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经济数学经济数学Economic mathematicsEconomic mathematics目目 录录函函函函数数数数 1 1极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续2 2导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分3 3导数的应用导数的应用导数的应用导数的应用4 4积分学及其应用积分学及其应用积分学及其应用积分学及其应用5 5随机变量及其数字特征随机变量及其数字特征随机变量及其数字特征随机变量及其数字特征数学软件数学软件数学软件数学软件MathematicaMathematica应用应用应用应用随机事件与概率随机事件与概率随机事件与概率随机事件与概率线性代数初步线性代数初步线性代数初步线性代数初步8 89 9目目 录录7 76 6第第1 1章章 函数函数 学习目标学习目标• •理解函数的概念，熟练掌握函数定义域和值域的求法，了解分段函理解函数的概念，熟练掌握函数定义域和值域的求法，了解分段函理解函数的概念，熟练掌握函数定义域和值域的求法，了解分段函理解函数的概念，熟练掌握函数定义域和值域的求法，了解分段函数的特点数的特点数的特点数的特点• •掌握函数的基本性质和表示方法。

掌握函数的基本性质和表示方法掌握函数的基本性质和表示方法掌握函数的基本性质和表示方法• •熟练掌握六类基本初等函数的概念、表达式、图形和性质．熟练掌握六类基本初等函数的概念、表达式、图形和性质．熟练掌握六类基本初等函数的概念、表达式、图形和性质．熟练掌握六类基本初等函数的概念、表达式、图形和性质． 了解了解了解了解复合函数、初等函数的概念和性质，掌握复合函数的分解方法复合函数、初等函数的概念和性质，掌握复合函数的分解方法复合函数、初等函数的概念和性质，掌握复合函数的分解方法复合函数、初等函数的概念和性质，掌握复合函数的分解方法• •了解常用经济函数的概念及相关运算，会建立简单的函数关系式了解常用经济函数的概念及相关运算，会建立简单的函数关系式了解常用经济函数的概念及相关运算，会建立简单的函数关系式了解常用经济函数的概念及相关运算，会建立简单的函数关系式1.1 1.1 函数的概念函数的概念1.1.1 1.1.1 函数的概念函数的概念引例引例1 1 自由落体运动设物体下落的时间为自由落体运动设物体下落的时间为 t t，下落距离为，下落距离为 s s，假定开始，假定开始下落的时刻下落的时刻 t t＝＝0 0，那么，那么 s s 与与 t t 之间的依赖关系由之间的依赖关系由给出，其中给出，其中g g为重力加速度．在这个关系中，距离为重力加速度．在这个关系中，距离s s随着时间随着时间t t的变化而的变化而变化．其特点是，当下落的时间变化．其特点是，当下落的时间 t t 取定一个值时，对应的距离取定一个值时，对应的距离 s s 的的值也就确定了．值也就确定了．引例引例2 2 医师用药医师给儿童用药和成年人不一样，用药量可由儿童的体医师用药医师给儿童用药和成年人不一样，用药量可由儿童的体重来确定．要计算重来确定．要计算1 1～～1212岁的儿童的体重可用经验公式岁的儿童的体重可用经验公式 y y＝＝2x2x＋＋7 7，其中，其中 x x 代表年龄（岁），代表年龄（岁），y y 代表体重（公斤），年龄确定了，相应的体重也代表体重（公斤），年龄确定了，相应的体重也就确定了．就确定了．函数的定义函数的定义1.1 1.1 函数的概念函数的概念定义定义1 1 设设x x，，y y是同一变化过程中的两个变量，若当是同一变化过程中的两个变量，若当x x取其变化范围内任取其变化范围内任一值时，按照某种对应规则，总能唯一确定变量一值时，按照某种对应规则，总能唯一确定变量y y的一个值与之对应，则的一个值与之对应，则称称y y是是x x的函数，记作的函数，记作y y＝＝f f（（x x）） x x 叫做自变量，叫做自变量，y y 叫做因变量．叫做因变量．X X 的取值范围叫做的取值范围叫做函数的定义域函数的定义域，与，与x x的值对应的的值对应的y y的值的集合叫做的值的集合叫做函数的值域．函数的值域．当自变量当自变量 x x 取数值取数值 x x0 0 时，因变量时，因变量 y y 按照对应法则按照对应法则 f f 所对应的数值，所对应的数值，称为函数称为函数 y y＝＝f f（（x x）在点）在点 x x0 0 处的函数值，记作处的函数值，记作y y＝＝f f（（x x0 0）。

1.1 1.1 函数的概念函数的概念例例1.11.1 设设 f(x)f(x)＝＝2x2x2 2-3-3，求，求 f f(-1-1），），f f（（x x0 0）例例1.21.2 求函数求函数的定义域的定义域解解解解 要使分式有意义，必须分母要使分式有意义，必须分母x x2 2+2x-3≠0+2x-3≠0，即，即x≠-3x≠-3且且x≠1x≠1，所以这个，所以这个函数的定义域是函数的定义域是(－－∞∞，－，－3 3)∪∪(－－3 3，，1)∪1)∪(1，＋，＋∞∞)求函数定义域时应遵守以下原则：求函数定义域时应遵守以下原则：（（1）代数式中分母不能为零；）代数式中分母不能为零；（（2）偶次根式内表达式非负；）偶次根式内表达式非负；（（3）基本初等函数要满足各自的定义要求；）基本初等函数要满足各自的定义要求；（（4）对于表示实际问题的解析式，还应保证符合实际意义．）对于表示实际问题的解析式，还应保证符合实际意义．1.1 1.1 函数的概念函数的概念1.1.2 1.1.2 函数的表示函数的表示常用的函数表示方法有常用的函数表示方法有表格法、图像法、解析法表格法、图像法、解析法．．(1) (1) 将自变量的值与对应的函数值列成表格以表示函数的方法叫将自变量的值与对应的函数值列成表格以表示函数的方法叫表格表格法法，如三角函数表、对数表及许多的财务报表等．，如三角函数表、对数表及许多的财务报表等．(2) (2) 用图像来表示自变量值与函数值的关系的方法叫用图像来表示自变量值与函数值的关系的方法叫图像法图像法，它的特，它的特点是较直观．点是较直观．(3) (3) 用数学表达式表示自变量和因变量的对应关系的方法叫用数学表达式表示自变量和因变量的对应关系的方法叫解析法解析法，，如如y y＝＝sinXsinX，，y y＝＝2x+12x+1等，它的特点是便于推理与演算．等，它的特点是便于推理与演算．分段函数分段函数引例引例3 3 乘座火车时，铁路部门规定：随身携带物品不超过乘座火车时，铁路部门规定：随身携带物品不超过2020千克免费，千克免费，超过超过2020千克部分，每千克收费千克部分，每千克收费0.20.2元，超过元，超过5050千克部分，再加收千克部分，再加收5050％，％，应如何计算携带物品所交的费用．应如何计算携带物品所交的费用．1.1 1.1 函数的概念函数的概念设物品的重量为设物品的重量为x x，应交费用为，应交费用为y y，则有，则有解解对于分段函数，要注意以下几点：对于分段函数，要注意以下几点：（（1 1）分段函数是由几个公式合起来表示一个函数，而不是几个函数。

分段函数是由几个公式合起来表示一个函数，而不是几个函数2 2）分段函数的定义域是各段定义域的并集分段函数的定义域是各段定义域的并集3 3）在处理问题时，对属于某一段的自变量就应用该段的表达式在处理问题时，对属于某一段的自变量就应用该段的表达式1.1 1.1 函数的概念函数的概念1.1.3 1.1.3 反函数反函数定义定义 如果已知如果已知y y是是x x的函数，的函数，y y＝＝f f（（x x），则由它所确定的以），则由它所确定的以y y为自变量，为自变量，x x为因变量的函数为因变量的函数x x＝＝φφ（（y y）就是）就是y y＝＝f f（（x x）的反函数，而）的反函数，而y y＝＝f f（（x x）称为）称为直接函数．直接函数．函数函数y y＝＝f f（（x x）的定义域和值域分别是其反函数）的定义域和值域分别是其反函数y y＝＝f f－－1 1（（x x）的值域和）的值域和定义域．定义域．函数函数y y＝＝f f（（x x）和它的反函数）和它的反函数y y＝＝f f－－1 1（（x x）的图像关于直线）的图像关于直线y y＝＝x x对称．对称．单调函数存在反函数，且函数与其反函数单调性相同．单调函数存在反函数，且函数与其反函数单调性相同．例例1.31.3 求函数求函数y y＝＝x x2 2，，x∈ x∈ ［［0 0，＋，＋ ∞∞）的反函数．）的反函数．解解 因为函数因为函数y y＝＝ x x2 2 在区间［在区间［0 0，＋，＋∞∞）上单调递增，所以存在反函数）上单调递增，所以存在反函数．由．由y y＝＝ x x2 2 解得解得x x＝＝ √y√y，，y≥0y≥0，于是，于是y y＝＝x x2 2 的反函数为的反函数为y y＝＝ √x√x，，x∈x∈［［0 0，＋，＋ ∞∞）求反函数的步骤是从）求反函数的步骤是从y y＝＝f f（（x x）中解出）中解出x x，得到，得到x x＝＝f f－－1 1（（y y），再将），再将x x和和y y互换即可．互换即可．1.1 1.1 函数的概念函数的概念例例1.41.4 求求y y＝２＝２x x＋１的反函数＋１的反函数解解 由由y y＝２＝２x x＋１得＋１得互换字母互换字母x x，，y y得所求反函数为得所求反函数为1.1.4 1.1.4 函数的性质函数的性质1. 1. 函数的奇偶性函数的奇偶性定义２定义２ 设函数设函数y y＝＝f(x)f(x)的定义域的定义域D D关于原点对称，即关于原点对称，即x∈Dx∈D<=>-x∈D-x∈D若若f(-x)f(-x)＝＝f(x)f(x)，，x∈Dx∈D，则称，则称f f（（x x）为偶函数；）为偶函数；若若f(-x)f(-x)＝＝-f(x)-f(x)，，x∈Dx∈D，则称，则称f f（（x x）为奇函数．）为奇函数．例如：例如：y y＝＝x x２２，，x∈Rx∈R，是偶函数，其图像如，是偶函数，其图像如图图1.11.1所示；所示；y y＝＝x x３３，，x∈Rx∈R，是，是奇函数，其图像如奇函数，其图像如图图1-21-2所示．所示．1.1 1.1 函数的概念函数的概念图图1-11-1图图1-21-2偶函数的图像关于偶函数的图像关于y y轴对称，奇函数的图像关于原点对称．轴对称，奇函数的图像关于原点对称．两个偶函数之和、差、积、商仍是偶函数，两个偶函数之和、差、积、商仍是偶函数， 两个奇函数之和、差仍是两个奇函数之和、差仍是奇函数，奇函数， 两个奇函数之积、商是偶函数，奇函数与偶函数之积、商是奇两个奇函数之积、商是偶函数，奇函数与偶函数之积、商是奇函数．函数．1.1 1.1 函数的概念函数的概念例例1.51.5 判断下列函数的奇偶性．判断下列函数的奇偶性．解解（１）因为（１）因为所以所以所以，所以，所以所以即即即是偶函数。

是偶函数2. 2. 函数的周期性函数的周期性1.1 1.1 函数的概念函数的概念定义定义3 3 给定函数给定函数y y＝＝f f（（x x），），x∈Dx∈D，若存在常数，若存在常数T T使得使得x∈D<=>xx∈D<=>x＋＋T∈DT∈D且且f f（（x x＋＋T T）＝）＝f f（（x x），），x∈Dx∈D，则称，则称f f（（x x）为周期函数，常数）为周期函数，常数T T称为周期．称为周期．满足条件的最小正数满足条件的最小正数T T称为称为f f（（x x）的最小正周期）的最小正周期，通常所说的周期函数，通常所说的周期函数的周期是指它的最小正周期．例的周期是指它的最小正周期．例sinxsinx，，cosxcosx是周期为２是周期为２ππ的函数，的函数，tanxtanx，，cotxcotx是周期为是周期为ππ的函数．以的函数．以T T为周期的函数图像沿为周期的函数图像沿x x轴方向左右平移轴方向左右平移T T的整数倍，图像将重合．的整数倍，图像将重合．3. 3. 函数的单调性函数的单调性定义定义4 4 若对于区间若对于区间I I内任意两点内任意两点x x１，１，x x２，当２，当x x１＜１＜x x２２ 时，有时，有f f（（x x１）１）＜＜f f（（x x２），则称２），则称f f（（x x）在）在I I上单调增加（如图上单调增加（如图1-31-3），区间），区间I I称为单调称为单调递增区间；若递增区间；若f f（（x x１）＞１）＞f f（（x x２），则称２），则称f f（（x x）在）在I I上单调减少（如上单调减少（如图图1-41-4），区间），区间 I I 称为称为单调递减区间．单调递减区间．单调增加与单调减少分别称为递增与递减．单调增加与单调减少分别称为递增与递减． 单调递增区间或单调递减单调递增区间或单调递减区间统称为区间统称为单调区间单调区间。

1.1 1.1 函数的概念函数的概念图图1-31-3图图1-41-4４４. .函数的有界性函数的有界性1.1 1.1 函数的概念函数的概念定义５定义５ 若存在正数若存在正数M M，使得在区间，使得在区间I I上上|f|f（（x x））| ≤ M| ≤ M，则称，则称f f（（x x）在）在I I上有界．否则称为无界．上有界．否则称为无界．例如例如函数函数y y＝＝cosXcosX在区间（－在区间（－ ∞∞，＋，＋ ∞∞）内有）内有|cosX|≤|cosX|≤１，，所以１，，所以函数函数y y＝＝cos Xcos X在（－在（－ ∞∞，＋，＋ ∞∞）内是有界的．）内是有界的．1.2 1.2 初等函数初等函数1.2.1 1.2.1 基本初等函数基本初等函数常函数：常函数：y y＝＝c c（（c c为常数）为常数）幂函数：幂函数：y y＝＝x xαα（（α α 为常数）为常数）指数函数：指数函数：y y＝＝a ax x（（a a＞０，且＞０，且a≠a≠１，１，a a为常数）为常数）对数函数：对数函数：y y＝＝logloga ax x（（a a＞０，且＞０，且a≠a≠１，１，a a为常数）。

为常数）三角函数：三角函数：y y＝＝sinxsinx，，y y＝＝cosxcosx，，y y＝＝tanxtanx，，y y＝＝cotxcotx以上函数的定义域、值域、图像和性质列表，见以上函数的定义域、值域、图像和性质列表，见P5P5表表1.11.11.2.2 1.2.2 复合函数复合函数定义定义 设设y y是是u u的函数的函数y y＝＝f f（（u u），），u u是是x x的函数的函数u u＝＝φφ（（x x），如果），如果u u＝＝φφ（（x x）的值域或其部分包含于）的值域或其部分包含于y y＝＝f f（（u u）定义域中，则）定义域中，则y y通过中间变量通过中间变量u u构成构成x x的函数，称为的函数，称为x x的的复合函数复合函数，记为，记为y y＝＝f f［［φφ（（x x）］）］，其中，其中x x是自变是自变量，量，u u是中间变量．是中间变量．例例1.61.6 设设y y＝＝2 2u u，，u u＝＝sin xsin x，则由这两个函数组成的复合函数为，则由这两个函数组成的复合函数为y y＝＝2 2sin xsin x．．复合函数也可以由两个以上的函数经过复合构成，例如，由函数复合函数也可以由两个以上的函数经过复合构成，例如，由函数y y＝＝sin usin u，，u u＝＝e eυ ，，υ ＝＝tan xtan x复合后可得复合函数复合后可得复合函数y y＝＝sin esin etan xtan x．．例例1.71.7 函数函数 是由哪些基本初等函数复合而成是由哪些基本初等函数复合而成的？的？解设解设 ，则，则 是由函数是由函数 复合而成的复合函复合而成的复合函数。

数1.2.3 1.2.3 初等函数初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的，由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的， 并且并且能用一个式子表示的函数，称为能用一个式子表示的函数，称为初等函数初等函数例如例如，，等都是初等函数．而等都是初等函数．而不满足有限次运算，不满足有限次运算，1.2 1.2 初等函数初等函数不是一个解析式子表示，因此都不是初等函数不是一个解析式子表示，因此都不是初等函数例例1.81.8 设设，试分析它的结构试分析它的结构解解 函数函数可分解为可分解为1.2 1.2 初等函数初等函数1.3 1.3 利息、贴现及常用经济函数利息、贴现及常用经济函数1.3.1 1.3.1 单利、复利与贴现单利、复利与贴现1. 1. 单利计算公式单利计算公式设初始本金为设初始本金为P P元，银行年利率为元，银行年利率为r r．．第一年末的利息为第一年末的利息为P P··r r，本利和为，本利和为第二年利息不计入本金，即本金为第二年利息不计入本金，即本金为P P，第二年末的利息仍为，第二年末的利息仍为P P··r r，，本利和为本利和为依此方法，第依此方法，第n n年末的本利和年末的本利和S Sn n为为(1.1)(1.1)2. 2. 复利计算公式复利计算公式设初始本金为设初始本金为P P元，银行年利率为元，银行年利率为r r．．第一年末的本利和为第一年末的本利和为第二年利息计入本金，第二年末的利息为第二年利息计入本金，第二年末的利息为，本利和为，本利和为依此方法，第依此方法，第n n年末的本利和年末的本利和S Sn n为为（（1.21.2））例例1.91.9 设有初始本金设有初始本金20002000元，银行年储蓄利率为４％．元，银行年储蓄利率为４％．试求：试求： （１）按单利计算，３年末的本利和是多少？（１）按单利计算，３年末的本利和是多少？（２）按复利计算，３年末的本利和是多少？（２）按复利计算，３年末的本利和是多少？解解（１）本金（１）本金P P＝＝20002000元，年利率元，年利率r r＝＝0.040.04，存期３年，由单利计算公式，存期３年，由单利计算公式（（1.11.1）知）知（２）由复利计算公式（（２）由复利计算公式（1.21.2）知）知1.3 1.3 利息、贴现及常用经济函数利息、贴现及常用经济函数1.3 1.3 利息、贴现及常用经济函数利息、贴现及常用经济函数3. 3. 贴现贴现债券或其他票据的持有人，为了在票据到期以前获得资金，债券或其他票据的持有人，为了在票据到期以前获得资金， 从票面金额从票面金额中扣除未到期期间的利息后，得到所余金额的现金，这就是贴现．中扣除未到期期间的利息后，得到所余金额的现金，这就是贴现．假设未来假设未来n n年复利年利率年复利年利率r r不变，不变，n n年后到期价值年后到期价值R R的票据现值为的票据现值为P P，则由复，则由复利计算公式（利计算公式（1.21.2）可得）可得例如例如，复利年利率为５％，５年后到期价值是，复利年利率为５％，５年后到期价值是10001000元的票据的现值为元的票据的现值为1.3.2 1.3.2 需求函数与供给函数需求函数与供给函数1. 1. 需求函数需求函数一种商品的市场需求量与消费群体的人数、收入、习惯及该商品的一种商品的市场需求量与消费群体的人数、收入、习惯及该商品的价格等诸多因素有关，为简化问题的分析，我们只考虑商品价格对需价格等诸多因素有关，为简化问题的分析，我们只考虑商品价格对需求量的影响，求量的影响， 而其他因素暂时保持某种状态不变，需求量犙可以看而其他因素暂时保持某种状态不变，需求量犙可以看成价格犘的一元函数，称为成价格犘的一元函数，称为需求函数需求函数，记作，记作1.3 1.3 利息、贴现及常用经济函数利息、贴现及常用经济函数一般地，价格犘越高，需求量犙要下降；价格犘越低，需求量犙要上一般地，价格犘越高，需求量犙要下降；价格犘越低，需求量犙要上升，所以需求函数为价格犘的单调减少函数．升，所以需求函数为价格犘的单调减少函数．常见需求函数有以下几种类型：常见需求函数有以下几种类型：（１）线性需求函数（１）线性需求函数均为常数；均为常数；（２）二次需求函数（２）二次需求函数均为常数；均为常数；（３）指数需求函数（３）指数需求函数２２. . 供给函数供给函数在市场经济规律作用下，某种商品的市场供给量将依赖于该商品的价在市场经济规律作用下，某种商品的市场供给量将依赖于该商品的价格高低，格高低， 价格上涨将刺激该商品的供给量增多，供给量价格上涨将刺激该商品的供给量增多，供给量S S可以看成是价可以看成是价格格P P的函数，的函数， 称为供给函数，记作称为供给函数，记作1.3 1.3 利息、贴现及常用经济函数利息、贴现及常用经济函数３３. . 市场均衡市场均衡由于需求函数由于需求函数Q Q是单调减少函数，供给函数是单调减少函数，供给函数S S是单调增加函数，若是单调增加函数，若把需求与供给曲线画在同一坐标系（如把需求与供给曲线画在同一坐标系（如图图1-51-5），它们将相交于一点），它们将相交于一点（（P P００，，Q Q００），）， 这里的这里的P P００ 就是供、需平衡的价格，叫做就是供、需平衡的价格，叫做均衡价格均衡价格，，Q Q００ 就是就是均衡数量均衡数量，此时我们称之为，此时我们称之为市场均衡市场均衡．．例例1.101.10 某种商品的供给函数和需求函数分别是某种商品的供给函数和需求函数分别是求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量．求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量．解解 按市场均衡条件按市场均衡条件Q Q＝＝S S，， 即即25P25P－－1010＝＝200200－－5P5P，， 则则P P００ ＝７，＝７， 此时此时Q Q００ ＝＝200200－５－５××７＝７＝165165，即市场均衡价格为，即市场均衡价格为7 7，市场均衡数量为，市场均衡数量为165165．．1.3 1.3 利息、贴现及常用经济函数利息、贴现及常用经济函数1.3.3 1.3.3 成本、收入和利润函数成本、收入和利润函数在生产和产品经营活动中，成本、收入和利润这些经济变量都与在生产和产品经营活动中，成本、收入和利润这些经济变量都与产品的产量或销售量产品的产量或销售量q q密切相关，它们都可以看成密切相关，它们都可以看成q q的函数，分别称的函数，分别称为为总成本函数总成本函数，记作，记作C C＝＝C C（（q q）；收入函数，记作）；收入函数，记作R R＝＝R R（（q q）；利润）；利润函数，记作函数，记作L L＝＝L L（（q q）．）．1. 1. 总成本函数总成本函数总成本总成本C C由固定成本由固定成本C C００ 和可变成本和可变成本C C１１ 两部分组成．固定成本两部分组成．固定成本C C0 0 如厂房、设备、企业管理费等与产量如厂房、设备、企业管理费等与产量q q无关．可变成本无关．