性质10．,,性质11．,,性质12．,,其中，,L,p,[,·,]为求等效低通运算即，令,ω,0,=0,,,,性质8． 性质9． 性质10． 性质11． 性质12．,18,窄带随机过程性质的证明，p.165~168窄带随机过程的性质的证明与讨论：,,1. 均值,∵,,∴ 由,的条件，可知：,2.相关函数,,,,窄带随机过程性质的证明，p.165~168∵　 ∴,19,由Z(t)的平稳性：,可知，Z(t)的自相关函数应该与时间 t 无关，而仅与 有关 即 t 可为任何值，而不影响 故，,,( 1 ) 令 t=0，可得：,,（2） 令,t=,π,/2,ω,0,，可得：,,结论一: 若Z(t)是宽平稳的, 则X(t)与Y(t)也是宽平稳的由Z(t)的平稳性： 可知，Z(t)的自相关函数应该,20,,、 以及 、 的性质：,,性质1.,,窄带随机过程的同相和正交分量的自相关函数相等。

由上述关系式（2）,-,（1），可得,,性质2.,,同相和正交分量的互相关函数为奇函数由式（3）同理可得：,由互相关函数性质：,，可得：,,,,、 以及,21,性质3.,,同一时刻的X(t)与Y(t)互不相关和,为奇函数,,,性质3.,,零均窄带平稳随机过程Z(t)、X(t)、Y(t)的方差相同由（1）和(2)式, 令,, 可得:,,若窄带平稳随机过程的均值为零，则可得：,,,性质3. 同一时刻的X(t)与Y(t)互不相关 和为奇函数,22,四. 窄带高斯随机过程Z(t),1. Z(t)的同相分量X(t)和正交分量Y(t)的概率分布,由,，可得：,,由,Z(t),为高斯的可知：,X(t,1,),和,Y(t,2,),也是高斯随机变量又因为高斯过程若是宽平稳的，则一定是严平稳的，而,严平稳随机过程的概率密度函数与时间起点无关，即有：,,,四. 窄带高斯随机过程Z(t)1. Z(t)的同相分量X(,23,,， t 的任意性 t 的任意性故，,其中， 可替换为 或 t 的任意性 t 的任意性故，其中，,24,结论二、零均窄带平稳高斯随机过程Z(t)，其同相分量X(t),和正交分量Y(t)同样是平稳高斯随机过程，且具有一般窄带,平稳过程的性质。

同时由 可知：同时刻的X(t)与Y(t)互不相关， 统计独立2．Z(t)的包络B,(t),和相位,Ф(t),的概率分布,若,Z(t),为零均窄带平稳高斯随机过程，则,结论二、零均窄带平稳高斯随机过程Z(t)，其同相分量X(t),25,设B,(t),和,Ф(t),的二维概率密度函数为：,,其中：,则，,设B(t)和Ф(t)的二维概率密度函数为： 其中：则,26,由边缘分布可得,,(B,(t),的包络)，相位,Ф(t),在[0，2,π,]上取值由边缘分布可得 (B(t)的包络)，相位Ф(t)在[0，2,27,结论三、零均窄带平稳高斯随机过程：,其包络B,(t),服从瑞利分布，相位,Ф(t),服从均匀分布且B,(t),与,Ф(t),在同一时刻t是统计独立的有窄带过程，则必存在非窄带过程因此，相对于窄,带过程我们可以给非窄带过程下一个粗略的定义，即：,功率谱分布的频率范围可与其所在的中心频率比拟的（或,不满足∆f<

设包络的平方为：,，,,已知：,解：,,,例：求窄带高斯随机过程包络平方的概率分布 已知：解,29,五、余弦波加窄带高斯过程,通信系统接收机前端模型,,,,,五、余弦波加窄带高斯过程通信系统接收机前端模型,30,其中：,θ,,是[0，2,π,]上均匀分布的随机变量S(t)为随相余弦信号,；,由此可见，研究余弦信号加窄带高斯过程的重要性Z(t)为零均窄带高斯过程，其,其,中，,,,其中：θ 是[0，2π]上均匀分布的随机变量S(t)为随相,31,设合成信号：,,其中： 为确知量，,θ,,是[0，2,π,]上均匀分布的随机变量令：,则（4）式可改写为：,其中：,设合成信号：其中： 为确知量， θ 是[,32,B(t)为R(t)的包络函数，Ф(t)为R(t)的相位函数则B(t)与,Ф(t)在同一时刻t的包络和相位分别为,,问题：余弦信号加窄带高斯过程之和R(t)的包络函数B(t),和相位函数Ф(t)的统计特征如何？,1. 包络函数B(t)的统计特征,若,θ,给定（即,θ,为一确定值），则,,,B(t)为R(t)的包络函数，Ф(t)为R(t)的相位函数。

33,同理，,,,在给定,θ,的,条件下，X(t)和Y(t)在任意时刻t，随机变量,X,t,和Y,t,的联合概率密度函数为：,利用（5）式可得,由此可求出,的表达式如下：,,,同理， 在给定θ的条件下，X(t)和Y(t)在任意时刻t，,34,,,,,,,35,,包络的条件概率：,上式与,θ,无关，故可得：,,,包络的条件概率：上式与θ无关，故可得：,36,上式称为：,广义瑞利分布或莱斯密度函数,若a=0，则退化为瑞利分布,其中，,是,零阶修正贝塞尔函数,其级数形式为,上式称为：广义瑞利分布或莱斯密度函数其中，是零阶修正贝塞尔,37,,当x<<1时，,有 因此当信噪比（信号,,平均功率 与噪声平均功率 之比）很小，即,,时，则 ，故,包络的概率密度退化为瑞利分布b),,当x>>1时，,有,因此当信噪比很大时，包络的概率密度为,其将,趋于高斯分布当x<<1时，有,38,2. 相位函数的统计特征,,代入 ，,,并求积分可得：,,,，,故，,相位分布积分较复杂。

2. 相位函数的统计特征代入,39,小结：,,Z(t)为零均窄带高斯过程，其,1. 由,可知，X(t)和Y(t)分别与X,N,(t)和Y,N,(t)呈线性关系，而且,,二者分别是均值为 和 窄带高斯过程；,,,小结：Z(t)为零均窄带高斯过程，其1. 由可知，X(,40,2．由 可知，B(t)和Ф(t)与X(t)和,,Y(t)为非线性关系，令 ，则：,,,,当 时，B(t)为瑞利分布；,,当 和 可比较时，B(t)为广义瑞利分布；,,当r较大时，B(t)趋于正态分布；,,,,相位Ф(t)分布较复杂当r从0逐渐变大时， 从均匀,分布逐渐趋向于正态分布2．由,41,例：,余弦信号加窄带高斯随机包络平方的概率分布,,设包络的平方为：,,已知：,求,任意时刻t的包络平方为：,，,解：,,,例：余弦信号加窄带高斯随机包络平方的概率分布 已知：求任意,42,,,第6章-窄带随机过程要点课件,43,第六章 内容的基本要求：,基本要求：,掌握解析信号与希尔伯特变换；窄带随机过程的描述与性质，窄带高斯过程的包络和相位分布；余弦加窄带高斯过程的包络和相位分布。

重点及难点：,希尔伯特变换及其性质，窄带随机过程的描述与性质，余弦加窄带高斯过程的包络和相位分布作业：6.1，6.3，6.4，6.5，6.10，6.12第六章 内容的基本要求：基本要求：,44,。