梅氏定理,塞瓦定理.doc

梅氏定理梅氏定理梅梅涅涅劳劳斯斯( (M Me en ne el la au us s) )定定理理及及其其逆逆定定理理梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的他 指出：如果一条直线与 △ABC 的三边 AB、BC、CA 或其延长线交于 F、D、E 点，那么 AF/FB×BD/DC×CE/EA=1 它的逆定理也成立：若有三点 F、D、E 分别在的边 AB、BC、CA 或其延 长线上，且满足 AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，则 F、D、E 三点共线利用这个 逆定理，可以判断三点共线 梅梅涅涅劳劳斯斯( (M Me en ne el la au us s) )定定理理证证明明证明一： 过点 A 作 AG∥BC 交 DF 的延长线于 G, 则 AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG 三式相乘得： (AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1 证明二： 过点 C 作 CP∥DF 交 AB 于 P，则 BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF 所以有 AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1 它的逆定理也成立：若有三点 F、D、E 分别在△ABC 的边 AB、BC、CA 或其延长线上，且满足 (AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则 F、D、E 三点共 线。

利用这个逆定理，可以判断三点共线 证明三： 过 ABC 三点向三边引垂线 AA'BB'CC'， 所以 AD：DB=AA'：BB'，BE：EC=BB'：CC'，CF：FA=CC'：AA' 所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 证明四： 连接 BF （AD：DB）·（BE：EC）·（CF:FA) =（S△ADF：S△BDF）·（S△BEF：S△CEF）·（S△BCF：S△BAF） =（S△ADF：S△BDF）·（S△BDF：S△CDF）·（S△CDF：S△ADF） =1 塞瓦定理塞瓦定理塞瓦（Giovanni Ceva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家塞 瓦定理载于塞瓦于 1678 年发表的《直线论》一书，也有书中说塞瓦定理是 塞瓦重新发现 具体内容具体内容塞瓦定理 在△ABC 内任取一点 O， 直线 AO、BO、CO 分别交对边于 D、E、F，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 证法简介 （Ⅰ）本题可利用 梅涅劳斯定理 证明： ∵△ADC 被直线 BOE 所截， ∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ① 而由△ABD 被直线 COF 所截，∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1② ②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 （Ⅱ）也可以利用面积关系证明 ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD- S△COD)=S△AOB/S△AOC ③ 同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤ ③×④×⑤得 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点 : 设三边 AB、BC、AC 的垂足分别为 D、E、F， 根据塞瓦定理逆定理，因为 (AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA） /[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1，所 以三条高 CD、AE、BF 交于一点。

可用塞瓦定理证明的其他定理 ; 三角形三条中线交于一点（ 重心）:如图 5 D , E 分别为 BC , AC 中 点 所以 BD=DC AE=EC 所以 BD/DC=1 CE/EA=1 且因为 AF=BF 所以 AF/FB 必等于 1 所以 AF=FB 所以三角形三条中线 交于一点 。