可变成本C C１１ 如原材料如原材料费、劳动者工资等随产量狇的变化而变化，即费、劳动者工资等随产量狇的变化而变化，即C C１１ ＝＝C C１１（（q q），这样），这样总成本总成本C C＝＝C C００ ＋＋C C１１（（q q）．）．平均成本，记作平均成本，记作 ，其中，其中C C（（q q）是总成本）是总成本. .1.3 1.3 利息、贴现及常用经济函数利息、贴现及常用经济函数2. 2. 收入函数收入函数收入收入是指销售某种商品所获得的收入，又可分为是指销售某种商品所获得的收入，又可分为总收入总收入和和平均收入平均收入．．设设P P为商品价格，为商品价格，q q为商品的销售量，则有为商品的销售量，则有总收入函数：总收入函数：平均收入函数：平均收入函数：３３. . 利润函数利润函数生产一定数量的产品的总收入与总成本之差就是它的总利润，记作生产一定数量的产品的总收入与总成本之差就是它的总利润，记作其中其中q q为产品数量．为产品数量．它的平均利润，记作它的平均利润，记作1.3 1.3 利息、贴现及常用经济函数利息、贴现及常用经济函数例例1.131.13 已知生产某种商品狇件时的总成本（单位：万元）为已知生产某种商品狇件时的总成本（单位：万元）为 该商品每件售价是９万元，该商品每件售价是９万元，试求：试求：（１）该商品的利润函数；（１）该商品的利润函数；（２）生产（２）生产1010件该商品时的总利润和平均利润；件该商品时的总利润和平均利润；（３）生产（３）生产4040件该商品时的总利润．件该商品时的总利润．例例1.141.14 已知某种商品的成本函数为已知某种商品的成本函数为 ，销，销售单价定为售单价定为1111元／件，试求该商品的盈亏平衡点，并说明随产量元／件，试求该商品的盈亏平衡点，并说明随产量q q变化时变化时的盈亏情况．的盈亏情况．本章小结本章小结 一、本章主要内容及学习要点一、本章主要内容及学习要点1. 1. 函数的概念函数的概念2. 2. 函数的基本性质函数的基本性质3. 3. 反函数和复合函数反函数和复合函数4. 4. 基本初等函数与初等函数基本初等函数与初等函数5. 5. 经济函数经济函数二、重点与难点二、重点与难点1. 1. 重点重点2. 2. 难点难点经济数学经济数学Economic mathematicsEconomic mathematics第第2 2章章 极限与连续极限与连续学习目标学习目标•了解极限的描述性定义，左右极限的定义．了解极限的描述性定义，左右极限的定义．•握极限四则运算法则，熟练使用两个重要极限．握极限四则运算法则，熟练使用两个重要极限．•了解无穷小的定义及性质，了解无穷小与无穷大的关系，会利了解无穷小的定义及性质，了解无穷小与无穷大的关系，会利用其求极限．用其求极限．•理解并会利用无穷小的比较求极限方法．理解并会利用无穷小的比较求极限方法．•了解函数连续的定义，会判断函数在一点的连续性．了解函数连续的定义，会判断函数在一点的连续性．•了解闭区间上连续函数的性质，会求函数的间断点．了解闭区间上连续函数的性质，会求函数的间断点．2.1 2.1 极限极限2.1.1 2.1.1 数列的极限数列的极限1. 1. 极限的概念极限的概念图图2.12.12.1 2.1 极限极限图图2.22.2图图2.32.3定义定义 设有数列｛设有数列｛a an n｝，当｝，当n n无限增大时，无限增大时， a an n无限接近于某个确定的常无限接近于某个确定的常数数 ，那么，那么 就称为数列｛就称为数列｛ a an n｝的极限，记作｝的极限，记作此时，也称数列｛此时，也称数列｛ a an n｝收敛于｝收敛于 ，否则称数列没有极限，或称，否则称数列没有极限，或称数列发散数列发散．．2.1 2.1 极限极限2. 2. 数列极限的性质数列极限的性质性质１性质１ 若数列收敛，则其极限值必唯一．若数列收敛，则其极限值必唯一．性质２性质２ 若数列收敛，则它必有界．若数列收敛，则它必有界．性质３性质３ 单调有界数列必有极限．单调有界数列必有极限．2.1.2 2.1.2 函数的极限函数的极限1. x→ ∞ 1. x→ ∞ 的情形的情形定义定义 如果当如果当x x无限增大时，函数无限增大时，函数∫∫（（x x）无限地接近于某一个确定的）无限地接近于某一个确定的常数常数 ，， 则称则称 为函数为函数∫∫（（x x）当）当x→ ∞ x→ ∞ 时的极限，记作时的极限，记作例例2.12.1 判断当判断当x→ ∞x→ ∞时，时， 的极限情况．的极限情况．解解 如如图图2.42.4为为的图像，可以看出，当的图像，可以看出，当和和x→x→－－ ∞ ∞ 时，时，图像无限接近于零，所以图像无限接近于零，所以即即x→＋＋ ∞2.1 2.1 极限极限图图2.42.4定理定理当当x→ ∞ x→ ∞ 时，函数时，函数∫∫（（x x）的极限存在的充分必要条件是当）的极限存在的充分必要条件是当x→x→＋＋∞ ∞ 时和时和x→x→－－∞ ∞ 时函数时函数∫∫（（x x）的极限都存在而且相等，即）的极限都存在而且相等，即2. x→x2. x→x0 0 的情形的情形定义定义设函数设函数∫(x)∫(x)在在x0 x0 的左右两侧有定义，的左右两侧有定义， 如果当如果当x x无限接近无限接近x0 x0 时，时， 函数值函数值∫(x)∫(x)无限接近于某一确定的常数无限接近于某一确定的常数 ，则称，则称 是函数是函数∫(x)∫(x)当当x→xx→x0 0 时的极限，记作时的极限，记作2.1 2.1 极限极限定义定义 当当x x从从x x0 0左侧（或右侧）无限接近于左侧（或右侧）无限接近于x x0 0 时，函数时，函数∫(x)∫(x)无限地趋无限地趋于某一确定的常数于某一确定的常数 ，则称，则称 时，时，函数函数∫(x)∫(x)的左的左( (右右) )极限为极限为 ，记作，记作例例2.22.2 求当求当x→x→１时，函数１时，函数∫∫（（x x）＝２）＝２x x＋１的极限．＋１的极限．解解 如如图图2.52.5所示，当所示，当x x从１的左右两侧接近于１时，对应的从１的左右两侧接近于１时，对应的函数值从数值３两侧无限接近于３，因此函数值从数值３两侧无限接近于３，因此图图2.52.5图图2.62.62.1 2.1 极限极限例例2.32.3当当x→1x→1时，函数时，函数∫(x)∫(x)的极限情的极限情况况解解 如如图图2.62.6所示，所示，x x无限接近于１时，无限接近于１时，∫(x)∫(x)的函数值从数值的函数值从数值4 4的两侧无的两侧无限接近于限接近于4 4，即，即例例2.42.4 设函数设函数解解 如如图图2.72.7所示，当所示，当x x从０的右侧接近于０时，函数值从０的右侧接近于０时，函数值∫∫（（x x）接近于）接近于数值１，即数值１，即 当当x从０的左侧接近于０时，从０的左侧接近于０时，函数值函数值∫(x)∫(x)接近于数值接近于数值-1-1，，关于函数关于函数∫(x)∫(x)在一点处极限存在有如下定理在一点处极限存在有如下定理: :定理定理2.1 2.1 极限极限图图2.72.7图图2.82.82.1 2.1 极限极限例例2.52.5设函数设函数问当问当x→x→０时，０时，∫(x)∫(x)的极限是否存在？若存在是多少？的极限是否存在？若存在是多少？解解如如图图2.82.8所示，当所示，当x x从０的左侧接近于０时，有从０的左侧接近于０时，有０；当０；当x x从０的右侧接近于０时，有从０的右侧接近于０时，有存在的定理知，函数存在的定理知，函数∫(x)在在x→０时极限存在，０时极限存在，根据极限在一点处根据极限在一点处2.1.3 2.1.3 函数极限的性质函数极限的性质性质１性质１ （唯一性）如果函数（唯一性）如果函数∫(x)∫(x)的极限存在，则极限值唯一的极限存在，则极限值唯一．．性质２性质２ （夹逼定理）设函数（夹逼定理）设函数∫(x)∫(x)，，g(x) g(x) ，，h(x)h(x)在在x x0 0的左右两侧满足条件：的左右两侧满足条件：则则2.1 极限2.1.4 2.1.4 函数极限的四则运算法则函数极限的四则运算法则定理定理 如果如果则则例例2.62.6 求求解解例例2.7 2.7 求求解解2.1 极限例例2.8 2.8 求求解解习题习题2.1 2.1 见课本见课本P21P21。

2.2 2.2 两个重要极限与无穷小、无穷大两个重要极限与无穷小、无穷大2.2.1 2.2.1 两个重要极限两个重要极限1. 1. 重要极限重要极限ⅠⅠ注意，第注意，第Ⅰ Ⅰ 重要极限形式为重要极限形式为形式，为了强调其形式，可形象记为形式，为了强调其形式，可形象记为其中方框其中方框□ □ 代表同一变量代表同一变量例例2.92.9解解2.2 2.2 两个重要极限与无穷小、无穷大两个重要极限与无穷小、无穷大例例2.102.10解解例例2.112.11解解例例2.122.12解解2.2 2.2 两个重要极限与无穷小、无穷大两个重要极限与无穷小、无穷大例例2.132.13解解2 2．． 重要极限重要极限ⅡⅡ重要极限重要极限Ⅱ Ⅱ 的形式是的形式是类型，为了强调其形式，我们也类型，为了强调其形式，我们也可将它表示为可将它表示为其中方框其中方框□ □ 表示同一变量．表示同一变量．2.2 2.2 两个重要极限与无穷小、无穷大两个重要极限与无穷小、无穷大例例2.142.14解解例例2.152.15解解例例2.162.16解解2.2 2.2 两个重要极限与无穷小、无穷大两个重要极限与无穷小、无穷大2.2.2 2.2.2 无穷小量（简称无穷小）无穷小量（简称无穷小）1 1．． 无穷小的定义无穷小的定义定义定义 以零为极限的变量称为无穷小量，简称无穷小，常用希腊以零为极限的变量称为无穷小量，简称无穷小，常用希腊字母字母αα，，ββ，，γ γ 来表示无穷小．关于无穷小一定要注意以下几点：来表示无穷小．关于无穷小一定要注意以下几点：（１）谈无穷小一定离不开自变量的变化趋势．（１）谈无穷小一定离不开自变量的变化趋势．（２）不能把无穷小混同于一个非常小的数，但零是唯一可以作为无（２）不能把无穷小混同于一个非常小的数，但零是唯一可以作为无穷小的常数，因为穷小的常数，因为lim0lim0＝０．＝０．例例2.192.19 自变量狓在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小．自变量狓在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小．（１）因为（１）因为解解，所以，所以x→ ∞ x→ ∞ 时时是无穷小是无穷小2.2 2.2 两个重要极限与无穷小、无穷大两个重要极限与无穷小、无穷大（２）因为（２）因为（３）因为（３）因为（４）因为（４）因为２．２． 无穷小的性质无穷小的性质性质１性质１ 有限个无穷小的代数和是无穷小．有限个无穷小的代数和是无穷小．性质２性质２ 有界函数与无穷小的乘积是无穷小．有界函数与无穷小的乘积是无穷小．例例2.202.20解解因为因为是有界函数，所以是有界函数，所以2.2 2.2 两个重要极限与无穷小、无穷大两个重要极限与无穷小、无穷大推论推论 常数与无穷小的乘积是无穷小．常数与无穷小的乘积是无穷小．性质３性质３ 有限个无穷小的积是无穷小．有限个无穷小的积是无穷小．2.2.3 2.2.3 无穷大量（简称无穷大）无穷大量（简称无穷大）定义定义 在自变量狓的某个变化过程中，在自变量狓的某个变化过程中， 若相应函数值的绝对值若相应函数值的绝对值|∫|∫（（x x））| | 无限增大，则称无限增大，则称∫∫（（x x）为该自变量变化过程中的无穷大量，简称无穷大，）为该自变量变化过程中的无穷大量，简称无穷大，记作ｌｉｍ记作ｌｉｍ∫∫（（x x）＝）＝ ∞∞．．例如，例如，是是x→x→０时的无穷大，可记为０时的无穷大，可记为无穷大要注意以下几点无穷大要注意以下几点（１）谈无穷大不能离开自变量的变化趋势．（１）谈无穷大不能离开自变量的变化趋势．（２）不能将无穷大与非常大的常数混为一谈．（２）不能将无穷大与非常大的常数混为一谈．（３）借用ｌｉｍ（３）借用ｌｉｍ∫∫（（x x）＝）＝ ∞∞，并不表示，并不表示∫∫（（x x）的极限存在，事实）的极限存在，事实上上∫∫（（x x）的极限不存在．）的极限不存在．2.2 2.2 两个重要极限与无穷小、无穷大两个重要极限与无穷小、无穷大2.2.4 2.2.4 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系定理定理 在自变量的同一个变化过程中，在自变量的同一个变化过程中， 无穷大的倒数是无穷小，无穷大的倒数是无穷小， 除常数零外的无穷小的倒数是无穷大．除常数零外的无穷小的倒数是无穷大．例如例如，当，当x→x→０时，２０时，２x x是无穷小，则当是无穷小，则当x→x→０时，０时， 为无穷大为无穷大．．又例如，当又例如，当x→ ∞ x→ ∞ 时，时，x x２２ ＋２是无穷大，则当＋２是无穷大，则当x→ ∞ x→ ∞ 时，时， 是无穷小．是无穷小．2.2.5 2.2.5 无穷小的比较无穷小的比较定义定义 设设α α 和和β β 是同一变化过程中的无穷小，即是同一变化过程中的无穷小，即limα=0limα=0，，limβ=0limβ=0．．2.2 2.2 两个重要极限与无穷小、无穷大两个重要极限与无穷小、无穷大定理定理 设设αα１１、、αα２２、、ββ１１、、ββ２２ 是同一变化过程中的无穷小，且有是同一变化过程中的无穷小，且有αα１１ ～～αα２２，，ββ１１ ～～ββ２２，若，若（或无穷大），则（或无穷大），则例例2.212.21 求下列极限：求下列极限：2.2 2.2 两个重要极限与无穷小、无穷大两个重要极限与无穷小、无穷大解解2.3 2.3 函数的连续性函数的连续性2.3.1 2.3.1 函数连续的定义函数连续的定义定义定义 设设ΔxΔx＝＝x x－－x x００ 是自变量的增量，是自变量的增量，ΔyΔy＝＝∫∫（（x x）－）－∫∫（（x x００）是函数）是函数的增量，函数的增量，函数y y＝＝∫(x∫(x）在）在x x００ 的左右两侧（含的左右两侧（含x x００ 点）有定义，当自变量点）有定义，当自变量的改变量的改变量ΔxΔx趋于零时，相应的函数改变量趋于零时，相应的函数改变量ΔyΔy也趋于零，即也趋于零，即则称则称y y＝＝∫(x∫(x）在点）在点x x００ 处连续．处连续．函数函数∫∫（（x x）在点）在点x x００ 处连续必须满足以下３个条件：处连续必须满足以下３个条件：例例2.222.22 若若∫∫（（x x）＝）＝x x２２，证明，证明y y＝＝∫∫（（x x）在）在x x＝１处连续．＝１处连续．证明证明2.3 2.3 函数的连续性函数的连续性而而，所以函数在在x x＝１处连续．＝１处连续．例例2.232.23 设某城市出租车白天的收费（单位：元）设某城市出租车白天的收费（单位：元）x x与路程（单位：与路程（单位：ｋｍ）狓之间的关系为ｋｍ）狓之间的关系为讨论函数讨论函数∫(x)∫(x)在在x x＝７处是否连续．＝７处是否连续．解解2.3 2.3 函数的连续性函数的连续性故函数故函数∫(x)∫(x)在在x x＝７处连续＝７处连续2.3.2 2.3.2 连续函数的运算连续函数的运算１．１． 连续函数的四则运算连续函数的四则运算设函数设函数∫(x), g(x)∫(x), g(x)在点在点x x００ 处连续，则有以下性质．处连续，则有以下性质．性质１性质１ ∫(x) ∫(x) ±± g(x) g(x)在在x x００ 处连续．处连续．性质２性质２ ∫(x) ∫(x) ·· g(x) g(x)在在x x００ 处连续．处连续．性质３性质３ 若若处连续．处连续．2.3 2.3 函数的连续性函数的连续性２．２． 复合函数的连续性复合函数的连续性定理定理 设函数设函数u u＝＝g g（（x x）在）在x x＝＝x x００ 处连续，处连续，y y＝＝∫(u)∫(u)在在u u００ ＝＝g(xg(x0 0) )处处连续，则复合函数连续，则复合函数y y＝＝ ∫∫［［g g（（x x）］在）］在x x００ 点处连续．点处连续．例例2.24解解例例2.25解解2.3 2.3 函数的连续性函数的连续性例例2.26解解例例2.27解解在求连续的复合函数极限时，极限符号与函数符号可交换次序，即在求连续的复合函数极限时，极限符号与函数符号可交换次序，即2.3 2.3 函数的连续性函数的连续性2.3.3 2.3.3 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质性质１性质１（有界定理）（有界定理） 若若∫(x)∫(x)在［在［a a，，b b］上连续，则］上连续，则∫(x)∫(x)在［在［a a，，b b］］上有界．上有界．性质２性质２（最值定理）（最值定理） 若若∫(x)∫(x)在［在［a a，，b b］上连续，则］上连续，则∫(x)∫(x)在［在［a a，，b b］］上必能取得最大值和最小值．上必能取得最大值和最小值．性质３性质３（介值定理）（介值定理） 若若∫(x)∫(x)在［在［a a，，b b］上连续，且最大值和最小值］上连续，且最大值和最小值分别为分别为M M和和m m，则对于介于，则对于介于m m和和M M之间的任意实数之间的任意实数C C（（m m＜＜C C＜＜ M M），），必定存在点必定存在点ξ ∈ ξ ∈ （（a a，，b b），使得），使得∫∫（（ξξ）＝）＝C C．．2.3.4 2.3.4 函数的间断点函数的间断点定义定义 如果函数如果函数∫(x)∫(x)在在x x0 0处不连续，则称点处不连续，则称点x x0 0为为∫(x)∫(x)的一个间断点．的一个间断点．根据连续的定义，有下列三种情况之一的点根据连续的定义，有下列三种情况之一的点x x００ 即为函数即为函数∫(x)∫(x)的间断点：的间断点：（１）在点（１）在点x x0 0处，处， ∫(x)∫(x)无定义；无定义；（２）在点（２）在点x x0 0处，处， ∫(x)∫(x)的极限不存在；的极限不存在；（３）在点（３）在点x x0 0处有定义，且有极限，但处有定义，且有极限，但2.3 2.3 函数的连续性函数的连续性例例2.282.28解解 因为因为左、右极限存在但不相等．左、右极限存在但不相等．所以所以 x x＝０为＝０为∫(x)∫(x)的跳跃间断点．的跳跃间断点．例例2.292.29的间断点．的间断点．解解 ∫(x)∫(x)在在x x＝１处无定义，所以＝１处无定义，所以x x＝１是＝１是∫(x)∫(x)的间断点．的间断点．而而所以所以 x x＝１是＝１是∫(x)∫(x)的可去间断点．的可去间断点．2.3 2.3 函数的连续性函数的连续性例２．３０例２．３０ 讨论讨论处间断点的类别．处间断点的类别．解解 因为因为例２．３１例２．３１解解进一步可知，当进一步可知，当x→x→０时，０时，在－１和１之间振荡，在－１和１之间振荡，所以所以x x＝０是＝０是的振荡间断点．的振荡间断点．本章小结本章小结一、本章主要内容及学习要点一、本章主要内容及学习要点１．１． 极限的概念极限的概念２．２． 无穷小与无穷大的概念无穷小与无穷大的概念３．３． 连续的概念连续的概念４．４． 函数的间断点及其类型的判定函数的间断点及其类型的判定５．５． 极限的计算方法极限的计算方法６．６． 求函数连续区间的方法求函数连续区间的方法二、重点与难点二、重点与难点１．１． 重点重点２．２． 难点难点经济数学经济数学Economic mathematicsEconomic mathematics第第3 3章章 导数与微分导数与微分学习目标学习目标学习目标学习目标• •理解导数的概念，理解导数的概念，理解导数的概念，理解导数的概念， 导数的几何意义，导数的几何意义，导数的几何意义，导数的几何意义， 会求曲线的切会求曲线的切会求曲线的切会求曲线的切线方程，线方程，线方程，线方程， 了解可导与连续的关系．了解可导与连续的关系．了解可导与连续的关系．了解可导与连续的关系．• •了解左右导数的概念，了解可导的充要条件．了解左右导数的概念，了解可导的充要条件．了解左右导数的概念，了解可导的充要条件．了解左右导数的概念，了解可导的充要条件．• •熟练掌握导数基本公式，四则运算法则，复合函数求熟练掌握导数基本公式，四则运算法则，复合函数求熟练掌握导数基本公式，四则运算法则，复合函数求熟练掌握导数基本公式，四则运算法则，复合函数求导法则．导法则．导法则．导法则．• •会求二阶导数以及较简单函数的狀阶导数．会求二阶导数以及较简单函数的狀阶导数．会求二阶导数以及较简单函数的狀阶导数．会求二阶导数以及较简单函数的狀阶导数．• •了解微分概念，掌握求微分的方法．了解微分概念，掌握求微分的方法．了解微分概念，掌握求微分的方法．了解微分概念，掌握求微分的方法．3.1 3.1 导数的概念导数的概念3.1.1 3.1.1 两个引例两个引例１．１． 变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度设一物体做变速直线运动，设一物体做变速直线运动， 其运动方程（路程其运动方程（路程s s与时间与时间t t之间的函数之间的函数关系）为关系）为s s＝＝s s（（t t），求该物体在），求该物体在t t００ 时刻的瞬时速度．时刻的瞬时速度．当时间由当时间由t t００ 变到变到t t００ ＋＋ΔtΔt时，物体经过的路程为时，物体经过的路程为从从t t００ 到到t t００ ＋＋ΔtΔt这一段时间的平均速度这一段时间的平均速度 表示为表示为当当ΔtΔt很小时，可以用很小时，可以用 近似表示为物体在近似表示为物体在t t００ 时刻的瞬时速度，时刻的瞬时速度，ΔtΔt越小，越小， 就越接近物体在就越接近物体在t t００ 时刻的瞬时速度．而时刻的瞬时速度．而t t００ 时刻的瞬时刻的瞬时速度即为平均速度当时速度即为平均速度当Δt→Δt→０的极限，即０的极限，即3.1 3.1 导数的概念导数的概念２．２． 切线的斜率切线的斜率图３图３. .１１3.1 3.1 导数的概念导数的概念设曲线设曲线L L的方程为的方程为y y＝＝f(x) , f(x) , 求此曲线上点求此曲线上点M M处切线的斜率处切线的斜率k k（图３（图３. .１）１）设设M M、、N N是曲线是曲线L L上的任意两个定点，作直线上的任意两个定点，作直线MNMN，称，称MNMN为曲线为曲线L L的割线，的割线，当点当点N N沿曲线沿曲线L L趋于定点趋于定点M M时，割线时，割线MNMN趋于极限位置趋于极限位置MTMT，称，称MTMT为曲线为曲线L L在在点点M M处的切线．处的切线．下面求切线下面求切线MTMT的斜率的斜率k k．设点．