高中数学解题基本方法——待定系数法.doc

三、待定系数法 要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系 数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式 f(x)g(x)的充 要条件是：对于一个任意的 a 值，都有 f(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应 相等 待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程使用待定系数法，就是把 具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断 一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表 达式，如果具有，就可以用待定系数法求解例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函 数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都 可以用待定系数法求解 使用待定系数法，它解题的基本步骤是： 第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式； 第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决 如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析： ①利用对应系数相等列方程； ②由恒等的概念用数值代入法列方程； ③利用定义本身的属性列方程； ④利用几何条件列方程。

比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式， 其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解 所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所 求圆锥曲线的方程 ⅠⅠ、再现性题组：、再现性题组：1. 设 f(x)＝＋m，f(x)的反函数 f(x)＝nx－5，那么 m、n 的值依次为_____x 21A. , －2 B. － ， 2 C. , 2 D. － ，－25 25 25 25 22. 二次不等式 ax ＋bx＋2>0 的解集是(－,)，则 a＋b 的值是_____21 21 3 A. 10 B. －10 C. 14 D. －143. 在(1－x )（1＋x）的展开式中，x 的系数是_____3105A. －297 B.－252 C. 297 D. 2074. 函数 y＝a－bcos3x (b0，7－x>0，x>0设 V＝(15a－ax)(7b－bx)x (a>0,b>0） 4 ab要使用均值不等式，则 abaaxbbxx10157解得：a＝， b＝ ， x＝3 。

1 43 4从而 V＝(－)(－x)x≤() ＝×27＝57664 315 4x 421 43 464 315 421 4 3 364 3所以当 x＝3 时，矩形盒子的容积最大，最大容积是 576cm 3【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用“待定系数法”求本题解答中也可以令 V＝(15a－ax)(7－x)bx 或 (15－x)4 ab4 ab (7a－ax)bx，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数， 本题也体现了“凑配法”和“函数思想”ⅢⅢ、巩固性题组：、巩固性题组：1. 函数 y＝log x 的 x∈[2,+∞)上恒有|y|>1，则 a 的取值范围是_____aA. 2>a>且 a≠1 B. 02 或 0

π 8A. B. － C. 1 D. －1224. 满足 C ＋1·C ＋2·C ＋…＋n·C <500 的最大正整数是_____n0 n1 n2 nnA. 4 B. 5 C. 6 D. 75. 无穷等比数列{a }的前 n 项和为 S ＝a－ , 则所有项的和等于_____nn1 2nA. － B. 1 C. D.与 a 有关1 21 26. (1＋kx) ＝b ＋b x＋b x ＋…＋b x ，若 b ＋b ＋b ＋…＋b ＝－1，则9 0122 99 0129k＝______ 7. 经过两直线 11x－3y－9＝0 与 12x＋y－19＝0 的交点，且过点(3,-2)的直线方程为 _____________8. 正三棱锥底面边长为 2，侧棱和底面所成角为 60°，过底面一边作截面，使其与底 面成 30°角，则截面面积为______________ 9. 设 y＝f(x)是一次函数，已知 f(8)＝15,且 f(2)、f(5)、(f14)成等比数列，求 f(1) ＋f(2)＋…＋f(m)的值。

10. 设抛物线经过两点(-1,6)和(-1,-2)，对称轴与 x 轴平行，开口向右，直线y＝2x＋7 和抛物线截得的线段长是 4, 求抛物线的方程。