设点M M的坐标为（的坐标为（x x００，，f(x) f(x) ），点），点N N的坐标为的坐标为（（x x００ ＋＋ΔxΔx，， f(xf(x0 0 ＋＋ΔxΔx）），割线）），割线MNMN对对x x轴的倾角为轴的倾角为φφ，切线，切线MTMT对对x x轴的倾角为轴的倾角为αα，割线，割线MNMN的斜率为的斜率为当当Δx→Δx→０时，０时， 点点N N就沿曲线就沿曲线L L趋于点趋于点M M，此时割线，此时割线MNMN就随之趋于它的就随之趋于它的极限位置极限位置MTMT，所以当，所以当Δx→Δx→０时，若０时，若 的极的极限存在，则限存在，则定义此极限值为曲线定义此极限值为曲线L L在点在点M M处的切线处的切线MTMT的斜率的斜率k k，即，即3.1 3.1 导数的概念导数的概念3.1.2 3.1.2 导数的定义导数的定义定义定义 设函数设函数y y＝＝f(x)f(x)在点在点x x００ 及近旁有定义，当自变量及近旁有定义，当自变量x x在在x x００ 处取得增处取得增量量ΔxΔx时，相应的函数时，相应的函数y y取得增量取得增量Δy=f(xΔy=f(x0 0＋＋ΔxΔx））-f(x-f(x0 0) ) ；如果极限；如果极限则称函数则称函数y y＝＝f(x)f(x)在点在点x x0 0处可导，并称这个极限值为函数处可导，并称这个极限值为函数y y＝＝f(x)f(x)在点在点x x００ 处的导数，记作；处的导数，记作；如果极限不存在，则称函数如果极限不存在，则称函数y y＝＝f(x)f(x)在点在点x x００ 处不可导．处不可导．定义定义 设函数设函数y y＝＝f(x)f(x)在在x x００ 点及左侧（右侧）有定义，若极限点及左侧（右侧）有定义，若极限3.1 3.1 导数的概念导数的概念存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数y y＝＝f(x)f(x)在点在点x x００ 处的左（右）导数，记作处的左（右）导数，记作也可写成另一种形式也可写成另一种形式定理定理 函数函数y y＝＝f(x)f(x)在在x x００ 点可导的充分必要条件是它在这一点处的左、点可导的充分必要条件是它在这一点处的左、右导数存在且相等．右导数存在且相等．左右导数的定义及定理主要用于判断闭区间的左右端点的可导性及分左右导数的定义及定理主要用于判断闭区间的左右端点的可导性及分段函数分界点处的可导性．段函数分界点处的可导性．3.1 3.1 导数的概念导数的概念例例3.13.1解解 因为因为f(0) =f(0) =１，所以有１，所以有3.1 3.1 导数的概念导数的概念3.1.3 3.1.3 利用定义求导数利用定义求导数根据导数的定义求导数，可归纳为以下三个步骤（俗称求导三步曲）．根据导数的定义求导数，可归纳为以下三个步骤（俗称求导三步曲）．（１）当自变量（１）当自变量x x在在x x００ 处取得增量处取得增量ΔxΔx时，求函数时，求函数y y相应的增量相应的增量（２）求两个增量的比值．（２）求两个增量的比值．（３）求当（３）求当Δx→Δx→０时，０时，的极限，即的极限，即例例3.23.2 求常数函数求常数函数y y＝＝C C的导数．的导数．解解（１）求增量：因为（１）求增量：因为y y＝＝C C不论不论x x取什么值，取什么值，y y的值总等于的值总等于C C，所以，所以3.1 3.1 导数的概念导数的概念（２）算比值：（２）算比值：（３）取极限：（３）取极限：即常数函数的导数等于零．即常数函数的导数等于零．例例3.33.3 求函数求函数y y＝＝x x２２ 的导数，并求的导数，并求解解3.1 3.1 导数的概念导数的概念例例3.43.4求求f(xf(x）＝）＝x xn n（（n n为正整数）在为正整数）在x x＝＝a a点的导数．点的导数．解解若将若将a a视为任一点，并用视为任一点，并用x x取代取代a a，即得，即得更一般地，更一般地，3.1 3.1 导数的概念导数的概念例例3.53.5 求函数求函数f f（（x x）＝）＝sin xsin x的导数．的导数．解解3.1 3.1 导数的概念导数的概念例例3.63.6解解3.1 3.1 导数的概念导数的概念即即3.1.4 3.1.4 导数的几何意义导数的几何意义由引由引例２例２及导数的定义可知，函数及导数的定义可知，函数y y＝＝f f（（x x）在）在x x００ 处的导数处的导数f′(xf′(x００）就）就是该曲线在是该曲线在x x００点处的切线斜率点处的切线斜率k k，从而得到曲线，从而得到曲线 y y＝＝f f（（x x）） 在点在点x x００ 处处的切线方程为的切线方程为法线方程为法线方程为但要注意函数在某一点导数不存在不等于它对应的曲线在该点无切线，但要注意函数在某一点导数不存在不等于它对应的曲线在该点无切线， 如曲线在某点的切线垂直于狓轴，而函数在这一点却不可导．如曲线在某点的切线垂直于狓轴，而函数在这一点却不可导．例例3.73.7 求曲线求曲线y y＝＝x x２２ 在点（１，１）处的切线和法线方程．在点（１，１）处的切线和法线方程．解因为解因为 y′=y′=（（x x２２））′=′=２２x x，由导数的几何意义知，曲线，由导数的几何意义知，曲线y y＝＝x x２２ 在点在点（（1 1，，1 1）处的切线斜率为）处的切线斜率为所以，所求切线方程为所以，所求切线方程为y y－１＝２（－１＝２（x x－１）即－１）即y y＝２＝２x x－１．－１．3.1 3.1 导数的概念导数的概念法线方程为法线方程为3.1.5 3.1.5 导数的经济应用导数的经济应用某产品的总成本函数是某产品的总成本函数是 ，，q q是产品的产量，当是产品的产量，当产量由产量由q q0 0 变到变到q q0 0 ＋＋ΔqΔq时，总成本相应的改变量为时，总成本相应的改变量为则总成本的变化率为则总成本的变化率为当当Δq→Δq→０时，极限０时，极限为为q q００ 时的总成本的变化率，又称时的总成本的变化率，又称边际成本。

边际成本是产量是产量同样收入函数同样收入函数R R＝＝R R（（q q）的导数）的导数R′ R′ ＝＝R′R′（（q q）称为边际收入；利润函）称为边际收入；利润函数数L L＝＝L L（（q q）的导数）的导数 L′ L′ ＝＝L′L′（（q q）称为）称为边际利润边际利润．．3.1 3.1 导数的概念导数的概念3.1.6 3.1.6 可导与连续的关系可导与连续的关系定理定理 如果函数在点如果函数在点x x００ 处可导，则在该点处必连续．处可导，则在该点处必连续．注意注意：本定理的逆定理不成立，即连续未必可导．：本定理的逆定理不成立，即连续未必可导．例如例如，函数，函数因为因为处连续，但处连续，但不可导，不可导，即即y y＝＝ |x||x|在在x x００ 处连续，但该函数在处连续，但该函数在x x＝０处的左导数是＝０处的左导数是而右导数是而右导数是左右导数不相等，故函数在该点不可导，所以连续是可导的必要而非充左右导数不相等，故函数在该点不可导，所以连续是可导的必要而非充分条件．分条件．所以所以3.2 3.2 求导法则求导法则3.2.1 3.2.1 函数的和、差、积、商求导法则函数的和、差、积、商求导法则定理定理 若函数若函数u u（（x x）与）与v v（（x x）在点）在点x x处可导，则处可导，则（１）函数（１）函数u u（（x x））±±v v（（x x）在点）在点x x处可导，且处可导，且（２）函数（２）函数u u（（x x））··v v（（x x）在点）在点x x处可导，且处可导，且（３）特别对任意常数（３）特别对任意常数C C，有，有（４）若（４）若v v（（x x））≠≠０，函数０，函数在点在点x x处可导，且处可导，且其中法则（１）、（２）可推广到有限个函数的情形，下面只给出其中法则（１）、（２）可推广到有限个函数的情形，下面只给出法则（１）的证明．法则（１）的证明．3.2 3.2 求导法则求导法则证证则则例例3.83.8解解3.2 3.2 求导法则求导法则例例3.93.9解解例例3.103.10解解3.2 3.2 求导法则求导法则3.2.2 3.2.2 复合函数的求导法则复合函数的求导法则定理定理 如果如果u u＝＝φφ（（x x）在点）在点x x处可导，而处可导，而y y＝＝f f（（u u）在对应的点）在对应的点u u＝＝φφ（（x x）处可导，则复合函数）处可导，则复合函数y y＝＝f f［［φφ（（x x）］在点）］在点x x处可导，且有处可导，且有若若y y＝＝f f（（u u），），u u＝＝φφ（（v v），），v v＝＝g g（（x x），则复合函数），则复合函数y y＝＝f f｛｛φφ［［g g（（x x）］｝的导数为）］｝的导数为例例3.163.16 求下列函数的导数．求下列函数的导数．解解 （１）函数（１）函数y=(1-2x)y=(1-2x)７７ 是由是由y=uy=u７７，，u=1-2xu=1-2x两个函数复合而成两个函数复合而成的．的．3.2 3.2 求导法则求导法则（２）函数（２）函数y y＝＝sinsin２２x x是由函数是由函数y y＝＝u u２２，，u u＝＝sin xsin x复合而成．复合而成．所以所以所以所以3.2 3.2 求导法则求导法则例例3.173.17解解例例3.183.18解解3.2 3.2 求导法则求导法则3.2.4 3.2.4 基本初等函数的求导公式基本初等函数的求导公式现把基本初等函数求导公式归纳如下：现把基本初等函数求导公式归纳如下：3.2 3.2 求导法则求导法则3.2.6 3.2.6 高阶导数高阶导数连续两次以上对某个函数求导数，所得的结果称为这个函数的连续两次以上对某个函数求导数，所得的结果称为这个函数的高阶导数．高阶导数．定义定义 如果函数如果函数y y＝＝f f（（x x）的导数）的导数f′f′（（x x）在点）在点x x处可导，则称处可导，则称f′f′（（x x））在点在点x x处的导数为函数处的导数为函数y y＝＝f f（（x x）在点）在点x x处的二阶导数处的二阶导数类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，数，…………（（n n－１）阶导数的导数叫做－１）阶导数的导数叫做n n阶导数，分别记作阶导数，分别记作y″y″，，y y(4)(4)……，，x x（（n n））函数的二阶及二阶以上的导数统称为函数的二阶及二阶以上的导数统称为函数的高阶导数．函数的高阶导数．3.2 3.2 求导法则求导法则例例3.263.26解解例例3.273.27解解例例3.283.28解解3.3 3.3 函数的微分及应用函数的微分及应用3.3.1 3.3.1 微分的概念微分的概念先分析一个具体问题．一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边先分析一个具体问题．一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由长由x x００ 变到变到x x００ ＋＋ΔxΔx（如（如图图3.23.2），问此薄片的面积改变了多少？），问此薄片的面积改变了多少？图图3.23.23.2 3.2 求导法则求导法则定义定义 设函数设函数y y＝＝f f（（x x）在点）在点x x及其近旁有定义，及其近旁有定义，x x＋＋ΔxΔx仍在这个范围仍在这个范围内，如果函数的增量。

内，如果函数的增量可表示为可表示为其中其中A A是不依赖于是不依赖于ΔxΔx的常数，而的常数，而οο（（ΔxΔx）是比）是比ΔxΔx高阶的无穷小，那么高阶的无穷小，那么称函数称函数y y＝＝f f（（x x）在点）在点x x处是可微的，而处是可微的，而AΔxAΔx叫做函数叫做函数y y＝＝f f（（x x）在点）在点x x处处的微分，记作的微分，记作dydy，即，即定理定理 函数函数y y＝＝f(x)f(x)在点在点x x处可微的充要条件是处可微的充要条件是f f（（x x）在点）在点x x处可导，处可导，且有且有dydy＝＝f f′(x)Δx(x)Δx．．关于定义及定理的几点说明：关于定义及定理的几点说明：（１）由定义知（１）由定义知dx=Δxdx=Δx，，dxdx称为自变量的微分，从而称为自变量的微分，从而dydy＝＝f′(x)dxf′(x)dx．．（２）由（２）由 因因此函数的导数此函数的导数f′(xf′(x））又称为函数的微商．又称为函数的微商．3.2 3.2 求导法则求导法则（３）由定理知，一元函数的可导与可微是等价的，但它们是有区别的：（３）由定理知，一元函数的可导与可微是等价的，但它们是有区别的：导数是函数在一点处的变化率；而微分是函数在一点处由自变量导数是函数在一点处的变化率；而微分是函数在一点处由自变量增量所引起的函数增量的主要部分，由于它是增量所引起的函数增量的主要部分，由于它是ΔxΔx的线性函数，因的线性函数，因此又称微分为线性主部，导数值只与此又称微分为线性主部，导数值只与x x有关，而微分值与有关，而微分值与x x和和ΔxΔx都都有关．有关．（４）定理告诉我们，求函数的微分（４）定理告诉我们，求函数的微分dydy只需求出函数导数只需求出函数导数f′(x)f′(x)，然后，然后再乘以再乘以dxdx即可．即可．（５）函数的微分（５）函数的微分dydy与其增量与其增量ΔyΔy之间有关系之间有关系事实上事实上3.2 3.2 求导法则求导法则例例3.303.30 求函数求函数y y＝＝x x３３ 在在x x００ ＝＝1 1，，ΔxΔx＝＝0.030.03时的改变量和微分．时的改变量和微分．解解而而则则比较比较 Δy Δy 与与 dy dy 知，知，ΔyΔy－－dydy＝＝0.092727-0.09=0.0027270.092727-0.09=0.002727较小．较小．3.3.2 3.3.2 微分的几何意义微分的几何意义图图3-33-33.2 3.2 求导法则求导法则3.3.3 3.3.3 微分基本公式与运算法则微分基本公式与运算法则3.2 3.2 求导法则求导法则1. 1. 微分基本公式微分基本公式2. 2. 函数的和、差、积、商的微分运算法则函数的和、差、积、商的微分运算法则设设u u（（x x）、）、v v（（x x）都是可微函数，则有）都是可微函数，则有3.2 3.2 求导法则求导法则3. 3. 复合函数微分法则复合函数微分法则设函数设函数y y＝＝f f（（u u）可微，根据微分的定义，函数）可微，根据微分的定义，函数y y＝＝f f（（u u）的微分是）的微分是如果如果u u不是自变量，而是狓的函数不是自变量，而是狓的函数u u＝＝φφ（（x x）且可微，则复合函数）且可微，则复合函数y y＝＝f f［［φφ（（x x）］的导数为）］的导数为于是，复合函数于是，复合函数y y＝＝f f［［φφ（（x x）］的微分为）］的微分为由于由于所以所以3.2 3.2 求导法则求导法则例例3.313.31解解例例3.323.32解解例例3.323.32解解3.2 3.2 求导法则求导法则3.3.4 3.3.4 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用从微分的定义可知，从微分的定义可知，Δy≈dyΔy≈dy，（当，（当|Δx||Δx|很小），即很小），即例例3.353.35 某工厂每周生产某工厂每周生产x x件产品所获得利润为件产品所获得利润为y y元，已知元，已知当每周产量由当每周产量由100100件增至件增至102102件时，试用微分求其利润增加的近似值．件时，试用微分求其利润增加的近似值．解解 由题意，由题意，x x＝＝100100，，ΔxΔx＝＝dydy＝＝102-100102-100＝＝2 2，，因为因为3.2 3.2 求导法则求导法则例例3.363.36解解则则3.2 3.2 求导法则求导法则在公式在公式（（3.23.2））中，令中，令x x0 0 +Δx +Δx＝＝x x，且，且x x0 0 ＝＝0 0，则公式（，则公式（3.23.2）变为）变为利用公式利用公式（（3.23.2））可以推得下面几个在工程上常用的近似计算公式可以推得下面几个在工程上常用的近似计算公式例例3.373.37 证明下列近似式．证明下列近似式．证：证： （１）令（１）令f(x)f(x)＝＝exex，则，则f′f′（（x)x)＝＝ex , ex , 当当x x＝０时，＝０时，f(f(００) )＝＝1 1，，f′(f′(００) )＝＝1 1，由，由f(x)≈f(f(x)≈f(００)+f′()+f′(００)x)x得得ex≈1ex≈1＋＋x x．．（２）令（２）令f(x)=ln(1+x)f(x)=ln(1+x)，则，则 当当x x＝＝0 0时，时，f(0)f(0)＝＝0 0，，f′(0)f′(0)＝＝1 1，由，由f(x)≈f(0)f(x)≈f(0)＋＋f′(0)xf′(0)x得得ln(1+x)ln(1+x)＝＝x x．．本章小结本章小结 一、本章主要内容及学习要点一、本章主要内容及学习要点1. 1. 导数的概念导数的概念2. 2. 导数的计算导数的计算3. 3. 微分微分4. 4. 可导（可微）与连续的关系可导（可微）与连续的关系二、重点与难点二、重点与难点1. 1. 重点重点2. 2. 难点难点经济数学经济数学Economic mathematicsEconomic mathematics第第4 4章章 导数的应用导数的应用学习目标学习目标了解罗尔中值定理，理解拉格朗日中值定理及其推论．了解罗尔中值定理，理解拉格朗日中值定理及其推论．了解罗尔中值定理，理解拉格朗日中值定理及其推论．了解罗尔中值定理，理解拉格朗日中值定理及其推论．• •熟练掌握用洛必达法则求熟练掌握用洛必达法则求熟练掌握用洛必达法则求熟练掌握用洛必达法则求 型和型和型和型和 型未定式极限的型未定式极限的型未定式极限的型未定式极限的方法．方法．方法．方法．• •掌握函数单调性的判别法，会求单调区间．掌握函数单调性的判别法，会求单调区间．掌握函数单调性的判别法，会求单调区间．掌握函数单调性的判别法，会求单调区间．• •理解函数极限值的概念，了解极值点、驻点、不可导点之间的关系，理解函数极限值的概念，了解极值点、驻点、不可导点之间的关系，理解函数极限值的概念，了解极值点、驻点、不可导点之间的关系，理解函数极限值的概念，了解极值点、驻点、不可导点之间的关系，掌握求极值的方法．掌握求极值的方法．掌握求极值的方法．掌握求极值的方法．• •掌握函数凸凹性的判别法，会求函数的拐点．掌握函数凸凹性的判别法，会求函数的拐点．掌握函数凸凹性的判别法，会求函数的拐点．掌握函数凸凹性的判别法，会求函数的拐点．• •了解函数最值的概念，会求闭区间上函数的最值，了解函数最值的概念，会求闭区间上函数的最值，了解函数最值的概念，会求闭区间上函数的最值，了解函数最值的概念，会求闭区间上函数的最值， 熟练掌握求平均熟练掌握求平均熟练掌握求平均熟练掌握求平均成本函数、收入函数、利润函数等常见经济函数的最值方法．成本函数、收入函数、利润函数等常见经济函数的最值方法．成本函数、收入函数、利润函数等常见经济函数的最值方法．成本函数、收入函数、利润函数等常见经济函数的最值方法．• •理解边际、弹性的概念及其经济意义，掌握求成本、收入和利润等经理解边际、弹性的概念及其经济意义，掌握求成本、收入和利润等经理解边际、弹性的概念及其经济意义，掌握求成本、收入和利润等经理解边际、弹性的概念及其经济意义，掌握求成本、收入和利润等经济函数边际的方法，掌握求弹性特别是需求弹性的方法．济函数边际的方法，掌握求弹性特别是需求弹性的方法．济函数边际的方法，掌握求弹性特别是需求弹性的方法．济函数边际的方法，掌握求弹性特别是需求弹性的方法．4.2 4.2 洛必达法则洛必达法则4.2.14.2.1型不定式，有如下定理．型不定式，有如下定理．定理定理 ( (洛必达法则洛必达法则) ) 设函数设函数f(x)f(x)，，g(x)g(x)在在x x0 0 的左右两侧可导，的左右两侧可导，且满足：且满足：4.2 4.2 洛必达法则洛必达法则例例4.64.6解解这是这是型不定式，且满足洛必达法则条件，故有型不定式，且满足洛必达法则条件，故有例例4.74.7解解例例4.84.8解解4.2 4.2 洛必达法则洛必达法则例例4.114.11这是这是类型，应用洛必达法则．类型，应用洛必达法则．解解例例4.124.12解解例例4.134.13解解原式原式4.3 4.3 函数单调性的判别函数单调性的判别利用拉格朗日中值定理，利用拉格朗日中值定理， 导出一个根据导数符号确定函数单调性的简导出一个根据导数符号确定函数单调性的简便方法．便方法．图图4.24.2从从图图4.24.2可以看出：如果函数在某区间上单调增加可以看出：如果函数在某区间上单调增加( (单调减少单调减少) )，则它，则它的图形是随的图形是随x x的增大而上升的增大而上升( (下降下降) )的曲线，如果所给曲线每一点处都的曲线，如果所给曲线每一点处都存在非铅直的切线，则曲线上各点处的切线斜率非负存在非铅直的切线，则曲线上各点处的切线斜率非负( (非正非正) )，， 即即f′(x) ≥f′(x) ≥００(f′(x)≤(f′(x)≤００) )．．4.3 4.3 函数单调性的判别函数单调性的判别定理定理 设函数设函数y y＝＝f(x)f(x)在区间［在区间［a a，，b b］上连续，在］上连续，在(a(a，，b)b)内可内可导导( (１１) )如果在如果在(a,b) (a,b) 内内f′(x)f′(x)＞０，则函数＞０，则函数f(x)f(x)在［在［a,ba,b］上单调增加］上单调增加．．( (２２) )如果在如果在(a,b) (a,b) 内内f′(x)f′(x)＜０，则函数＜０，则函数f(x)f(x)在［在［a,ba,b］上单调减少．］上单调减少．证证 , ,不妨设不妨设x x1 1＜＜x x2 2, ,则函数则函数f(x)f(x)在在[ [ x x1 1,x,x2 2] ]应用拉格朗日中值定理，得应用拉格朗日中值定理，得如果在如果在(a(a，，b)b)内恒有内恒有f′(x)f′(x)＞＞0 0，必有，必有f′(ξ)f′(ξ)＞０，又因＞０，又因x x２２-x-x1 1> >０，０，则定有则定有f(xf(x2 2)>f(x)>f(x1 1) )．．所以函数所以函数f(x)在［在［a，，b］上单调增加．］上单调增加．同理，如果在同理，如果在(a(a，，b)b)内内f′(x)) >０；当０；当x x＞＞ x x００时，时， f′(x) f′(x) >０，那０，那么么x x００是是f(x)f(x)的极小值点，的极小值点， f(xf(x0 0) )是是f(x)f(x)的极小值．的极小值．例例4.274.27求函数求函数f(x)=xf(x)=x３３ ＋３＋３x x２２ －８的极值．－８的极值．解解 函数函数f(x)f(x)的定义域是（－的定义域是（－ ∞∞，＋，＋ ∞∞），），令令f′(x) =0f′(x) =0，求得驻点，求得驻点x x１１ ＝０，＝０，x x２２ ＝－２，且无不可导的点．＝－２，且无不可导的点．x x１１ =0=0，， x x２２ = =－－2 2将函数的定义域分成三个部分：（－将函数的定义域分成三个部分：（－ ∞∞，－２），，－２），（－２，０），（０，＋（－２，０），（０，＋∞∞），列表讨论见），列表讨论见表表4.54.5: :4.4 函数的极值与最值由上表知，函数的极大值由上表知，函数的极大值f f（－２）＝－４，极小值（－２）＝－４，极小值f f（０）＝－８（０）＝－８例例4.284.28解解 函数函数f f（（x x）的定义域为（－）的定义域为（－ ∞∞，＋，＋ ∞∞））令令f′f′（（x x）＝０，得）＝０，得 x x＝１，另外，＝１，另外，x x＝－１为不可导点．＝－１为不可导点．列表讨论见列表讨论见表表4.64.6：：4.4 函数的极值与最值所以函数的极大值所以函数的极大值f(-1) =f(-1) =０，极小值０，极小值定理定理（第二充分条件）（第二充分条件） 设函数设函数f(x)f(x)在在x x0 0处具有二阶导数且处具有二阶导数且f f´ ´ ( x ( x0 0 ) ) =0 =0 ，，f" ( xf" ( x0 0 ) ≠ ) ≠０，则０，则4.4 函数的极值与最值例例4.294.29解解4.4 函数的极值与最值例例4.304.30解解函数函数f(x)f(x)的定义域为（－的定义域为（－ ∞∞，＋，＋ ∞∞））令令f f´ ´(x) (x) ＝０得驻点＝０得驻点x x１１= =－１，－１，x x２２= =０，０，x x３３= =１１又又因为因为f"(x)=6f"(x)=6＞＞0 0，故，故f(x)f(x)在在x=0x=0处取得极小值，极小值为处取得极小值，极小值为f(0)=0f(0)=0．．又因为又因为f"(-1)= f"(1)=0f"(-1)= f"(1)=0，因此第二充分条件失效．再用第一充分条件，因此第二充分条件失效．再用第一充分条件列表讨论见列表讨论见表表4.74.7．．4.4 函数的极值与最值函数函数的图形如的图形如图４图４- -９９所示．所示．图４图４- -９９4.4 函数的极值与最值4.4.2 4.4.2 函数的最值函数的最值极值的概念是局部的，而最值的概念是全局的，但是求最值往往借极值的概念是局部的，而最值的概念是全局的，但是求最值往往借助于极值助于极值. .例例4.314.31 求函数求函数在［－２，６］上的最大值与最小值．在［－２，６］上的最大值与最小值．解解而而f(-1)=10f(-1)=10，，f(3)=-22f(3)=-22，，f(-2)=3f(-2)=3，，f(6)=59f(6)=59，比较可得，比较可得f(x)f(x)在在[-[-2,6]2,6]上的最大值是上的最大值是f(6)=59f(6)=59，最小值是，最小值是f(3)=-22 f(3)=-22 ．．图图4.104.104.4 函数的极值与最值例例4.33 4.33 铁路线上犃犅段的距离为１００ｋｍ，工厂铁路线上犃犅段的距离为１００ｋｍ，工厂C C距距A A处为２０ｋｍ，处为２０ｋｍ，ACAC垂直于垂直于ABAB（如图４（如图４- -１１所示），为了运输需要，要在１１所示），为了运输需要，要在ABAB沿线选定一点沿线选定一点D D向工厂修筑一条公路．已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运向工厂修筑一条公路．已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比为３的运费之比为３∶∶５，为了使货物从供应站５，为了使货物从供应站B B运到工厂运到工厂C C的运费最省，问的运费最省，问D D点应选在何处？点应选在何处？例例4.324.32 求函数求函数的最值．的最值．4.5 4.5 函数图形的凹向与拐点函数图形的凹向与拐点4.5.1 4.5.1 曲线的凹向与拐点曲线的凹向与拐点图图4.124.124.5 4.5 函数图形的凹向与拐点函数图形的凹向与拐点定义定义 设曲线设曲线y y＝＝f f（（x x）在（）在（a a，，b b）内各点都有切线，如果曲线上每）内各点都有切线，如果曲线上每一点的切线都在它的下方，则称曲线一点的切线都在它的下方，则称曲线y y＝＝f f（（x x）在（）在（a a，，b b）内是凹的，）内是凹的，也称（也称（a a，，b b）为曲线）为曲线y y＝＝f f（（x x）的凹区间；如果曲线上每一点处的切线）的凹区间；如果曲线上每一点处的切线都在它的上方，则称曲线都在它的上方，则称曲线y y＝＝f f（（x x）在（）在（a a，，b b）内是凸的，也称（）内是凸的，也称（a a，，b b）为曲线）为曲线y y＝＝f f（（x x）的凸区间．）的凸区间．如何判定曲线的凹凸呢？如何判定曲线的凹凸呢？图图4-134-134.5 4.5 函数图形的凹向与拐点函数图形的凹向与拐点定理定理 设函数设函数y y＝＝f f（（x x）在（）在（a a，，b b）内具有二阶导数，那么）内具有二阶导数，那么（（1 1）如果在（）如果在（a a，，b b）内）内f″f″（（x x））> >０，则曲线０，则曲线y y＝＝f f（（x x）在（）在（a a，，b b）内）内是凹的（也称下凸的）是凹的（也称下凸的）. .（（2 2）如果在（）如果在（a a，，b b）内）内f″f″（（x x））< <０，则曲线０，则曲线y y＝＝f f（（x x）在（）在（a a，，b b）内是）内是凹的（也称上凸的）凹的（也称上凸的）. .例例4.354.35 讨论曲线讨论曲线f f（（x x）＝）＝x x３３ 的凹凸性．的凹凸性．解解 函数函数f f（（x x）的定义域为（－）的定义域为（－ ∞∞，＋，＋ ∞∞））4.5 4.5 函数图形的凹向与拐点函数图形的凹向与拐点例例4..364..36 讨论曲线讨论曲线的凹凸性．的凹凸性．当当x≠x≠１时，１时，所以，当所以，当x x＜１时，＜１时，f″f″（（x x）＞０，）＞０，f f（（x x）在（－）在（－∞∞，１）内是凹的，，１）内是凹的，当当x x＞１时，＞１时，f″f″（（x x）＜０，）＜０，f f（（x x）在（１，＋）在（１，＋ ∞∞）内是凸的．）内是凸的．显然，显然，x x＝１时＝１时f″f″（（x x）不存在．点（１，０）是曲线）不存在．点（１，０）是曲线f f（（x x）上由凹变）上由凹变凸的分界点．凸的分界点．一般地，连续曲线弧上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点．一般地，连续曲线弧上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点．求拐点的方法：求拐点的方法：（１）确定函数的定义域；（１）确定函数的定义域；（２）求出使（２）求出使f″f″（（x x）＝０的点和）＝０的点和f″f″（（x x）不存在的点；）不存在的点；（３）判断这些点两侧（３）判断这些点两侧f″f″（（x x）的符号来确定是否为拐点．）的符号来确定是否为拐点．4.5 4.5 函数图形的凹向与拐点函数图形的凹向与拐点例例4.374.37 求函数求函数的凹凸区间及拐点的凹凸区间及拐点解解 函数函数f f（（x x）的定义域为（－）的定义域为（－ ∞∞，＋，＋ ∞∞））令令列表讨论见列表讨论见表表4.84.8：：函数函数f f（（x x）在（－）在（－∞∞，０）与（２，＋，０）与（２，＋∞∞）内是凹的，在（０，２））内是凹的，在（０，２）内是凸的，拐点分别为（０，－５），（２，－１７）．内是凸的，拐点分别为（０，－５），（２，－１７）．4.6 4.6 导数在经济分析中的应用导数在经济分析中的应用4.6.1 4.6.1 边际分析边际分析在经济学中，习惯上，用平均和边际这两个概念来描述一个经济在经济学中，习惯上，用平均和边际这两个概念来描述一个经济变量变量y y相对于另外一个经济变量相对于另外一个经济变量x x的变化．概念的变化．概念““平均平均”” 表示表示y y在自在自变量变量x x的某一个范围内的平均值，概念的某一个范围内的平均值，概念““边际边际”” 表示当表示当x x的改变量的改变量ΔxΔx趋于零时，趋于零时，y y的相对改变量的相对改变量ΔyΔy与与ΔxΔx的比值的比值Δy/ΔxΔy/Δx的变化，即当的变化，即当x x在某一给定值附近有微小变化时在某一给定值附近有微小变化时y y的瞬时变化，也就是的瞬时变化，也就是y y对对x x的导数的导数．其实际意义是：当．其实际意义是：当x x改变一个单位时，改变一个单位时，y y对应改变对应改变y′y′个单位．个单位．１．１． 边际成本边际成本设生产某种产品数量设生产某种产品数量q q时所需要的总成本函数为时所需要的总成本函数为C C＝＝C C（（q q），则边际成），则边际成本函数为：本函数为：通常记作通常记作MCMC，即，即MCMC＝＝C′C′（（q q）．）．4.6 4.6 导数在经济分析中的应用导数在经济分析中的应用例例4.424.42 一企业某产品的日生产能力为５００台，每日产品的总成本一企业某产品的日生产能力为５００台，每日产品的总成本（单位：（单位： 万元）是日产量狇（单位：台）的函数万元）是日产量狇（单位：台）的函数求：求： （（1 1）产量为）产量为400400台时的总成本；台时的总成本；（（2 2）产量为）产量为400400台时的平均成本；台时的平均成本；（（3 3）当产量由）当产量由400400台增加到台增加到484484台时，总成本的平均变化率；台时，总成本的平均变化率；（（4 4）产量为）产量为400400台时的边际成本．台时的边际成本．解解4.6 4.6 导数在经济分析中的应用导数在经济分析中的应用所以产量为所以产量为400400台时的边际成本为台时的边际成本为: :4.6 4.6 导数在经济分析中的应用导数在经济分析中的应用２．２． 边际收入边际收入设销售某种产品数量设销售某种产品数量q q时的总收入函数为时的总收入函数为R R＝＝ R R（（q q），）， 则边际收入函数则边际收入函数为，记作为，记作MRMR，即，即MRMR＝＝R′R′（（q q））例例4.434.43 设某产品的需求函数为设某产品的需求函数为P P＝２０－＝２０－q/q/５，其中狆为价格，狇为销５，其中狆为价格，狇为销量，求销售量为１５个单位时的总收入、平均收入与边际收入，并求当量，求销售量为１５个单位时的总收入、平均收入与边际收入，并求当销售量从１５个单位增加到２０个单位时，收入的平均变化率．销售量从１５个单位增加到２０个单位时，收入的平均变化率．解解 总收入函数为总收入函数为故销售量为１５个单位时，故销售量为１５个单位时，总收入总收入平均收入平均收入4.6 4.6 导数在经济分析中的应用导数在经济分析中的应用边际收入边际收入收入的平均变化率收入的平均变化率３．３． 边际利润边际利润设销售某种产品数量狇时的利润函数为设销售某种产品数量狇时的利润函数为L L＝＝ L L（（q q），）， 则边际利润为则边际利润为因为利润函数因为利润函数lLlL（（q q）＝）＝R R（（q q）－）－C C（（q q））所以由导数的运算法则知所以由导数的运算法则知4.6 4.6 导数在经济分析中的应用导数在经济分析中的应用例例4.444.44 某煤炭公司每天生产煤狇吨的总成本函数为某煤炭公司每天生产煤狇吨的总成本函数为C C（（q q）＝）＝20002000＋＋450q450q＋＋0.02q0.02q２２，如果每吨销售价为，如果每吨销售价为490490元，求：元，求：（１）边际成本函数（１）边际成本函数C′C′（（q q）；）；（２）利润函数（２）利润函数L L（（q q）及边际利润函数）及边际利润函数L′L′（（q q）；）；（３）边际利润为０时的产量．（３）边际利润为０时的产量．解解（１）因为（１）因为C C（（q q）＝）＝20002000＋＋450q450q＋＋0.02q0.02q２２所以所以C′C′（（q q）＝）＝450450＋＋0.04q0.04q（３）边际利润为零０，即（３）边际利润为零０，即L′L′（（q q）＝－）＝－0.04q0.04q＋＋4040＝０＝０可得可得q q＝＝10001000（吨）（吨）（２）因为总收入（２）因为总收入R R（（q q）＝）＝pqpq＝＝490q490q所以利润函数所以利润函数边际利润函数边际利润函数4.6 4.6 导数在经济分析中的应用导数在经济分析中的应用4.6.2 4.6.2 弹性分析弹性分析设函数设函数y y＝＝f f（（x x）在）在x x处可导，则函数的相对改变量处可导，则函数的相对改变量与自变量的相对改变量与自变量的相对改变量称为函数称为函数f f（（x x）从）从x x到到x x＋＋ΔxΔx两点间的弹性．当两点间的弹性．当Δx→Δx→０时，０时，的极限的极限称为称为f f（（x x）在）在x x处的弹性．在经济学中，设处的弹性．在经济学中，设某种商品的某种商品的市场需求量为市场需求量为q q，价格为，价格为p p，需求函数，需求函数q q＝＝f f（（p p）可导，则）可导，则称称为该商品的需求价格弹性，简称为该商品的需求价格弹性，简称需求弹性需求弹性．．由导数的定义可得由导数的定义可得从而从而4.6 4.6 导数在经济分析中的应用导数在经济分析中的应用例例4.45 4.45 某商品需求函数为某商品需求函数为q q＝１０－＝１０－p/p/２，求：２，求：（１）需求价格弹性函数；（１）需求价格弹性函数；（２）当（２）当p p＝３时的需求价格弹性．＝３时的需求价格弹性．解解 （１）需求弹性：（１）需求弹性：（２）当狆＝３时，需求价格弹性（２）当狆＝３时，需求价格弹性本章小结本章小结 一、本章主要内容及学习要点一、本章主要内容及学习要点1. 1. 中值定理中值定理2. 2. 洛必达法则洛必达法则3. 3. 函数的单调性函数的单调性4. 4. 函数的极值与最值函数的极值与最值5. 5. 曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点二、重点与难点二、重点与难点1. 1. 重点重点2. 2. 难点难点6. 6. 边际函数边际函数7. 7. 弹性弹性经济数学经济数学Economic mathematicsEconomic mathematics第第5 5章章 积分学及其应用积分学及其应用学习目标学习目标•理解原函数与不定积分的概念，理解不定积分的性质及几何意义。

理解原函数与不定积分的概念，理解不定积分的性质及几何意义•掌握不定积分的基本公式和直接积分法，掌握不定积分的基本公式和直接积分法， 掌握第一类换元法和分部掌握第一类换元法和分部积分法，积分法， 了解第二换元积分法了解第二换元积分法•会利用积分相关知识求经济函数（成本函数、收入函数、利润函数）会利用积分相关知识求经济函数（成本函数、收入函数、利润函数）的方法•理解定积分的概念，掌握微元法，了解定积分的几何意义及性质．理解定积分的概念，掌握微元法，了解定积分的几何意义及性质．•掌握牛顿掌握牛顿—— 莱布尼茨公式，会计算定积分莱布尼茨公式，会计算定积分•了解并能计算简单的广义积分了解并能计算简单的广义积分•了解用定积分求平面图形的面积、体积的方法，了解定积分在经济了解用定积分求平面图形的面积、体积的方法，了解定积分在经济中的应用中的应用5.1 5.1 不定积分不定积分5.1.1 5.1.1 原函数的概念原函数的概念定义定义 设函数设函数f f（（x x）在某区间上有定义，）在某区间上有定义， 如果存在如果存在F F（（x x），）， 对于对于该区间上任意一点该区间上任意一点x x，使得，使得则称函数则称函数F F（（x x）是已知函数）是已知函数f f（（x x）在该区间上的一个原函数．）在该区间上的一个原函数．例如例如，因为在区间（－，因为在区间（－ ∞∞，＋，＋ ∞∞）内有（）内有（x x３３））′′＝３＝３x x２２，所以，所以x x３３ 是是３３x x２２ 在区间（－在区间（－ ∞∞，＋，＋∞∞）内的一个原函数，又因为（）内的一个原函数，又因为（x x３３＋１）＋１）′′＝３＝３x x２２，（，（x x３３＋＋√2√2））′′＝３＝３x x２２，（，（x x３３ ＋＋C C））２２ ＝３＝３x x２２（（C C为任意常数）为任意常数），所以，所以x x３３ ＋１，＋１，x x３３ ＋＋ √2 √2 ，，x x３３ ＋＋C C都为３都为３x x２２ 在区间（－在区间（－ ∞∞，＋，＋ ∞∞）内的原函数．）内的原函数．定理１（原函数族定理）定理１（原函数族定理） 如果函数如果函数f f（（x x）在某区间内有一个原函数）在某区间内有一个原函数F F（（x x），那么它必有无穷多个原函数，其形式可表示为），那么它必有无穷多个原函数，其形式可表示为F F（（x x）＋）＋C C（（C C为为任意常数），且任意两个原函数之间相差一个常数．任意常数），且任意两个原函数之间相差一个常数．定理２（原函数存在定理）定理２（原函数存在定理） 如果函数如果函数f f（（x x）在某一区间内连续，则）在某一区间内连续，则函数函数f f（（x x）在该区间上的原函数一定存在．）在该区间上的原函数一定存在．5.1 5.1 不定积分不定积分5.1.2 5.1.2 不定积分的概念不定积分的概念定义定义 若若F(x)F(x)是是 f(x)f(x)在某区间内的一个原函数，则称在某区间内的一个原函数，则称F(x)+CF(x)+C（（C C为任意为任意常数）为常数）为f(x)f(x)在该区间上的不定积分，记为在该区间上的不定积分，记为其中，其中，∫∫称为积分符号，称为积分符号，f(x)f(x)称为被积分函数，称为被积分函数，f(x)dxf(x)dx称为被积表达称为被积表达式，式，x x称为积分变量．称为积分变量．由此可知，不定积分与原函数是整体与个体的关系，即由此可知，不定积分与原函数是整体与个体的关系，即其中其中F (x) +CF (x) +C称为称为f(x)f(x)的原函数的一般表达式，的原函数的一般表达式，C C取一切实数值，称取一切实数值，称之为积分常数．之为积分常数．由定义可知，求函数由定义可知，求函数f(x)f(x)的不定积分，的不定积分， 就是求就是求f(x)f(x)的全体原函数，的全体原函数， 故求不定积分的运算其实质就是求导（或求微分）运算的逆运算．故求不定积分的运算其实质就是求导（或求微分）运算的逆运算．5.1 5.1 不定积分不定积分例例5.1 5.1 求下列不定积分求下列不定积分．．解解（１）被积函数（１）被积函数f f（（x x）＝２）＝２x x，因为（，因为（x x２２））′′＝２＝２x x，，x x２２ 是２是２x x的的一个原函数，即一个原函数，即f f（（x x）＝）＝x x２２，所以不定积分，所以不定积分（２）被积函数（２）被积函数f(x)=cosxf(x)=cosx，因为，因为(sinx)′=cosx(sinx)′=cosx，所以不定积分，所以不定积分例例5.25.2 求函数求函数的不定积分．的不定积分．解解 被积函数被积函数的定义域为的定义域为( (－－ ∞∞，，0)∪ (00)∪ (0，＋，＋ ∞)∞)当狓＞０时，因为当狓＞０时，因为5.1 5.1 不定积分不定积分所以所以内的一个原函数．内的一个原函数．因此在（０，＋因此在（０，＋ ∞∞）） 内内当当x x＜０时，因为＜０时，因为所以所以内的一个原函数．内的一个原函数．因此在（－因此在（－ ∞∞，０）内，０）内合并以上两种情况，当合并以上两种情况，当x≠x≠０时，得０时，得5.1 5.1 不定积分不定积分5.1.4 5.1.4 不定积分的几何意义不定积分的几何意义若若y y＝＝F F（（x x）是）是f f（（x x）的一个原函数，则称）的一个原函数，则称y y＝＝F F（（x x）的图形是）的图形是f f（（x x）的）的积分曲线，因为不定积分积分曲线，因为不定积分是是f f（（x x）的原函数的一般表达式，所以它对应的图形是一族积分曲线，）的原函数的一般表达式，所以它对应的图形是一族积分曲线，称它为积分曲线族，积分曲线族称它为积分曲线族，积分曲线族y y＝＝F F（（x x）＋）＋C C有如下特点．有如下特点．图５图５- -１１5.1 5.1 不定积分不定积分例例5.35.3 已知曲线上任意一点处切线斜率等于该点处横坐标平方的两倍，已知曲线上任意一点处切线斜率等于该点处横坐标平方的两倍，且该曲线经过点（０，３），求曲线方程．且该曲线经过点（０，３），求曲线方程．解解 设所求曲线为设所求曲线为y y＝＝f f（（x x），由题意），由题意（１）积分曲线中任意一条积分曲线都可以由曲线（１）积分曲线中任意一条积分曲线都可以由曲线y y＝＝F F（（x x）沿）沿y y轴方向轴方向上、下平移上、下平移图５图５- -１１得到．得到．（２）由于（（２）由于（F F（（x x）＋）＋C C））′′＝＝F′F′（（x x）＝）＝f f（（x x），即横坐标相同点处，），即横坐标相同点处，所有曲线的切线都是互相平行的，如所有曲线的切线都是互相平行的，如图５图５- -１１．．于是于是又因为曲线过点（０，３），代入上式可得又因为曲线过点（０，３），代入上式可得C C＝３，所以，所求曲线＝３，所以，所求曲线的方程为的方程为5.1 5.1 不定积分不定积分5.1.4 5.1.4 不定积分的性质不定积分的性质性质１性质１ 不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式），即不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式），即性质２性质２ 一个函数的导数（或微分）的不定积分与这个函数相差一个常数，即一个函数的导数（或微分）的不定积分与这个函数相差一个常数，即性质３性质３ 两个函数的代数和的不定积分等于各个函数不定积分的代数和，即两个函数的代数和的不定积分等于各个函数不定积分的代数和，即性质４性质４ 被积函数中的非零常数因子可以提到积分符号外，即被积函数中的非零常数因子可以提到积分符号外，即5.1 5.1 不定积分不定积分5.1.5 5.1.5 基本积分公式基本积分公式5.1 5.1 不定积分不定积分5.1.6 5.1.6 直接积分法直接积分法用积分基本公式和不定积分的性质，直接求出积分的方法称为直接积分法．用积分基本公式和不定积分的性质，直接求出积分的方法称为直接积分法．例例5.45.4 求不定积分求不定积分解：解：把被积函数转化成代数和形式，再积分有把被积函数转化成代数和形式，再积分有5.1 5.1 不定积分不定积分例例5.55.5 求不定积分求不定积分解解5.1 5.1 不定积分不定积分例例5.65.6 求不定积分求不定积分解解例例5.75.7 求不定积分求不定积分解解5.1 5.1 不定积分不定积分应用案例１应用案例１ 设某商品的边际收益函数为设某商品的边际收益函数为试求收益函数试求收益函数解解 因为收益函数是边际收益的的原函数，所以因为收益函数是边际收益的的原函数，所以由于由于R R（０）＝０，得（０）＝０，得C C＝０，所以＝０，所以应用案例２应用案例２ 已知某产品产量对时间的变化率是时间已知某产品产量对时间的变化率是时间t t的函数的函数设此产品在时间设此产品在时间t t的产量为的产量为Q Q（（t t），且），且Q Q（（0 0）＝０，求）＝０，求Q Q（（t t）．）．解解 因为因为Q Q（（t t）是）是的原函数，所以的原函数，所以将将Q Q（０）＝０代入，得（０）＝０代入，得C C＝０，所以＝０，所以5.2 5.2 不定积分的积分法不定积分的积分法5.2.1 5.2.1 第一换元积分法（凑微分法）第一换元积分法（凑微分法）首先，考察不定积分首先，考察不定积分因为被积函数因为被积函数是是x x的复合函数，基本积分公式中没有的复合函数，基本积分公式中没有这种公式，我们可将原积分进行适当变形，转化为某个基本积分公这种公式，我们可将原积分进行适当变形，转化为某个基本积分公式的形式：式的形式：5.2 5.2 不定积分的积分法不定积分的积分法验证：因为验证：因为所以所以确为确为一般地，若不定积分可以化为一般地，若不定积分可以化为的原函数。

的原函数的形式，则可令的形式，则可令当积分当积分容易求出时，就可用下面方法进行计算：容易求出时，就可用下面方法进行计算：通常将这种积分方法称为第一换元法（或称为凑微分法）．通常将这种积分方法称为第一换元法（或称为凑微分法）．5.2 5.2 不定积分的积分法不定积分的积分法1. 1. 利用等式利用等式均为常数且均为常数且a≠a≠０凑微分０凑微分例例5.85.8解解故故再将再将代入上式，得代入上式，得5.2 5.2 不定积分的积分法不定积分的积分法例例5.95.9解解 令令u u＝２＝２x x＋４，则ｄ＋４，则ｄu u＝２ｄ＝２ｄx x，即，即故故再将再将u u＝２＝２x x＋４代回上式，得＋４代回上式，得熟练之后，可以将设熟练之后，可以将设φφ（（x x）＝）＝u u一步省略，直接进行凑微分．一步省略，直接进行凑微分．5.2 5.2 不定积分的积分法不定积分的积分法例例5.105.10解解2 2．． 利用利用等微分公式凑微分等微分公式凑微分思路：当被积函数是两个函数乘积且含有上式各因子时，思路：当被积函数是两个函数乘积且含有上式各因子时， 不妨将它不妨将它凑成相应微分来解决所求积分．凑成相应微分来解决所求积分．5.2 5.2 不定积分的积分法不定积分的积分法例例5.115.11解解被积函数可以看成被积函数可以看成的被积形式，且被积公式中含有的被积形式，且被积公式中含有可将其凑微分，即可将其凑微分，即则则5.2 5.2 不定积分的积分法不定积分的积分法例例5.125.12解解例例5.135.13解解5.2 5.2 不定积分的积分法不定积分的积分法例例5.145.14解解例例5.155.15解解5.2 5.2 不定积分的积分法不定积分的积分法３．３． 利用三角恒等式凑微分利用三角恒等式凑微分例例5.165.16解解例例5.175.17解解5.2 5.2 不定积分的积分法不定积分的积分法例例5.185.18解解5.2 5.2 不定积分的积分法不定积分的积分法我们可以归纳出常用的凑微分公式我们可以归纳出常用的凑微分公式5.2 5.2 不定积分的积分法不定积分的积分法5.2.2 5.2.2 第二换元积分法第二换元积分法一般地，如果积分一般地，如果积分不易凑微分，可设不易凑微分，可设x x＝＝φφ（（t t），则上式化为），则上式化为其中，其中，x x＝＝φφ（（t t）的反函数）的反函数t t＝＝φφ-1-1（（x x）存在且可导，则有）存在且可导，则有再将再将t t＝＝φφ-1-1（（x x）代入上式有，）代入上式有，这种求不定积分的方法称为第二换元法．这种求不定积分的方法称为第二换元法．5.2 5.2 不定积分的积分法不定积分的积分法例例5.195.19解解 因为被积函数含有根号，不容易凑微分，因为被积函数含有根号，不容易凑微分， 为了去掉根号，令为了去掉根号，令则有关系ｄ则有关系ｄx x＝２＝２t tｄｄt t，于是有，于是有将将t t＝＝ √x√x代入上式，得代入上式，得5.2 5.2 不定积分的积分法不定积分的积分法例例5.205.20解解 被积函数含有根号，由第二换元法，被积函数含有根号，由第二换元法，设变量，设变量，找关系，找关系，求积分，求积分，5.2 5.2 不定积分的积分法不定积分的积分法代回变量，将代入上式得5.2.3 5.2.3 积分表续积分表续5.24 5.24 分部积分法分部积分法在某一区间上具有连续导数，由乘积的在某一区间上具有连续导数，由乘积的设设微分法则，得微分法则，得5.2 5.2 不定积分的积分法不定积分的积分法移项得，移项得，两边同时积分，有两边同时积分，有例例5.215.21解解 被积函数是幂函数与指数函数的乘积，用分部积分法，被积函数是幂函数与指数函数的乘积，用分部积分法，令令则则由分部积分公式，得由分部积分公式，得5.2 5.2 不定积分的积分法不定积分的积分法例例5.225.22解解 被积函数是幂函数与三角函数的乘积，用分部积分法，被积函数是幂函数与三角函数的乘积，用分部积分法，令令得得例例5.235.23解解 被积函数是幂函数与对数函数的乘积，用部分积分法，得被积函数是幂函数与对数函数的乘积，用部分积分法，得5.2 5.2 不定积分的积分法不定积分的积分法（１）当被积函数是幂函数与指数函数或三角函数乘积时，设幂函数为（１）当被积函数是幂函数与指数函数或三角函数乘积时，设幂函数为u u，指数函数或三角函数与ｄ，指数函数或三角函数与ｄx x乘积部分为ｄ乘积部分为ｄv v，如，如例例5.215.21和和例例5.225.22．．（２）当被积函数是幂函数与对数函数乘积时，设对数函数为（２）当被积函数是幂函数与对数函数乘积时，设对数函数为u u，幂函数，幂函数与ｄ与ｄx x乘积部分为ｄ乘积部分为ｄv v，如，如例例5.235.23．．利用分部积分求积分解题步骤归纳如下利用分部积分求积分解题步骤归纳如下（１）凑微分（是关键，原则如上述）．（１）凑微分（是关键，原则如上述）．（２）利用公式，交换（２）利用公式，交换u u，，v v的位置．的位置．（３）求积分，得结果．（３）求积分，得结果．5.3 5.3 定积分的概念与性质定积分的概念与性质5.3.1 5.3.1 引例引例例例5.245.24 计算曲边梯形的面积计算曲边梯形的面积图５图５- -２２设设y y＝＝f f（（x x）为闭区间［）为闭区间［a a，，b b］上的连续函数，且］上的连续函数，且f f（（x x））≥≥０．由曲线０．由曲线y y＝＝f f（（x x），直线），直线x x＝＝a a，，x x＝＝b b以及以及x x轴所围成的平面图形（轴所围成的平面图形（图５图５- -２２）称为）称为f f（（x x）在［）在［a a，，b b］上的曲边梯形，下面将讨论该曲边梯形的面积（这是］上的曲边梯形，下面将讨论该曲边梯形的面积（这是求任何曲线边界图形的面积的基础）．求任何曲线边界图形的面积的基础）．（１）分割．（１）分割．在［在［a a，，b b］中任意插入］中任意插入n n－１个分点－１个分点把［把［a a，，b b］分成狀个子区间，每个子区间的长度为］分成狀个子区间，每个子区间的长度为（２）近似．（２）近似．（３）求和．（３）求和．（４）逼近（取极限）（４）逼近（取极限）5.3 5.3 定积分的概念与性质定积分的概念与性质5.3.2 5.3.2 定积分的概念定积分的概念定义定义 设设f f（（x x）在［）在［a a，，b b］上有界，在［］上有界，在［a a，，b b］上任取］上任取n n－１个分点－１个分点把区间［把区间［a a，，b b］分割成狀个小区间］分割成狀个小区间各小区间的长度依次为各小区间的长度依次为在每个小区间在每个小区间上任取一点上任取一点作函数作函数小区间长度小区间长度ΔxΔxi i的乘的乘积积值值并作和式并作和式记记，如果不论对［，如果不论对［a a，，b b］怎样的分法，］怎样的分法，5.3 5.3 定积分的概念与性质定积分的概念与性质也不论在小区间也不论在小区间式的极限存在，我们就称函数式的极限存在，我们就称函数f f（（x x）在闭区间［）在闭区间［a a，，b b］上可积，并且称］上可积，并且称此极限值为函数此极限值为函数f(x)f(x)在［在［a a，，b b］上的定积分，记为］上的定积分，记为 其中其中f f（（x x）叫做被积函数，）叫做被积函数，f(x)f(x)ｄｄx x叫做被积表达式，叫做被积表达式，x x叫做叫做积分变量积分变量，，［［a a，，b b］叫做］叫做积分区间积分区间．．a a和和b b分别称为下限与上限，分别称为下限与上限， 符号符号读做函数读做函数f(x)f(x)从从a a到到b b的定积分．的定积分．定积分的几何意义定积分的几何意义 ：设：设f f（（x x）在［）在［a a，，b b］上的定积分为］上的定积分为其积分值等于曲线其积分值等于曲线y y＝＝f f（（x x），直线），直线x x＝＝a a，，x x＝＝b b和和x x＝０所围成的在＝０所围成的在狓轴上方部分与下方部分面积的代数和（如狓轴上方部分与下方部分面积的代数和（如图５图５- -３３所示）．所示）．上点上点ξiξi怎样取法，只要当怎样取法，只要当λ→λ→０时，和０时，和5.3 5.3 定积分的概念与性质定积分的概念与性质图５图５- -３３定理１（定积分的存在定理）定理１（定积分的存在定理）（（1 1）若）若f f（（x x）在［）在［a a，，b b］上连续，则］上连续，则f f（（x x）在［）在［a a，，b b］上可积．］上可积．（（2 2）若）若f f（（x x）在［）在［a a，，b b］上有界，且只有有限个间断点，则］上有界，且只有有限个间断点，则f f（（x x）在）在［［a a，，b b］上可积．］上可积．即即f f（（x x）在［）在［a a，，b b］上有以下关系：可导］上有以下关系：可导=>=>连续连续=>=>可积可积5.3 5.3 定积分的概念与性质定积分的概念与性质5.3.3 5.3.3 定积分的性质定积分的性质5.3 5.3 定积分的概念与性质定积分的概念与性质性质１性质１ 函数的和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差），即函数的和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差），即性质２性质２ 被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即性质３性质３（积分的区间可加性）（积分的区间可加性）有有性质４性质４ 如果在区间［如果在区间［a a，，b b］上］上f f（（x x））≡≡１，则１，则性质５性质５ 如果在区间［如果在区间［a a，，b b］上］上f f（（x x））≥≥０，则０，则推论如果在区间［推论如果在区间［a a，，b b］上］上f f（（x x））≥g≥g（（x x），则），则性质６性质６（估值定理）（估值定理） 设犕及犿分别是函数设犕及犿分别是函数f f（（x x）在区间［）在区间［a a，，b b］上的最大值及最小值，则］上的最大值及最小值，则性质７性质７（定积分中值定理）（定积分中值定理）f f（（x x）在［）在［a a，，b b］上连续，则存在］上连续，则存在5.3 5.3 定积分的概念与性质定积分的概念与性质图５图５- -４４5.3 5.3 定积分的概念与性质定积分的概念与性质例例5.285.28 比较下面积分值的大小．比较下面积分值的大小．解解（１）由于（１）由于x∈ x∈ ［０，１］时［０，１］时, ,（２）设（２）设从而从而f f（（x x）在［０，１］上单调增加，）在［０，１］上单调增加，因此因此即即即即5.3 5.3 定积分的概念与性质定积分的概念与性质例例5.295.29 估计积分估计积分的值．的值．解解5.3 5.3 定积分的概念与性质定积分的概念与性质5.4 5.4 微积分的基本定理及定积分的计算微积分的基本定理及定积分的计算定理２定理２ 设设f f（（x x）在［）在［a a，，b b］上连续，若］上连续，若F F（（x x）是）是f f（（x x）在［）在［a a，，b b］上］上的一个原函数，则的一个原函数，则5.4.2 5.4.2 牛顿莱布尼茨牛顿莱布尼茨(NewtonLeibniz)(NewtonLeibniz)公式公式( (微积分学基本公式微积分学基本公式) )例例5.325.32 计算下列定积分．计算下列定积分．解解5.4 5.4 微积分的基本定理及定积分的计算微积分的基本定理及定积分的计算例例5.345.34 汽车以每小时３６ｋｍ汽车以每小时３６ｋｍ 的速度行使，到某处需要减速停车，的速度行使，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度设汽车以等加速度a a＝－５ｍ／ｓ＝－５ｍ／ｓ２２ 刹车，问从开始刹车到停车，汽刹车，问从开始刹车到停车，汽车需走多少距离？车需走多少距离？解解t t＝０时，＝０时，v v００ ＝１０ｍ／ｓ＝１０ｍ／ｓ即刹车后，汽车需要走１０ｍ即刹车后，汽车需要走１０ｍ 才能停住．才能停住．5.4 5.4 微积分的基本定理及定积分的计算微积分的基本定理及定积分的计算5.4.3 5.4.3 定积分换元积分定积分换元积分定理３定理３ 设函数设函数f f（（x x）在闭区间［）在闭区间［a a，，b b］上连续，函数］上连续，函数x x＝＝φφ（（t t）满）满足条件：足条件：（１）（１）φφ（（x x）在［）在［αα，，ββ］（或［］（或［ββ，，αα］）上具有连续导数；］）上具有连续导数；（２）（２）φφ（（αα）＝）＝a a，，φφ（（ββ）＝）＝b b且且a≤φa≤φ（（t t））≤b≤b，则有，则有上式称为上式称为定积分的换元积分公式定积分的换元积分公式．．应用定积分的换元公式时应注意以下两点：应用定积分的换元公式时应注意以下两点：（１）用（１）用x x＝＝φφ（（t t）把变量）把变量x x换成新变量换成新变量t t时，积分限也要换成相应于时，积分限也要换成相应于新变量狋的积分限，且上限对应于上限，下限对应于下限．新变量狋的积分限，且上限对应于上限，下限对应于下限．（２）求出（２）求出的一个原函数的一个原函数ΦΦ（（x x）后，不必像计算不）后，不必像计算不定积分那样再把定积分那样再把ΦΦ（（t)t)变换成原变量变换成原变量x x的函数的函数, ,而只要把新变量而只要把新变量t t的上、的上、下限分别代入下限分别代入ΦΦ（（t t）然后相减就行了．）然后相减就行了．5.4 5.4 微积分的基本定理及定积分的计算微积分的基本定理及定积分的计算例例5.355.35 计算下列定积分．计算下列定积分．解解5.4 5.4 微积分的基本定理及定积分的计算微积分的基本定理及定积分的计算5.4 5.4 微积分的基本定理及定积分的计算微积分的基本定理及定积分的计算例例5.365.36 设设f f（（x x）在［－）在［－a a，，a a］上连续，证明］上连续，证明当当f f（（x x）为奇函数时，）为奇函数时，当当f f（（x x）为偶函数时，）为偶函数时，证证 因为因为5.4 5.4 微积分的基本定理及定积分的计算微积分的基本定理及定积分的计算当当f f（（x x）为奇函数时，）为奇函数时，故故从而有从而有当当f f（（x x）为偶函数时，）为偶函数时，故故从而有从而有5.4 5.4 微积分的基本定理及定积分的计算微积分的基本定理及定积分的计算5.4.4 5.4.4 定积分的分部积分法定积分的分部积分法定理４定理４ 若若u u（（x x），），v v（（x x）在［）在［a a，，b b］上有连续的导数，则］上有连续的导数，则例例5.375.37 计算下列定积分．计算下列定积分．解解5.4 5.4 微积分的基本定理及定积分的计算微积分的基本定理及定积分的计算本章小结本章小结 一、本章主要内容及学习要点一、本章主要内容及学习要点1. 1. 不定积分的概念、性质和计算不定积分的概念、性质和计算2. 2. 定积分的概念、性定积分的概念、性质质二、重点与难点二、重点与难点1. 1. 重点重点2. 2. 难点难点经济数学经济数学Economic mathematicsEconomic mathematics第第6 6章章 线性代数初步线性代数初步学习目标学习目标• •了解狀阶行列式的定义及性质并正确运用性质进行二阶、三阶行列了解狀阶行列式的定义及性质并正确运用性质进行二阶、三阶行列了解狀阶行列式的定义及性质并正确运用性质进行二阶、三阶行列了解狀阶行列式的定义及性质并正确运用性质进行二阶、三阶行列式的计算．式的计算．式的计算．式的计算．• •掌握克莱姆法则，并能运用克莱姆法则解线性方程组．掌握克莱姆法则，并能运用克莱姆法则解线性方程组．掌握克莱姆法则，并能运用克莱姆法则解线性方程组．掌握克莱姆法则，并能运用克莱姆法则解线性方程组．• •理解矩阵概念，掌握矩阵的线性运算及乘法运算．理解矩阵概念，掌握矩阵的线性运算及乘法运算．理解矩阵概念，掌握矩阵的线性运算及乘法运算．理解矩阵概念，掌握矩阵的线性运算及乘法运算．• •理解逆矩阵的概念，掌握可逆矩阵的充分必要条件，会用初等变换理解逆矩阵的概念，掌握可逆矩阵的充分必要条件，会用初等变换理解逆矩阵的概念，掌握可逆矩阵的充分必要条件，会用初等变换理解逆矩阵的概念，掌握可逆矩阵的充分必要条件，会用初等变换的方法求逆矩阵．的方法求逆矩阵．的方法求逆矩阵．的方法求逆矩阵．• •理解线性方程组有解的判定定理，熟练掌握用消元法求线性方程组理解线性方程组有解的判定定理，熟练掌握用消元法求线性方程组理解线性方程组有解的判定定理，熟练掌握用消元法求线性方程组理解线性方程组有解的判定定理，熟练掌握用消元法求线性方程组通解的方法．通解的方法．通解的方法．通解的方法．6.1 6.1 行列式的概念与运算行列式的概念与运算6.1.1 6.1.1 二、三阶行列式的定义二、三阶行列式的定义１．１． 排列排列由数码１，２，由数码１，２，……，，n n组成的一个有序数组组成的一个有序数组i i１１，，i i２２，， ……，，i in n称为称为一个一个n n排列．排列． 显然，对于确定的显然，对于确定的i∈ Ni∈ N ，共有，共有n n！个不同的！个不同的n n排排列．列．在在n n排列排列i i１１，，i i２２，， ……，，i in n中，若当１中，若当１≤k≤k＜＜t≤nt≤n时，有时，有i ik k＞＞i it t，称，称i ik k与与i it t构成一个构成一个逆序逆序．这个．这个n n排列的所有逆序的总数称为它的逆序数，排列的所有逆序的总数称为它的逆序数，记作记作ττ（（ i i１１，，i i２２，， ……，，i in n ）．）．若若ττ（（ i i１１，，i i２２，， ……，，i in n ）是奇数，则称）是奇数，则称i i１１，，i i２２，， ……，，i in n是一是一个个奇排列奇排列；反之，；反之， 称其为称其为偶排列偶排列．．２．２． 行列式行列式设有二元线性方程组设有二元线性方程组6.1 6.1 行列式的概念与运算行列式的概念与运算用消元法，解得用消元法，解得为了便于表示上述结果，规定记号为了便于表示上述结果，规定记号并称为二阶行列式．利用二阶行列式的概念，把方程组中未知量的系并称为二阶行列式．利用二阶行列式的概念，把方程组中未知量的系数用行列式表示数用行列式表示其中其中a a1111，，a a1212，，a a2121，，a a2222 称为这个二阶行列式的元素，称为这个二阶行列式的元素， 横行称为排，横行称为排， 纵行称为列．纵行称为列． 从左上角到右下角的对角线称为行列式的主对角线，从左上角到右下角的对角线称为行列式的主对角线， 从右上角到左下角的对角线称为行列式的次对角线．从右上角到左下角的对角线称为行列式的次对角线．6.1 6.1 行列式的概念与运算行列式的概念与运算利用二阶行列式的概念，则有利用二阶行列式的概念，则有设三元线性方程组设三元线性方程组用消元法解得用消元法解得6.1 6.1 行列式的概念与运算行列式的概念与运算规定规定并称为三阶行列式，则有并称为三阶行列式，则有6.1 6.1 行列式的概念与运算行列式的概念与运算6.1.2 n6.1.2 n阶行列式的概念阶行列式的概念1 1．．n n阶行列式的概念阶行列式的概念把上述三阶行列式推广到把上述三阶行列式推广到n阶，则有阶，则有6.1 6.1 行列式的概念与运算行列式的概念与运算称为称为n n阶行列式．其中阶行列式．其中是对所有是对所有n n排列排列 j j１１j j２２，，……，，j jn n 求和．求和．行列式左上角到右下角的对角线称为主对角线，位于主对角线上的元素行列式左上角到右下角的对角线称为主对角线，位于主对角线上的元素称为主对角元．称为主对角元．n n阶行列式有以下特点．阶行列式有以下特点．（１）展开式有（１）展开式有n n！项，每项都是！项，每项都是n n个元素相乘，这个元素相乘，这n n个元素既位于不同的个元素既位于不同的行，又位于不同的列．行，又位于不同的列．（２）每项带有正号或负号，当这（２）每项带有正号或负号，当这n n个元素所在行按自然顺序排定后，若个元素所在行按自然顺序排定后，若相应的列号的排列是偶排列时，该项取正号；反之，即其列号的排相应的列号的排列是偶排列时，该项取正号；反之，即其列号的排列是奇排列时，该项取负号．列是奇排列时，该项取负号．6.1 6.1 行列式的概念与运算行列式的概念与运算２．２． 几个特殊的几个特殊的n n阶行列式阶行列式（１）转置行列式（１）转置行列式把行列式把行列式D D中的行与列按原来顺序互换以后所得的行列式记为中的行与列按原来顺序互换以后所得的行列式记为D DT T，即，即称行列式称行列式D DT T为行列式为行列式D D的转置行列式．的转置行列式．行列式与它的转置行列式等值．行列式与它的转置行列式等值．6.1 6.1 行列式的概念与运算行列式的概念与运算形如形如的行列式称为上三角形行列式．的行列式称为上三角形行列式．上三角行列式的值等于主对角元的乘积．上三角行列式的值等于主对角元的乘积．（２）上三角形行列式．（２）上三角形行列式．6.1 6.1 行列式的概念与运算行列式的概念与运算（３）下三角形行列式．（３）下三角形行列式．形如形如的行列式称为下三角形行列式．的行列式称为下三角形行列式．下三角行列式的值也等于主对角元的乘积．下三角行列式的值也等于主对角元的乘积．6.1 6.1 行列式的概念与运算行列式的概念与运算6.1.3 6.1.3 行列式的性质行列式的性质性质１性质１ 行列式的行和列互换，行列式的值不变．行列式的行和列互换，行列式的值不变．性质２性质２ 用一个数用一个数k k乘以行列式的某一行（列）的各元素，等于该数乘以行列式的某一行（列）的各元素，等于该数乘以此行列式．或者说行列式的某一行（列）的公因子可以乘以此行列式．或者说行列式的某一行（列）的公因子可以提到行列式的前面．提到行列式的前面．推论１推论１ 若行列式的某行（列）的元素全为零，则该行列式等于零．若行列式的某行（列）的元素全为零，则该行列式等于零．性质３性质３ 如果行列式中某行（列）中各元素均为两项之和，如果行列式中某行（列）中各元素均为两项之和， 则这个则这个行列式等于两个行列式的和行列式等于两个行列式的和. .性质４性质４ 交换行列式中任意两行（列）的位置，行列式的正负号改变．交换行列式中任意两行（列）的位置，行列式的正负号改变．推论２推论２ 如果行列式中有两行（列）的对应元素相同，则行列式等于如果行列式中有两行（列）的对应元素相同，则行列式等于零．零．推论３推论３ 如果行列式中有两行（列）的对应元素成比例，则行列式等如果行列式中有两行（列）的对应元素成比例，则行列式等于零．于零．性质５性质５ 把行列式中某一行（列）的各元素同乘以一个数犽加到另一把行列式中某一行（列）的各元素同乘以一个数犽加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变．行（列）的对应元素上，行列式的值不变．6.1 6.1 行列式的概念与运算行列式的概念与运算例例6.2　行列式性质应用：　行列式性质应用：6.1 6.1 行列式的概念与运算行列式的概念与运算例例6.36.3 计算下列行列式．计算下列行列式．解解6.1 6.1 行列式的概念与运算行列式的概念与运算6.1.4 6.1.4 行列式的计算行列式的计算在在n n阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素a aijij所在的第所在的第i i行和第行和第j j列划去后，留下来的列划去后，留下来的n n－－1 1阶行列式称为元素阶行列式称为元素a aijij的余子式，记作的余子式，记作M Mijij；又记；又记A Aijij=(=(－－1)1)i+ji+jM Mijij，称，称A Aijij为元为元素素a aijij的代数余子式．的代数余子式．定理１定理１ 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即积之和，即这个定理称为行列式按行（列）展开法则．这个定理称为行列式按行（列）展开法则． 用行列式展开法则计算行用行列式展开法则计算行列式的方法称为列式的方法称为降阶法降阶法．．6.1 6.1 行列式的概念与运算行列式的概念与运算例例6.46.4 计算行列式．计算行列式．解解 将行列式按照第一行展开得将行列式按照第一行展开得原式原式= =6.1 6.1 行列式的概念与运算行列式的概念与运算定理２定理２ 任一任一n n阶行列式阶行列式都可以化为一个与其等值的上（下）三角形行列式，即都可以化为一个与其等值的上（下）三角形行列式，即或或6.1 6.1 行列式的概念与运算行列式的概念与运算例６．６例６．６ 计算计算例６．７例６．７ 计算计算6.2 6.2 克莱姆法则克莱姆法则6.2.1 6.2.1 克莱姆法则克莱姆法则含有含有n n个方程的个方程的n n元线性方程组的一般形式为元线性方程组的一般形式为其中，其中，是未知数的系数，是未知数的系数，是常数，是常数，是未知数．其系数构成的行列式是未知数．其系数构成的行列式6.2 6.2 克莱姆法则克莱姆法则称为称为方程组的系数行列式方程组的系数行列式．．定理１定理１（克莱姆（（克莱姆（GramerGramer）法则））法则） 对于线性方程组，当其系数行列式对于线性方程组，当其系数行列式D≠D≠０时，有且仅有唯一解０时，有且仅有唯一解其中，其中，是将系数行列式是将系数行列式D D中第中第 j j 列元素列元素对应地换为方程组的常数项对应地换为方程组的常数项后得到的行列式，即后得到的行列式，即6.2 6.2 克莱姆法则克莱姆法则例６．８例６．８ 用克莱姆法则求解线性方程组用克莱姆法则求解线性方程组应用克莱姆法则具有很大的局限性：应用克莱姆法则具有很大的局限性： 一是只适用于解方程个数与未知一是只适用于解方程个数与未知数个数相等且系数行列式数个数相等且系数行列式D≠D≠０的线性方程组；二是当未知数个数较大时，０的线性方程组；二是当未知数个数较大时，运算量很大，因此该法则只适用于解未知数个数较少的线性方程组．运算量很大，因此该法则只适用于解未知数个数较少的线性方程组．6.2 6.2 克莱姆法则克莱姆法则6.2.2 6.2.2 齐次线性方程组齐次线性方程组当线性方程组右端的当线性方程组右端的不全为零时，不全为零时， 称该方程组称该方程组为非齐次线性方程组；当为非齐次线性方程组；当全为零时，称该方程组全为零时，称该方程组为齐次线性方程组．为齐次线性方程组．n n元齐次线性方程组的一般形式为元齐次线性方程组的一般形式为定理２定理２ 若齐次线性方程组的系数行列式若齐次线性方程组的系数行列式D≠D≠０时，则它仅有零解．换句０时，则它仅有零解．换句话说，如果方程组有非零解，那么它的系数行列式话说，如果方程组有非零解，那么它的系数行列式D D＝０．＝０．6.2 6.2 克莱姆法则克莱姆法则例６例６. .９９ 问问λ λ 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组有非零解？有非零解？解解 由定理２可知，若齐次方程组有非零解，则其系数行列式由定理２可知，若齐次方程组有非零解，则其系数行列式D D＝０．而＝０．而当当时，该齐次方程组确有非零解时，该齐次方程组确有非零解6.3 6.3 矩阵的概念与运算矩阵的概念与运算6.3.1 6.3.1 矩阵的概念矩阵的概念引例１引例１１．１． 矩阵的定义矩阵的定义由由m m××n n个数个数的的m m行行n n列数表，记成列数表，记成排成排成6.3 6.3 矩阵的概念与运算矩阵的概念与运算称为称为m m××n n矩阵．也可记成矩阵．也可记成两个矩阵的行数相等，列数也相等时，两个矩阵的行数相等，列数也相等时， 就称它们是同型矩阵．若就称它们是同型矩阵．若A A、、B B为同型矩阵，为同型矩阵， 且对应元素相等且对应元素相等, , ）就称矩阵）就称矩阵A A与与B B相等，记作相等，记作A A＝＝B B．．例例6.106.10 设矩阵设矩阵若若A A＝＝B B，，求求 x，，y，，a，，b．．6.3 6.3 矩阵的概念与运算矩阵的概念与运算解解 由矩阵相等的定义，有由矩阵相等的定义，有x x＝２，＝２，y y＝３，＝３，a a＝－７，＝－７，b b＝５．＝５．２．２． 特殊矩阵特殊矩阵（１）方阵（１）方阵行数与列数都等于行数与列数都等于n n的矩阵称为的矩阵称为n n阶矩阵，或称为阶矩阵，或称为n n阶方阵，常记为阶方阵，常记为A An n．．（２）行矩阵（２）行矩阵只有一行的矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵．称为行矩阵．（３）列矩阵（３）列矩阵只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为列矩阵．称为列矩阵．6.3 6.3 矩阵的概念与运算矩阵的概念与运算（４）零矩阵（４）零矩阵元素均为零的矩阵称为零矩阵，记为元素均为零的矩阵称为零矩阵，记为O O．强调．强调O O矩阵的行数和矩阵的行数和列数时，记作列数时，记作O Omxnmxn或或O On n．．（５）对角矩阵（５）对角矩阵形如形如的矩阵称为的矩阵称为n n阶对角矩阵．阶对角矩阵．简记为简记为6.3 6.3 矩阵的概念与运算矩阵的概念与运算（６）数量矩阵（６）数量矩阵若若n n阶对角矩阵中主对角线上的元素都相等，即阶对角矩阵中主对角线上的元素都相等，即则称则称A A为为n n阶数量矩阵．阶数量矩阵．特别地，当特别地，当时，称时，称n n阶矩阵为单位矩阵，记为阶矩阵为单位矩阵，记为E E．．6.3 6.3 矩阵的概念与运算矩阵的概念与运算（７）上（下）三角矩阵（７）上（下）三角矩阵形如形如的矩阵称为上三角矩阵，形如的矩阵称为上三角矩阵，形如的矩阵称为下三角矩阵的矩阵称为下三角矩阵. .6.3 6.3 矩阵的概念与运算矩阵的概念与运算6.3.2 6.3.2 矩阵的运算矩阵的运算１．１． 矩阵的加法矩阵的加法设设m m××n n矩阵矩阵则称则称A A＋＋B B为矩阵为矩阵A A与与B B的和．的和．定义定义A A＋＋B B为为6.3 6.3 矩阵的概念与运算矩阵的概念与运算只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算．只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算．矩阵加法满足下列运算规律（设矩阵加法满足下列运算规律（设A A，，B B，，C C都是都是m m××n n矩阵）：矩阵）：（１）交换律（１）交换律（２）结合律（２）结合律例例6.116.11 设设计算计算A A＋＋B B，，A A－－B B．．解解6.3 6.3 矩阵的概念与运算矩阵的概念与运算２．２． 矩阵的数乘矩阵的数乘设设m m××n n矩阵矩阵是任意常数，称是任意常数，称为数为数λ λ 与矩阵与矩阵A A的数量乘积．的数量乘积．6.3 6.3 矩阵的概念与运算矩阵的概念与运算易知数乘矩阵满足下列运算规律（设易知数乘矩阵满足下列运算规律（设A A，，B B是是m m××n n矩阵，矩阵，λλ，，μ μ 为任意常数）：为任意常数）：例例6.12 6.12 设设计算３计算３A A．．解解6.3 6.3 矩阵的概念与运算矩阵的概念与运算３．３． 矩阵的乘法矩阵的乘法设设m m××s s矩阵矩阵A A和和s s××m m矩阵矩阵B B分别为分别为称称m m××n n矩阵矩阵为矩阵为矩阵A A和矩阵和矩阵B B的乘积，记作的乘积，记作C C＝＝ABAB，其中，，其中，6.3 6.3 矩阵的概念与运算矩阵的概念与运算例６．１３例６．１３ 设矩阵设矩阵计算计算ABAB和和BA ?BA ?解解6.3 6.3 矩阵的概念与运算矩阵的概念与运算BABA不满足矩阵乘法的条件，因此不满足矩阵乘法的条件，因此BABA无意义．无意义．例例6.146.14 设矩阵设矩阵计算计算ABAB和和BA.BA.解解这说明矩阵的乘法一般不满足交换律．这说明矩阵的乘法一般不满足交换律．6.3 6.3 矩阵的概念与运算矩阵的概念与运算解解 令令依据矩阵的乘法，方程组可表示为依据矩阵的乘法，方程组可表示为AXAX＝＝B B．．6.3 6.3 矩阵的概念与运算矩阵的概念与运算矩阵乘法不满足交换律和消去律．但矩阵乘法满足下列运算规律：矩阵乘法不满足交换律和消去律．但矩阵乘法满足下列运算规律：（１）结合律（１）结合律（其中（其中λ λ 是任意常数）是任意常数）（２）分配律（２）分配律４．４． 矩阵的转置矩阵的转置设设m m××n n矩阵矩阵把把A A的行、列按原顺序互换得到的行、列按原顺序互换得到n n××m m矩阵，称为矩阵，称为A A的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作A AT T，即，即6.3 6.3 矩阵的概念与运算矩阵的概念与运算如矩阵如矩阵的转置矩阵的转置矩阵矩阵的转置满足下述运算规律：矩阵的转置满足下述运算规律：6.3 6.3 矩阵的概念与运算矩阵的概念与运算５．５． 矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列３种变换．矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列３种变换．（１）对换变换：将矩阵中某两行对换位置．（１）对换变换：将矩阵中某两行对换位置．（２）倍乘变换：将某一行遍乘一个非零常数（２）倍乘变换：将某一行遍乘一个非零常数k．．（３）倍加变换：将矩阵的某一行遍乘一个常数（３）倍加变换：将矩阵的某一行遍乘一个常数k加至对应另一行．加至对应另一行．矩阵矩阵A A经过初等行变换后变成经过初等行变换后变成B B，就称矩阵，就称矩阵A A与与B B是等价的，记为是等价的，记为A A～～B B．．6.4 6.4 矩阵的逆矩阵的逆6.4.1 6.4.1 可逆矩阵与逆矩阵的判别可逆矩阵与逆矩阵的判别１．１． 方阵的行列式方阵的行列式由由n n阶方阵阶方阵A A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵阵A A的行列式，记作的行列式，记作 |A| .|A| .方阵的行列式满足下列运算规律（设方阵的行列式满足下列运算规律（设A A，，B B为为n n阶方阵，阶方阵，λ λ 为常数）．为常数）．２．２． 可逆矩阵可逆矩阵设设A A为为n n阶方阵，若存在一个阶方阵，若存在一个n n阶方阵阶方阵B B，使得，使得ABAB＝＝BABA＝＝ E E，则称方阵，则称方阵A A可逆，并称方阵可逆，并称方阵B B为为A A的逆矩阵，的逆矩阵，A A的逆矩阵记作的逆矩阵记作A A－１－１，即，即B B＝＝A A－１－１．如果．如果方阵方阵A A可逆，则可逆，则A A的逆矩阵是唯一的．的逆矩阵是唯一的．6.4 6.4 矩阵的逆矩阵的逆定理１定理１ 若方阵若方阵A A可逆，则可逆，则|A|≠|A|≠０．０．由由的行列式的行列式中元素中元素a aijij的代数余子式的代数余子式构成的构成的A A阶方阵，记作阶方阵，记作A A* * ，即，即称为称为A A的伴随矩阵．的伴随矩阵．6.4 6.4 矩阵的逆矩阵的逆定理２定理２ 若若|A|≠|A|≠０，则０，则|A||A|可逆，且可逆，且其中其中A A* * 为为A A的伴随矩阵．的伴随矩阵．当当|A||A|＝０时，＝０时，A A称为称为奇异方阵奇异方阵，否则称为非奇异方阵，由上面的结论可知：，否则称为非奇异方阵，由上面的结论可知：A A为可逆矩阵的充分必要条件是为可逆矩阵的充分必要条件是|A|≠|A|≠０，即可逆矩阵就是非奇异方阵０，即可逆矩阵就是非奇异方阵若若ABAB＝＝E E，（或，（或BABA＝＝ E E），则），则B B＝＝A A-1-1．．方阵的逆矩阵满足下述运算规律．方阵的逆矩阵满足下述运算规律．(1)(1)若若A A可逆，则可逆，则A A-1-1 也可逆，且（也可逆，且（A A－１－１））－１－１ ＝＝A A．．(2) (2) 若若A A可逆，说可逆，说λ≠λ≠０，则０，则λAλA可逆，且可逆，且(λA)(λA)－１－１=1/λA=1/λA－１－１．．(3) (3) 若同阶方阵若同阶方阵A A、、B B都可逆，则都可逆，则ABAB也可逆，且（也可逆，且（ABAB））－１－１ ＝＝B B－１－１A A- -１１．．(4) (4) 若若A A可逆，则可逆，则A AT T可逆，且（可逆，且（A AT T））－１－１ ＝＝ （（A A－１－１））T T．．例例6.18 判断下列方阵判断下列方阵是否可逆？是否可逆？ 若可逆，求其逆矩阵．若可逆，求其逆矩阵．6.4 6.4 矩阵的逆矩阵的逆解解 因为因为|A||A|＝－２＝－２≠ ≠ ０，０， |B| |B| ＝＝ ０，０， 所以所以A A可逆，可逆，B B不可逆．不可逆． 因为因为A A１１１１ ＝＝－２，－２，A A１２１２ ＝３，＝３，A A１３１３ ＝－２，＝－２，A A２１２１ ＝－２，＝－２，A A２２２２ ＝６，＝６，A A２３２３ ＝＝－６，－６，A A３１３１ ＝２，＝２，A A３２３２ ＝－５，＝－５，A A３３３３ ＝４．得＝４．得所以所以6.4 6.4 矩阵的逆矩阵的逆6.4.2 6.4.2 用初等行变换求逆矩阵用初等行变换求逆矩阵例例6.1.96.1.9 设矩阵设矩阵求矩阵求矩阵A A－１－１．．解解 因为因为6.4 6.4 矩阵的逆矩阵的逆从而从而6.4 6.4 矩阵的逆矩阵的逆例例6.206.20 解矩阵方程解矩阵方程AXAX＝＝B B，其中，其中解解 因为因为6.4 6.4 矩阵的逆矩阵的逆所以所以A A可逆，且可逆，且又因为又因为A A－１－１AXAX＝＝A A－１－１B B，所以，所以6.5 6.5 矩阵的秩矩阵的秩6.5.1 6.5.1 矩阵秩的概念矩阵秩的概念设设m X nm X n矩阵矩阵A A中，任取中，任取k k行与行与k k列（列（k≤mk≤m，，k≤nk≤n），位于这些行列交叉），位于这些行列交叉处的这处的这k k２２个元素，按原位置次序构成的个元素，按原位置次序构成的K K阶行列式，称为阶行列式，称为矩阵矩阵A A的的k k阶子阶子式．式．mXnmXn矩阵矩阵A A共有共有个个k k阶子式．阶子式．矩阵矩阵A A的秩就是的秩就是A A所有非零子式的最高阶数．所有非零子式的最高阶数． 只要只要A A不是零阵，不是零阵， 就有就有R R（（A A）＞０．并且秩有以下基本性质：）＞０．并且秩有以下基本性质：（（1 1）若）若R R（（A A）＝）＝r r，则，则A A中所有阶数大于中所有阶数大于r r的子式全为零，即的子式全为零，即r r为为A A中中不等于零的子式的最高阶数．不等于零的子式的最高阶数．（（2 2））R R（（A AT T）＝）＝R R（（A A）；）；R R（（kAkA）＝）＝R R（（A A），），k k为非零数．为非零数．（（3 3）若）若A A的所有的所有r r＋１阶子式都为零，则＋１阶子式都为零，则R R（（A A）＜）＜r r＋１；若＋１；若A A中存中存在一个在一个r r阶子式不为零，则阶子式不为零，则R R（（A A））≥r≥r．．6.5 6.5 矩阵的秩矩阵的秩例例6.216.21 求矩阵求矩阵的秩．的秩．解解　　A A的二阶子式的二阶子式而而A A的所有三阶子式都等于０的所有三阶子式都等于０即即所以，所以，R R（（A A）＝２）＝２6.5 6.5 矩阵的秩矩阵的秩定理１定理１ 矩阵经初等变换后，其秩不会改变．矩阵经初等变换后，其秩不会改变．例例6.226.22 求矩阵求矩阵的秩．的秩．解解6.5 6.5 矩阵的秩矩阵的秩由最后的矩阵可得三阶子式由最后的矩阵可得三阶子式第四行元素全为零，故所有四阶子式均为零，所以第四行元素全为零，故所有四阶子式均为零，所以R R（（A A）＝３）＝３. .而它的而它的满足下列两个条件的矩阵称为阶梯形矩阵．满足下列两个条件的矩阵称为阶梯形矩阵．（１）若矩阵有零行（元素全部为零的行），零行在下方．（１）若矩阵有零行（元素全部为零的行），零行在下方．（２）各非零行的第一个非零元素（称为首非零元，（２）各非零行的第一个非零元素（称为首非零元， 亦称主元）的亦称主元）的列标随着行标的递增而严格增大．列标随着行标的递增而严格增大．如矩阵如矩阵是一个阶梯形矩阵．是一个阶梯形矩阵．6.5 6.5 矩阵的秩矩阵的秩定理２定理２ 任意一个任意一个mXnmXn阵经过若干次初等行变换可以化成阶梯形矩阵．阵经过若干次初等行变换可以化成阶梯形矩阵．由定理１，定理２综合可得：矩阵由定理１，定理２综合可得：矩阵A A的秩为的秩为k k的充分必要条件是通过初的充分必要条件是通过初等行变换能将等行变换能将A A化成具有化成具有k k个非零行的阶梯形矩阵．个非零行的阶梯形矩阵．6.5.2 6.5.2 满秩矩阵满秩矩阵设矩阵设矩阵A A是是n n阶方阵，当阶方阵，当R R（（A A）＝）＝n n时，称时，称A A为满秩矩阵．如为满秩矩阵．如由于由于R R（（A A）＝３，故）＝３，故A A为满秩矩阵．为满秩矩阵．6.9 6.9 简单的线性规划问题简单的线性规划问题6.9.1 6.9.1 线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型数学模型方法是处理数学科学理论问题的一种经典方法，数学模型方法是处理数学科学理论问题的一种经典方法， 也是处也是处理各类实际问题的一般方法．在许多实际问题中总存在着已知量和未理各类实际问题的一般方法．在许多实际问题中总存在着已知量和未知量，知量， 若将这些量之间的依赖关系，用数学式子表示出来，那么把若将这些量之间的依赖关系，用数学式子表示出来，那么把这些数学式子就称为实际问题的数学模型这些数学式子就称为实际问题的数学模型. .例例6.316.31 某制药厂在计划期内要安排生产某制药厂在计划期内要安排生产ⅠⅠ、、ⅡⅡ两种药，这些药品分两种药，这些药品分别需要在别需要在A A、、B B、、C C、、D D这４种不同的设备上加工．按工艺规定，每千克这４种不同的设备上加工．按工艺规定，每千克药品药品ⅠⅠ和和ⅡⅡ在各台设备上所需要的加工台时数见在各台设备上所需要的加工台时数见表表6.16.1所示．已知各所示．已知各设备在计划期内有效台时数（１台设备工作１小时称为１台时）分别设备在计划期内有效台时数（１台设备工作１小时称为１台时）分别是是1212、、8 8、、1616和和1212．该制药厂每生产１千克药品．该制药厂每生产１千克药品ⅠⅠ可得利润可得利润200200元，每元，每生产１千克药品生产１千克药品ⅡⅡ可得利润可得利润300300元．问应如何安排生产计划，才能使元．问应如何安排生产计划，才能使制药厂利润最大？制药厂利润最大？6.9 6.9 简单的线性规划问题简单的线性规划问题解解目标函数目标函数约束条件约束条件例例6.326.32 用３种原料用３种原料B B１１、、B B２２、、B B３３ 配制某种食品，配制某种食品， 要求该食品中蛋白要求该食品中蛋白质、脂肪、糖、维生素的含量不低于质、脂肪、糖、维生素的含量不低于1212、、2020、、2525、、3030单位．以上３种原单位．以上３种原料的单价及每单位原料所含各种成分的数量，如料的单价及每单位原料所含各种成分的数量，如表表6.26.2所示．问应如何所示．问应如何配制该食品，使所需成本最低？配制该食品，使所需成本最低？6.9 6.9 简单的线性规划问题简单的线性规划问题解　解　设设x x1 1、、x x2 2、、x x3 3 分别表示原料分别表示原料B B1 1、、 B B2 2、、 B B3 3 的用量（千克），的用量（千克），S S表示食表示食品的成本（元），则这一食品配制问题变为品的成本（元），则这一食品配制问题变为目标函数目标函数6.9 6.9 简单的线性规划问题简单的线性规划问题约束条件约束条件线性规划的数学模型有如下特征．线性规划的数学模型有如下特征．（１）都有一组未知变量（（１）都有一组未知变量（x x1 1，，x x2 2，， ……，，x xn n）代表某一方案，）代表某一方案， 它们取它们取不同的非负值，代表不同的具体方案．不同的非负值，代表不同的具体方案．（２）都有一个目标要求，实现极大或极小．目标函数要用未知变量（２）都有一个目标要求，实现极大或极小．目标函数要用未知变量的线性函数表示．的线性函数表示．（３）未知变量受到一组约束条件的限制，这些约束条件用一组线性（３）未知变量受到一组约束条件的限制，这些约束条件用一组线性等式或不等式表示．等式或不等式表示．6.9 6.9 简单的线性规划问题简单的线性规划问题线性规划问题的一般形式线性规划问题的一般形式目标函数目标函数约束条件约束条件这里，这里，c c1 1x x1 1 ＋＋ c2 2x2 2 ＋＋ …… ＋＋ cn nxn n称为目标函数，记为称为目标函数，记为S S，根据研究，根据研究目标是最大值还是最小值，在目标函数前冠以目标是最大值还是最小值，在目标函数前冠以““maxmax””或或““minmin””，其中，，其中，c cj j（（j j＝１，２，＝１，２，……，，n n）称为成本或利润系数；）称为成本或利润系数；a aijij（（i i＝＝ １，２，１，２， ……，，m m；；j j＝＝ １，２，１，２， ……，，n n）称为约束条件中未知变量的系数；）称为约束条件中未知变量的系数；b bi i（（i i＝＝１，２，１，２，……，，m m）称为）称为限定系数．限定系数．6.9 6.9 简单的线性规划问题简单的线性规划问题6.9.2 6.9.2 线性规划问题的图解法线性规划问题的图解法１．１． 线性规划问题解的基本概念线性规划问题解的基本概念设线性规划问题的标准形式为设线性规划问题的标准形式为目标函数目标函数约束条件约束条件（１）可行解（１）可行解（２）最优解：（２）最优解：（３）最优值：（３）最优值：6.9 6.9 简单的线性规划问题简单的线性规划问题２．２． 两个变量的线性规划问题的图解法两个变量的线性规划问题的图解法例例6.336.33 图解法解线性规划问题图解法解线性规划问题目标函数目标函数约束条件约束条件解解在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，x x＋＋y≤y≤５表示直线５表示直线x x＋＋y y＝５及其左下方的＝５及其左下方的半平面．半平面．x x－－y≤y≤３表示直线３表示直线x x－－y y＝３及其左上方的半平面．＝３及其左上方的半平面．x x，，y≥y≥０表示只能取第一象限及其０表示只能取第一象限及其x x，，y y轴正半轴上的点．于是就构轴正半轴上的点．于是就构成了一个区域成了一个区域OADCOADC，如，如图６图６. .１１所示．所示．6.9 6.9 简单的线性规划问题简单的线性规划问题图６图６- -１１6.9 6.9 简单的线性规划问题简单的线性规划问题由由x x＋＋y y＝５与＝５与x x－－y y＝３解得＝３解得D D坐标为（４，１）．所以最优解为坐标为（４，１）．所以最优解为x x＝４，＝４，y y＝１，目标函数最大值为＝１，目标函数最大值为S S＝２＝２××４＋１＝９．４＋１＝９．例例6.346.34 用图解法解线性规划问题．用图解法解线性规划问题．目标函数目标函数约束条件约束条件解解 在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，由约束条件可得无界可行域由约束条件可得无界可行域G G，如，如图６图６- -２２所示．所示．图６图６- -２２6.9 6.9 简单的线性规划问题简单的线性规划问题由于目标函数由于目标函数S S＝３＝３x x＋２＋２y y表示以表示以S S为参数的一组平行线，当参数为参数的一组平行线，当参数S S的值的值越小，直线离原点越近，由越小，直线离原点越近，由图７图７- -２２可以看出，点可以看出，点B B就是满足条件的点．就是满足条件的点．因为点因为点B B坐标为（２，１），所以最优解为坐标为（２，１），所以最优解为x x＝２，＝２，y y＝１，目标函数最＝１，目标函数最小值为小值为S S＝３＝３××２＋２＝８．２＋２＝８．３．３． 线性规划问题的特点线性规划问题的特点（１）可行域总是凸边多形．（１）可行域总是凸边多形．（２）如果一个线性规划问题确实存在唯一的最优解，那么它必定可在（２）如果一个线性规划问题确实存在唯一的最优解，那么它必定可在其可行域的一个顶点上达到．其可行域的一个顶点上达到．（３）如果一个线性规划问题存在多重最优解，那么至少在其可行域有（３）如果一个线性规划问题存在多重最优解，那么至少在其可行域有两个相邻的顶点所对应的目标函数值相等，且达到最大值（或最两个相邻的顶点所对应的目标函数值相等，且达到最大值（或最小值）．小值）．（４）如果可行域中一个顶点的目标函数值比其相邻顶点的目标函数值（４）如果可行域中一个顶点的目标函数值比其相邻顶点的目标函数值要好的话，那么它就比其他所有顶点的目标函数值都要好，或者要好的话，那么它就比其他所有顶点的目标函数值都要好，或者说它就是一个最优解．说它就是一个最优解．本章小结本章小结 一、本章主要内容及学习要点一、本章主要内容及学习要点1. 1. 行列式行列式2.2.矩阵矩阵3.3.线性方程组线性方程组二、重点与难点二、重点与难点1. 1. 重点重点2. 2. 难点难点（１）消元法．（１）消元法．（２）线性方程组的判定．（２）线性方程组的判定．（３）线性方程组的通解．（３）线性方程组的通解．（４）矩阵的秩．（４）矩阵的秩．（３）矩阵的逆．（３）矩阵的逆．（２）矩阵的运算．（２）矩阵的运算．（１）矩阵的概念．（１）矩阵的概念．（１）行列式的概念和性质．（１）行列式的概念和性质．（２）行列式的计算．（２）行列式的计算．（３）用克莱姆法则求解线性方程组．（３）用克莱姆法则求解线性方程组．经济数学经济数学Economic mathematicsEconomic mathematics第第7 7章章 随机事件与概率随机事件与概率学习目标：学习目标：• •了解随机试验与随机事件的概念，理解并掌握事件的关系与运算．了解随机试验与随机事件的概念，理解并掌握事件的关系与运算．了解随机试验与随机事件的概念，理解并掌握事件的关系与运算．了解随机试验与随机事件的概念，理解并掌握事件的关系与运算．• •理解概率的定义和基本性质．理解概率的定义和基本性质．理解概率的定义和基本性质．理解概率的定义和基本性质．• •了解古典概型的定义，能够计算简单的古典概率．了解古典概型的定义，能够计算简单的古典概率．了解古典概型的定义，能够计算简单的古典概率．了解古典概型的定义，能够计算简单的古典概率．• •理解条件概率的定义，掌握概率的乘法公式．理解条件概率的定义，掌握概率的乘法公式．理解条件概率的定义，掌握概率的乘法公式．理解条件概率的定义，掌握概率的乘法公式．• •了解全概率公式并会简单计算．了解全概率公式并会简单计算．了解全概率公式并会简单计算．了解全概率公式并会简单计算．• •理解事件独立性的概念，熟练掌握相互独立事件的性质及相关概率理解事件独立性的概念，熟练掌握相互独立事件的性质及相关概率理解事件独立性的概念，熟练掌握相互独立事件的性质及相关概率理解事件独立性的概念，熟练掌握相互独立事件的性质及相关概率的计算方法．的计算方法．的计算方法．的计算方法．• •会计算产品的合格率，能预测某些简单经济现象及其组合发生的可会计算产品的合格率，能预测某些简单经济现象及其组合发生的可会计算产品的合格率，能预测某些简单经济现象及其组合发生的可会计算产品的合格率，能预测某些简单经济现象及其组合发生的可能性。

能性• •会用数值或字母表示经济现象变化的各种状况．会用数值或字母表示经济现象变化的各种状况．会用数值或字母表示经济现象变化的各种状况．会用数值或字母表示经济现象变化的各种状况．7.1 7.1 随机事件随机事件7.1.1 7.1.1 随机事件的概念随机事件的概念随机试验的每一个可能发生的结果称为随机事件，简称事件．随机试验的每一个可能发生的结果称为随机事件，简称事件． 通常用通常用大写字母大写字母A A、、B B、、C C、、…… 表示．不能再分解的随机事件称为基本事件表示．不能再分解的随机事件称为基本事件在一定条件下肯定要发生的事件称为必然事件，在一定条件下肯定要发生的事件称为必然事件， 常用常用Ω Ω 表示；表示； 在在一定条件下不可能发生的事件称为不可能事件，一定条件下不可能发生的事件称为不可能事件， 常用常用Φ Φ 表示．表示． 必然必然事件和不可能事件都属于确定性现象事件和不可能事件都属于确定性现象7.1.2 7.1.2 事件间的关系及运算事件间的关系及运算１．包含关系１．包含关系如果事件如果事件A A发生必然导致事件发生必然导致事件B B发生，则称事件发生，则称事件A A包含于事件包含于事件B B或或称事件称事件B B包含事件包含事件A A，记作，记作A A B B或或B B A A，如，如图７图７. .１１所示．所示．7.1 7.1 随机事件随机事件２．２． 相等关系相等关系３．３． 事件的积（交）事件的积（交）如果如果A A B B，，B B A A同时成立，则称事件同时成立，则称事件A A与事件与事件B B相等，记作相等，记作A A＝＝B B．．由事件由事件A A与与B B同时发生构成的事件，称为事件同时发生构成的事件，称为事件A A与与B B的积（交），记作的积（交），记作ABAB或或A∩BA∩B，如，如图７图７. .２２阴影部分所示．阴影部分所示．对任意事件对任意事件A A，有，有A A··A A＝＝A A，，A A··Ω Ω ＝＝A A，，A A··Φ Φ ＝＝ΦΦ．．图图7.27.27.1 7.1 随机事件随机事件４．４． 事件的并（和）事件的并（和）由事件由事件A A与与B B至少有一个发生构成的事件，称为事件至少有一个发生构成的事件，称为事件A A与与B B的和（并），记的和（并），记作作A A＋＋B B或或A∪BA∪B，如，如图７图７. .３３阴影部分所示．阴影部分所示．对任意事件对任意事件A A，，A A＋＋A A＝＝A A，，A A＋＋Ω Ω ＝＝ΩΩ，，A A＋＋Φ Φ ＝＝A A．．图图7.37.37.1 7.1 随机事件随机事件５．５． 事件的差事件的差由事件由事件A A发生而事件发生而事件B B不发生构成的事件，称为事件不发生构成的事件，称为事件A A与与B B的差，记作的差，记作A A－－B B，如，如图７图７. .４４阴影部分所示．阴影部分所示．图７图７. .４４7.1 7.1 随机事件随机事件６．６． 互不相容事件（互斥事件）互不相容事件（互斥事件）若事件若事件A A与与B B不能同时发生，即不能同时发生，即ABAB＝＝ΦΦ，则称事件，则称事件A A与与B B互不相容互不相容（或互斥），如（或互斥），如图７图７. .５５所示．所示．图７图７.5.57.1 7.1 随机事件随机事件７．７． 互逆事件（对立事件）互逆事件（对立事件）若事件若事件A A与与B B满足：满足：A A＋＋B B＝＝ΩΩ，，ABAB＝＝ΦΦ，则称事件，则称事件A A与与B B互逆（或对互逆（或对立），如立），如图７图７. .６６所示．．事件所示．．事件A A的逆事件记作的逆事件记作 ，即，即 由由图图7.67.6知，对任意事件知，对任意事件A A，有，有图７图７.5.57.1 7.1 随机事件随机事件事件的运算满足以下规律．事件的运算满足以下规律．（１）交换律：（１）交换律：（２）结合律：（２）结合律：（３）分配律：（３）分配律：（４）德摩根律：（４）德摩根律：7.2 7.2 随机事件的概率随机事件的概率7.2.17.2.1　概率的统计定义　概率的统计定义定义在一个随机试验中，如果随着试验次数的增大，事件定义在一个随机试验中，如果随着试验次数的增大，事件A A出现的频率出现的频率m/nm/n在某个常数在某个常数P P附近摆动，那么定义事件附近摆动，那么定义事件A A的概率为的概率为P P，记作，记作P(A)P(A)＝＝P P．．概率的这种定义，称为概率的这种定义，称为概率的统计定义概率的统计定义．．性质１性质１ 对任一事件对任一事件A A，有，有性质２性质２性质３性质３7.2.27.2.2　古典概型　古典概型定义如果古典概型中的所有基本事件的个数是定义如果古典概型中的所有基本事件的个数是n n，事件，事件A A包含的基本事包含的基本事件的个数是件的个数是m m，则事件，则事件A A的概率为的概率为概率的这种定义，称为概率的古典定义．概率的这种定义，称为概率的古典定义．7.2 7.2 随机事件的概率随机事件的概率古典概型具有下列性质．古典概型具有下列性质．（１）非负性：０（１）非负性：０≤P≤P（（A A））≤≤１．１．（２）规范性：（２）规范性：P P（（ΩΩ）＝１，）＝１，P P（（ΦΦ）＝０．）＝０．（３）可加性：若（３）可加性：若A∩BA∩B＝＝ΦΦ，则，则P P（（A∪BA∪B）＝）＝P P（（A A）＋）＋P P（（B B））例例7.27.2 掷一枚质地均匀的骰子，观察出现的点数．掷一枚质地均匀的骰子，观察出现的点数．（１）出现偶数点的概率；（１）出现偶数点的概率；（２）出现点数大于４的概率．（２）出现点数大于４的概率．解解 设设A A＝＝ ｛出现偶数点｝，｛出现偶数点｝，B B＝＝ ｛出现点数大于４｝｛出现点数大于４｝本试验是古典概型，且基本事件的总数本试验是古典概型，且基本事件的总数n n＝６，＝６，““出现偶数点出现偶数点””的的事件含有事件含有““出现２点、４点、６点出现２点、４点、６点””３个基本事件；３个基本事件；““出现点数大于出现点数大于４４””的事件含有的事件含有““出现５点、６点出现５点、６点””两个基本事件，所以两个基本事件，所以7.2 7.2 随机事件的概率随机事件的概率7.2.3 7.2.3 概率的加法公式概率的加法公式互不相容事件的加法公式互不相容事件的加法公式若若A A··B B＝＝ΦΦ，则，则P P（（A A＋＋B B）＝）＝P P（（A A）＋）＋P P（（B B））推论１推论１ 若事件若事件A A１１，，A A２２，，……，，A An n两两互不相容，则两两互不相容，则即互斥事件之和的概率等于各事件的概率之和．即互斥事件之和的概率等于各事件的概率之和．推论２推论２ 设设A A为任一随机事件，则为任一随机事件，则推论３推论３ 若事件若事件A A B B，则，则 P P（（A A－－B B）＝）＝P P（（A A）－）－P P（（B B））定理定理 对任意两个事件对任意两个事件A A，，B B有有P P（（A A＋＋B B）＝）＝P P（（A A）＋）＋P P（（B B）－）－P P（（A A··B B））推论４推论４ 设设A A、、B B、犆为任意３个事件，则、犆为任意３个事件，则7.2 7.2 随机事件的概率随机事件的概率例例7.57.5 某设备由甲、乙两个部件组成，当超载负荷时，各自出故障的概某设备由甲、乙两个部件组成，当超载负荷时，各自出故障的概率分别为率分别为0.900.90和和0.850.85，， 同时出故障的概率是同时出故障的概率是0.800.80．． 求超载负荷时至少求超载负荷时至少有一个部件出故障的概率．有一个部件出故障的概率．解解 设设A A＝＝ ｛甲部件出故障｝，｛甲部件出故障｝，B B＝＝ ｛乙部件出故障｝，｛乙部件出故障｝， 则则P P（（A A））＝＝ 0.90 0.90 ，，P P（（B B）＝）＝ 0.85 0.85 ，，P P（（A A··B B）＝）＝ 0.800.80于是于是P P（（A A＋＋B B）＝）＝P P（（A A）＋）＋P P（（B B）－）－P P（（A A··B B））＝＝0.900.90＋＋ 0.85 0.85 －－0.800.80＝＝0.950.95即超载负荷时至少有一个部件出故障的概率为即超载负荷时至少有一个部件出故障的概率为0.950.95．．7.3 7.3 条件概率和全概率公式条件概率和全概率公式7.3.1 7.3.1 条件概率条件概率定义定义 设设A A、、B B是随机试验的两个事件，且是随机试验的两个事件，且P P（（B B））≠≠０，则称０，则称为已知为已知B B发生时发生时A A发生的条件概率，或发生的条件概率，或A A关于关于B B的条件概率，记作的条件概率，记作P P（（A|BA|B）．）．同理可定义事件同理可定义事件A A发生的条件下事件发生的条件下事件B B发生的条件概率发生的条件概率例例7.67.6 设设100100件某产品中有５件不合格品，而５件不合格品中又有３件件某产品中有５件不合格品，而５件不合格品中又有３件次品，两件废品．现在次品，两件废品．现在100100件产品中任意抽取１件，求：件产品中任意抽取１件，求：（１）抽到废品的概率；（１）抽到废品的概率；（２）已知抽到不合格品，求它是废品的概率．（２）已知抽到不合格品，求它是废品的概率．解解 记记A A＝＝ ““抽到不合格品抽到不合格品””，，B B＝＝ ““抽到废品抽到废品””，， 则则ABAB＝＝ ““抽到不合格品且是废品抽到不合格品且是废品””．．7.3 7.3 条件概率和全概率公式条件概率和全概率公式（（1 1））（（2 2）） 由于５件不合格品有２件废品．由于５件不合格品有２件废品．于是于是例例7.77.7 某种元件用满某种元件用满60006000ｈ未坏的概率是３ｈ未坏的概率是３/ /４，用满４，用满1000010000ｈ未坏的ｈ未坏的概率是１概率是１/ /２．现有一个此种元件，已经用过２．现有一个此种元件，已经用过60006000ｈ未坏，问它能用ｈ未坏，问它能用到到1000010000ｈ的概率．ｈ的概率．解解 设设A A表示｛用满表示｛用满1000010000ｈ未坏｝ｈ未坏｝B B表示｛用满表示｛用满60006000ｈ未坏｝ｈ未坏｝则则7.3 7.3 条件概率和全概率公式条件概率和全概率公式由于由于故故7.3.2 7.3.2 乘法公式乘法公式将条件概率公式以另一种形式写出，就是乘法公式的一般形式．将条件概率公式以另一种形式写出，就是乘法公式的一般形式．乘法公式：乘法公式：或或例例7.87.8 设设100100件产品中有５件是不合格品，用下列两种方法抽取件产品中有５件是不合格品，用下列两种方法抽取两件，求两件都是合格品的概率．两件，求两件都是合格品的概率．（１）不放回地依次抽取；（１）不放回地依次抽取；（２）有放回地依次抽取．（２）有放回地依次抽取．7.3 7.3 条件概率和全概率公式条件概率和全概率公式解解 设设 A A＝＝ ““第一次抽到合格品第一次抽到合格品””，，B B＝＝ ““第二次抽到合格第二次抽到合格品品””，则，则ABAB＝＝ ““抽到两件都是合格品抽到两件都是合格品””．．（１）不放回地依次抽取，两件都是合格品的概率：（１）不放回地依次抽取，两件都是合格品的概率：（２）有放回地依次抽取，两件都是合格品的概率：（２）有放回地依次抽取，两件都是合格品的概率：例例7.97.9 一批产品中有３％一批产品中有３％ 的废品，而合格品中一等品占４５％．从的废品，而合格品中一等品占４５％．从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率．这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率．解解 设设A A＝＝ ““取出一等品取出一等品””，，B B＝＝ ““取出合格品取出合格品””，，C C＝＝ ““取出废取出废品品””，于是，于是7.3 7.3 条件概率和全概率公式条件概率和全概率公式对于３对于３ 个事件个事件A A１１，，A A２２，，A A３３，，P P（（A A１１A A２２））≠≠０，则０，则7.3.3 7.3.3 全概率公式全概率公式全概率公式全概率公式：设：设A A１１，，A A２２，， ……，，A An n是两两互斥事件，是两两互斥事件， 且且A A１１，，A A２２，， ……，，A An n ＝＝ ΩΩ，，P P（（A Ai i）＞０（）＞０（i i＝１，２，＝１，２，……，，n n），则对任意事件），则对任意事件B B，，有有7.3 7.3 条件概率和全概率公式条件概率和全概率公式例例7.107.10 某厂有４条流水线生产同一产品，该４条流水线的产量分别占总某厂有４条流水线生产同一产品，该４条流水线的产量分别占总产量的产量的1515％，％，2020％，％，3030％，％，3535％，％， 各流水线的次品率分别为各流水线的次品率分别为0.050.05，，0.040.04，， 0.03 0.03 ，， 0.02 0.02 ．． 从出厂产品中随机抽取一件，求此产品为次品的概从出厂产品中随机抽取一件，求此产品为次品的概率是多少？率是多少？解解 设设B B＝＝ ｛任取一件产品是次品｝｛任取一件产品是次品｝A Ai i＝＝ ｛第｛第i i条流水线生产的产品｝（条流水线生产的产品｝（i i＝１，２，３，４），则＝１，２，３，４），则P P（（A A１１）＝）＝1515％，％， P P（（A A２２）＝）＝2020％％P P（（A A３３）＝）＝3030％，％， P P（（A A４４）＝）＝3535％％P P（（B|AB|A１１）＝）＝0.050.05，， P P（（B|AB|A２２）＝）＝0.040.04P P（（B|AB|A３３）＝）＝0.030.03，， P P（（B|AB|A４４）＝）＝0.020.02于是：于是：7.4 7.4 事件的独立性与伯努利概型事件的独立性与伯努利概型7.4.1 7.4.1 事件的独立性事件的独立性定义定义 如果在两个事件如果在两个事件A A、、B B中，中， 任一事件的发生不影响另一事件的发生任一事件的发生不影响另一事件的发生的概率，即的概率，即则称事件则称事件A A与事件与事件B B是相互独立的；否则，称为是不独立的．是相互独立的；否则，称为是不独立的．性质１性质１ 两个事件两个事件A A，，B B相互独立的充分必要条件是：相互独立的充分必要条件是：P P（（ABAB）＝）＝P P（（A A））··P P（（B B）．）．性质２性质２ 若事件若事件A A，，B B相互独立，则事件相互独立，则事件A A与与B B，，A A 与与 B B，，A A与与B B也相互独立也相互独立例例7.117.11 甲、乙两人考大学，甲考上的概率是甲、乙两人考大学，甲考上的概率是0.70.7，， 乙考上的概率是乙考上的概率是0.80.8．． 问（１）甲、乙两人都考上的概率是多少？（２）甲乙两人至少一人问（１）甲、乙两人都考上的概率是多少？（２）甲乙两人至少一人考上大学的概率是多少？考上大学的概率是多少？解解 设设A A＝＝ ｛甲考上大学｝，｛甲考上大学｝，B B＝＝ ｛乙考上大学｝，则｛乙考上大学｝，则P P（（A A）＝）＝0.70.7，，P P（（B B）＝）＝0.80.87.4 7.4 事件的独立性与伯努利概型事件的独立性与伯努利概型（１）甲、乙两人考上大学的事件是相互独立的，（１）甲、乙两人考上大学的事件是相互独立的， 故甲、乙两人同故甲、乙两人同时考上大学的概率是时考上大学的概率是（２）甲、乙两人至少一人考上大学的概率是（２）甲、乙两人至少一人考上大学的概率是7.4.2 7.4.2 伯努利概型伯努利概型定义定义 将某一试验重复将某一试验重复n n次，这次，这n n次试验满足以下条件．次试验满足以下条件．（１）每次试验条件相同，（１）每次试验条件相同， 其基本事件只有两个，其基本事件只有两个， 设设A A和和A A，， 并并且且 P P（（A A）＝）＝ P P，，P P（（A A）＝１－）＝１－P P．．（２）各次试验结果之间互不影响，相互独立．（２）各次试验结果之间互不影响，相互独立．此时，称此时，称n n次重复试验为伯努利概型．次重复试验为伯努利概型．7.4 7.4 事件的独立性与伯努利概型事件的独立性与伯努利概型定理１定理１ 设在设在n n重伯努利试验中，事件重伯努利试验中，事件A A的概率为的概率为P P（０＜（０＜P P＜１），则在＜１），则在n n次试验中事件次试验中事件A A发生发生k k次概率为次概率为其中其中p p＋＋q q＝１，＝１，k k＝０，１，２，＝０，１，２，……，，n n．．例例7.137.13 某工厂生产某种元件的次品率为２％，现从该厂产品中重复某工厂生产某种元件的次品率为２％，现从该厂产品中重复抽样检查１０个元件，问恰好有两个次品的概率是多少？抽样检查１０个元件，问恰好有两个次品的概率是多少？解解 由于由于““重复抽样检查重复抽样检查1010个元件个元件””就是独立地重复进行就是独立地重复进行1010次试验，而次试验，而每次试验仅有正品或次品两种可能的结果，所以是伯努利概型．每次试验仅有正品或次品两种可能的结果，所以是伯努利概型．令令A A＝＝ ““任意抽取１０个元件中恰有两个次品任意抽取１０个元件中恰有两个次品””推论推论 ““在在n n次试验中事件次试验中事件A A至少发生至少发生k k次次””的概率为的概率为7.4 7.4 事件的独立性与伯努利概型事件的独立性与伯努利概型其中其中p p＋＋q q＝１＝１例例7.147.14 某射手每次击中目标的概率为某射手每次击中目标的概率为0.60.6，如果射击，如果射击5 5次，试求至少击中次，试求至少击中两次的概率．两次的概率．解解 设设A A＝＝ ｛至少击中二次｝｛至少击中二次｝本章小结本章小结 一、本章主要内容及学习要点一、本章主要内容及学习要点二、重点与难点二、重点与难点1. 1. 重点重点2. 2. 难点难点（１）理解随机事件的概率时，要深刻体会它的（１）理解随机事件的概率时，要深刻体会它的“随机性随机性”（２）古典概型和伯努利概型是两个比较基本而又重要的试验模型．（２）古典概型和伯努利概型是两个比较基本而又重要的试验模型．（３）统计概率、古典概率和条件概率是３个不同意义下的概率．（３）统计概率、古典概率和条件概率是３个不同意义下的概率．（４）加法公式就事件之间的关系而言，分为互不相容和一般情形两种（４）加法公式就事件之间的关系而言，分为互不相容和一般情形两种公式．公式．经济数学经济数学Economic mathematicsEconomic mathematics第第8 8章章 随机变量及其数字特征随机变量及其数字特征学习目标学习目标•了解随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量、分布函数的概念了解随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量、分布函数的概念和性质．和性质．•掌握利用概率分布列、概率密度及分布函数计算有关事件概率的方法掌握利用概率分布列、概率密度及分布函数计算有关事件概率的方法．预测离散或连续变化的经济现象变化的状况及其发生的可能性．．预测离散或连续变化的经济现象变化的状况及其发生的可能性．•熟练掌握正态分布的概率计算，会查正态分布表．熟练掌握正态分布的概率计算，会查正态分布表．•理解数学期望、方差与标准差的概念，了解期望、方差的性质，掌握理解数学期望、方差与标准差的概念，了解期望、方差的性质，掌握求随机变量期望、方差的方法．会利用随机变量的期望和方差解答经求随机变量期望、方差的方法．会利用随机变量的期望和方差解答经济生活中的相关案例．济生活中的相关案例．•掌握两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分掌握两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布等概率分布及它们的期望与方差．布等概率分布及它们的期望与方差．•掌握求随机变量函数数学期望的方法．掌握求随机变量函数数学期望的方法．8.1 8.1 随机变量随机变量例例8.18.1 在在1010件同类型产品中，有３件次品，现任取两件，用一个变量件同类型产品中，有３件次品，现任取两件，用一个变量X X表表示示““两件中的次品数两件中的次品数””，，X X的取值是随机的，可能的取值为０，１，２．的取值是随机的，可能的取值为０，１，２． 显然显然““X X＝０＝０””表示次品数为零，它与事件表示次品数为零，它与事件““取出两件中没有次品取出两件中没有次品””是等是等价的．由此可知，价的．由此可知，““X X＝１＝１””等价于等价于““恰好有１件次品恰好有１件次品””，，““X X＝２＝２””等等价于价于““恰好有两件次品恰好有两件次品””．于是由古典概型可求得．于是由古典概型可求得此结果可以统一写成此结果可以统一写成8.1 8.1 随机变量随机变量例８．２例８．２ 某选手射击的命中率为某选手射击的命中率为P P＝０．４，现射击５次，命中次数用＝０．４，现射击５次，命中次数用Y Y表示，它的取值是随机的，可能的取值有０，１，２，３，４，５，表示，它的取值是随机的，可能的取值有０，１，２，３，４，５，显然显然““Y Y＝＝i i””等价于等价于““５次射击中，５次射击中， 恰有恰有i i次命中次命中””（（i i＝０，１，＝０，１，……，５），由于各次试验都是独立进行的，由伯努利概型公式得，５），由于各次试验都是独立进行的，由伯努利概型公式得上面两个例子中的上面两个例子中的X X，，Y Y具有下列特征：具有下列特征：（１）取值是随机的，事前并不知道取到哪一个值．（１）取值是随机的，事前并不知道取到哪一个值．（２）所取的每一个值，都相应于某一随机现象．（２）所取的每一个值，都相应于某一随机现象．（３）所取的每个值的概率大小是确定的．（３）所取的每个值的概率大小是确定的．8.1 8.1 随机变量随机变量8.1.1 8.1.1 随机变量的定义随机变量的定义一般地，如果一个变量，它的取值随着试验结果的不同而变化着，一般地，如果一个变量，它的取值随着试验结果的不同而变化着，当试验结果确定后，它所取的值也就相应的确定，这种变量称为随机当试验结果确定后，它所取的值也就相应的确定，这种变量称为随机变量．随机变量可用大写英文字母变量．随机变量可用大写英文字母X X、、Y Y、、Z Z、、……（或希腊字母（或希腊字母ξξ，，ηη，，……）表示．）表示．(1)(1) 随机变量与一般变量的区别：随机变量与一般变量的区别：8.1.2 8.1.2 随机变量的分类随机变量的分类１．１． 离散型随机变量离散型随机变量定义定义 若随机变量若随机变量X X的所有可能取值是可以一一列举出来的（即的所有可能取值是可以一一列举出来的（即取值是有限个或可列个），则称取值是有限个或可列个），则称X X为离散型随机变量．为离散型随机变量．该离散型随机变量该离散型随机变量X X的所有取值为的所有取值为x x１，１，x x２，２，……，，xnxn，并且，并且X X取取各个可能值的概率分别为各个可能值的概率分别为8.1 8.1 随机变量随机变量称上式为离散型随机变量称上式为离散型随机变量X X的概率分布，简称的概率分布，简称分布列分布列或或分布分布．为清．为清楚起见，楚起见，X X 及其分布列也可以用表格的形式表示．及其分布列也可以用表格的形式表示．分布列具有以下两个性质．分布列具有以下两个性质．性质１性质１ ００≤P≤Pk k≤≤１１ k k＝１，２，＝１，２，……，，n n性质２性质２２．２． 连续型随机变量连续型随机变量定义定义 设随机变量设随机变量 X X，如果存在非负函数，如果存在非负函数f f（（x x）（－）（－ ∞ ∞ ＜＜x x＜＜＋＋ ∞∞），使得对任意实数），使得对任意实数a≤ba≤b，有，有8.1 8.1 随机变量随机变量（即取值可包括某实数区间的全部值）则称（即取值可包括某实数区间的全部值）则称 X X 为为连续型随机变量连续型随机变量，，称称f f（（x x）为）为 X X 的概率密度函数，简称的概率密度函数，简称概率密度概率密度或或分布密度分布密度．．概率密度有下列性质．概率密度有下列性质．性质１性质１ f f（（x x））≥≥０（因为概率不能小于零）；０（因为概率不能小于零）；性质２性质２例例8.38.3 若若为随机变量为随机变量X X的密度函的密度函数，试求系数数，试求系数k k解解　根据概率密度函数的性质２，可得　根据概率密度函数的性质２，可得所以所以 k k＝１＝１/ /２２8.2 8.2 分布函数分布函数8.2.1 8.2.1 分布函数的定义分布函数的定义设设X X是一个随机变量，称函数是一个随机变量，称函数F F（（x x）＝）＝P P（（X≤xX≤x）为随机变量）为随机变量X X的分布的分布函数，记作函数，记作X X～～F F（（x x））对于离散型随机变量对于离散型随机变量X X，若它的概率分布是，若它的概率分布是PkPk＝＝P P（（X X＝＝x xk k），（），（k k＝＝１，２，１，２，……），则），则X X的分布函数为的分布函数为对于连续型随机变量对于连续型随机变量X X，其概率密度为，其概率密度为f f（（x x），则它的分布函数为），则它的分布函数为即分布函数是概率密度的变上限的定积分．即分布函数是概率密度的变上限的定积分．由微分知识可得：由微分知识可得：F′F′（（x x）＝）＝f f（（x x））8.2 8.2 分布函数分布函数分布函数具有如下性质．分布函数具有如下性质．性质１性质１ ００≤F≤F（（x x））≤≤１（因为１（因为F F（（x x）就是某种概率））就是某种概率）性质２性质２ F F（（x x）单调不减函数，且）单调不减函数，且性质３性质３或或8.2 8.2 分布函数分布函数8.2.2 8.2.2 分布函数的计算分布函数的计算例例8.48.4 设随机变量设随机变量X X的分布列为的分布列为求求X X的分布函数．的分布函数．解解 当当x x＜－１时，因为事件｛＜－１时，因为事件｛X≤xX≤x｝＝｝＝ΦΦ，所以，所以F F（（x x）＝０）＝０当－１当－１≤x≤x＜０时，有＜０时，有当０当０≤x≤x＜１时，有＜１时，有8.2 8.2 分布函数分布函数当当x≥x≥１时，有１时，有故故X X的分布函数为的分布函数为例例8.5 8.5 设随机变量设随机变量X X的概率密度为的概率密度为求求X X的分布函数的分布函数F F（（x x））. .8.2 8.2 分布函数分布函数解解 由分布函数定义由分布函数定义可得：可得： 当当x x＜＜a a时，时，f f（（x x）＝０，故）＝０，故F F（（x x）＝０）＝０当当a≤xa≤x＜＜b b时，时，故故当当b≤xb≤x时，时，f f（（x x）＝０，故）＝０，故故故X X的分布函数为的分布函数为8.2 8.2 分布函数分布函数求求 ① P① P（（X≤X≤０．５）０．５）② P② P（０．２＜（０．２＜ X X＜０．８）＜０．８）③ ③ 密度函数密度函数φφ（（x x））解解　　① ① 由分布函数定义：由分布函数定义：② P(0.2② P(0.2＜＜X X＜＜0.80.8）＝）＝F(0.8F(0.8）－）－F(0.5F(0.5）＝）＝0.4080.408③F③F（（x x）是连续函数，根据分布函数与概率密度的关系得）是连续函数，根据分布函数与概率密度的关系得8.3 8.3 几种常见随机变量的分布几种常见随机变量的分布8.3.1 8.3.1 几种常见离散型随机变量的分布几种常见离散型随机变量的分布１．１． 两点分布（０－１分布）两点分布（０－１分布）若随机变量若随机变量X X只取０，１两个值，且只取０，１两个值，且则称则称X X服从两点分布或者称０－１分布．服从两点分布或者称０－１分布．２．２． 二项分布二项分布随机变量随机变量X X的概率分布为的概率分布为其中０＜其中０＜p p＜１，则称随机变量＜１，则称随机变量X X服从参数服从参数n n，，P P的二项分布，记的二项分布，记作作X X～～B B（（n n，，P P））8.3 8.3 几种常见随机变量的分布几种常见随机变量的分布３．３． 泊松分布泊松分布设随机变量设随机变量X X取值为０，１，２，取值为０，１，２，……，其相应的概率分布为：，其相应的概率分布为：其中其中λ λ 为参数（为参数（λ λ ＞０），则称＞０），则称X X服从泊松分布，记作服从泊松分布，记作P P（（λλ））例例8.78.7 假设３人进入一家服装店，每个人购买的概率均为假设３人进入一家服装店，每个人购买的概率均为0.30.3，，而且彼此相互独立，求：而且彼此相互独立，求：（１）３人中两个人购买的概率是多少？（１）３人中两个人购买的概率是多少？（２）３人中至少两个人购买的概率是多少？（２）３人中至少两个人购买的概率是多少？（３）３人中至多两个人购买的概率是多少？（３）３人中至多两个人购买的概率是多少？解解 设设X X为３人中购买服装的人数，则为３人中购买服装的人数，则X X服从服从n n＝３，＝３，P P＝＝0.30.3的二的二项分布．项分布．8.3 8.3 几种常见随机变量的分布几种常见随机变量的分布（１）３人中２人购买的概率，即（１）３人中２人购买的概率，即X X＝２的概率，由二项分布的概率＝２的概率，由二项分布的概率公式得公式得（２）３人中至少有２人购买的概率是包括（２）３人中至少有２人购买的概率是包括X X＝２和＝２和X X＝３的概率，即＝３的概率，即（３）３人中至多有二人购买的概率包括（３）３人中至多有二人购买的概率包括X X＝０，＝０，X X＝１，＝１，X X＝２的概率，＝２的概率，即即8.3 8.3 几种常见随机变量的分布几种常见随机变量的分布例例8.88.8 交换台每分钟接到的呼唤次数交换台每分钟接到的呼唤次数X X为随机变量，设为随机变量，设X X～～P(4)P(4)，求一，求一分钟内呼叫次数（１）恰好为８次的概率；（２）不超过一次的概率．分钟内呼叫次数（１）恰好为８次的概率；（２）不超过一次的概率．解解 这里的这里的λ λ ＝４，故＝４，故当当n n很大，很大，p p很小时，二项分布可以用泊松分布近似，有很小时，二项分布可以用泊松分布近似，有其中其中λλ＝＝npnp，也就是说，泊松分布可以看做是一个概率很小的事件在大，也就是说，泊松分布可以看做是一个概率很小的事件在大量试验中出现次数的概率分布．实际计算中，当量试验中出现次数的概率分布．实际计算中，当n n＞＞1010，，P P＜＜0.0.１时，就可１时，就可以用上述的近似公式以用上述的近似公式8.3 8.3 几种常见随机变量的分布几种常见随机变量的分布8.3.2 8.3.2 几种常见连续型随机变量的分布几种常见连续型随机变量的分布１．１． 均匀分布均匀分布如果随机变量如果随机变量X X的概率密度为的概率密度为则称则称X X服从［服从［a a，，b b］上的均匀分布，记作］上的均匀分布，记作U U（（a a，，b b））例例8.9 8.9 设随机变量设随机变量X X服从［服从［a a，，b b］上的均匀分布，］上的均匀分布，求求P P（（c≤X≤dc≤X≤d），其中），其中a≤ca≤c＜＜d≤bd≤b．．解解8.3 8.3 几种常见随机变量的分布几种常见随机变量的分布例８例８.10.10 某城市某一个交通路口红灯的时间长度为某城市某一个交通路口红灯的时间长度为5050ｓ，某汽车在路ｓ，某汽车在路口等候的时间长度为一个随机变量．设其服从均匀分布，求该车等候口等候的时间长度为一个随机变量．设其服从均匀分布，求该车等候时间在时间在1010ｓ～ｓ～3030ｓ的概率是多少？ｓ的概率是多少？解解 设设X X为该车在路口等待的时间长度，由题意为该车在路口等待的时间长度，由题意X X服从区间［服从区间［0,500,50］］上的均匀分布：上的均匀分布：２．２． 正态分布正态分布若随机变量若随机变量X X的概率密度函数为的概率密度函数为其中其中μμ，，δδ（（δ δ ＞０）都是常数，则称＞０）都是常数，则称X X服从参数服从参数μμ，，δ δ 正态分正态分布，记作布，记作8.3 8.3 几种常见随机变量的分布几种常见随机变量的分布特别地，当特别地，当μμ＝０，＝０，δδ＝１时，＝１时，X X的概率密度函数为的概率密度函数为（－（－∞ ∞ ＜＜x x＜＋＜＋∞∞），这时，称随机变量），这时，称随机变量X X服从标准正态分布，记做服从标准正态分布，记做X X～～ N N（０，１）．（０，１）．标准正态分布的密度函数是偶函数：标准正态分布的密度函数是偶函数： 其函数图形关于其函数图形关于y y轴对称，如轴对称，如图图8.18.1所示．所示．图８图８. .１１8.3 8.3 几种常见随机变量的分布几种常见随机变量的分布利用微积分的知识可知道正态分布的概率函数的性质．利用微积分的知识可知道正态分布的概率函数的性质．（１）（１）f f（（x x）以）以x x＝＝μ μ 为对称轴，并在为对称轴，并在x x＝＝μ μ 处达到最大，最大值为处达到最大，最大值为（２）当（２）当x→x→±± ∞ ∞ 时，时，f f（（x x））→→０，即０，即f f（（x x）以）以x x轴为渐近线．轴为渐近线．（３）用求导的方法可以证明，（３）用求导的方法可以证明，x x＝＝μμ±±δ δ 为为f f（（x x）的两个拐点的横坐）的两个拐点的横坐标，且标，且δ δ 为拐点到对称轴的距离．为拐点到对称轴的距离．（４）若固定（４）若固定 δ δ 而改变而改变 μ μ 的值，则正态分布曲线沿着的值，则正态分布曲线沿着 x x 轴平行移动轴平行移动而不改变形状，可见曲线的位置完全由参数而不改变形状，可见曲线的位置完全由参数 μ μ 决定；若固定决定；若固定 μ μ 而改而改变变 δ δ 的值，则当的值，则当 δ δ 越小图形变得越陡峭；反之，则越平缓，因此越小图形变得越陡峭；反之，则越平缓，因此 δ δ 的值刻画了随机变量取值的分散程度，即的值刻画了随机变量取值的分散程度，即 δ δ 越小，取值分散程度越小；越小，取值分散程度越小；δ δ 越大，取值的分散程度越大，如越大，取值的分散程度越大，如图图8.28.2所示．所示．8.3 8.3 几种常见随机变量的分布几种常见随机变量的分布图图8.28.28.3 8.3 几种常见随机变量的分布几种常见随机变量的分布３．３． 正态分布的概率计算正态分布的概率计算（１）标准正态分布的概率计算．（１）标准正态分布的概率计算．设设X X～～ N N（０，１），（０，１）， 由标准正态分布的密度函数由标准正态分布的密度函数φφ（（x x），可计算），可计算随机变量随机变量X X 在任一区间上取值的概率．为了计算的方便，书中附表在任一区间上取值的概率．为了计算的方便，书中附表（标准正态分布数值表）已给出了随机变量（标准正态分布数值表）已给出了随机变量X X在区间（－在区间（－ ∞∞，，x x］（］（X≥X≥０）上取值的概率，并记作０）上取值的概率，并记作ΦΦ（（x x），即），即上式的几何意义就是上式的几何意义就是图图8.38.3中阴影部分的面积．中阴影部分的面积．即即 P P（（a a＜＜X≤bX≤b）＝）＝ΦΦ（（b b）－）－ΦΦ（（a a））8.3 8.3 几种常见随机变量的分布几种常见随机变量的分布图图8.38.38.3 8.3 几种常见随机变量的分布几种常见随机变量的分布用标准正态分布函数值表时，有一下几种情况．用标准正态分布函数值表时，有一下几种情况．（１）因表中（１）因表中x x的取值范围为［的取值范围为［0.30.3，，3.093.09］，因此，当］，因此，当x∈ x∈ ［［0.30.3，， 3.09 3.09 ］时，可直接查表，对于］时，可直接查表，对于x x＞＞ 3.09 3.09 ，取，取ΦΦ（（x x））≈≈１．１．（２）（２）ΦΦ（－（－x x）＝１－）＝１－ΦΦ（（x x）．）．（３）（３）P P（（X X＜＜B B）＝）＝P P（（X≤bX≤b）＝）＝ΦΦ（（b b）．）．（４）（４）P P（（X≥aX≥a）＝）＝P P（（X X＞＞a a）＝１－）＝１－ΦΦ（（a a）．）．（５）（５）P P（（a a＜＜ X≤bX≤b）＝）＝ΦΦ（（b b）－）－ΦΦ（（a a）．）．（６）（６）P P（（|X||X|＜＜b b）＝）＝P P（（|X|≤b|X|≤b）＝）＝ΦΦ（（b b）－）－ΦΦ（－（－b b）＝２）＝２ΦΦ（（b b））-1-1．．例例8.118.11 随机变量随机变量X X～～ N N（０，１），求：（０，１），求：8.3 8.3 几种常见随机变量的分布几种常见随机变量的分布（１）（１）P P（（X X＜＜1.651.65）＝）＝ΦΦ（（ 1.65 1.65 ）＝）＝0.95050.9505（２）（２）P P（（ 1.65 ≤ X1.65 ≤ X＜＜2.092.09）＝）＝ΦΦ（（ 2.09 2.09 ）－）－ΦΦ（（ 1.65 1.65 ）＝）＝0.98170.9817－－ 0.9505 0.9505 ＝＝0.03120.0312（３）（３）P P（（X≥ 2.09 X≥ 2.09 ）＝１－）＝１－P P（（X X＜＜ 2.09 2.09 ）＝）＝1 1－－ΦΦ（（ 2.09 2.09 ）＝１）＝１－－ 0.9817 0.9817 ＝＝0.01830.0183（４）（４）P P（（X X＜－＜－2 2）＝）＝ΦΦ（－（－2 2）＝）＝1 1－－ΦΦ（（2 2）＝）＝1 1－－0977209772＝＝0.02280.0228（５）（５）P P（（X≥X≥－－0.090.09）＝１－）＝１－ΦΦ（－（－ 0.09 0.09 ）＝）＝ΦΦ（（ 0.09 0.09 ）＝）＝0.53590.5359（６）（６）P P（（|X||X|＜＜1.961.96）＝）＝2Φ2Φ（（ 1.96 1.96 ）－）－1 1＝＝ 0.95000.9500解解 查附表：标准正态分布数值表得：查附表：标准正态分布数值表得：（２）一般正态分布的概率计算．（２）一般正态分布的概率计算．正态分布正态分布N N（（μμ，，δδ２）均可以化为标准正态分布２）均可以化为标准正态分布N N（０，１）计算（０，１）计算．可以证明，对正态分布．可以证明，对正态分布X X～～ N N（（μμ，，δδ２２），有），有8.3 8.3 几种常见随机变量的分布几种常见随机变量的分布例例8.128.12 已知某车间工人完成某道工序的时间已知某车间工人完成某道工序的时间X X服从服从N N（（1010，，3 3２２），求：），求：（１）从该车间工人中任选一个工人，求完成该道工序的时间至少为７（１）从该车间工人中任选一个工人，求完成该道工序的时间至少为７minmin的概率；的概率；（２）为了保证生产的连续进行，要求（２）为了保证生产的连续进行，要求9595％％ 的概率保证该道工序上工人的概率保证该道工序上工人完成工作时间不超过完成工作时间不超过15min15min，这一要求能否得到保证？，这一要求能否得到保证？解解 根据题设，根据题设，X X～～ N N（（ 1010，，3 3２２ ））8.3 8.3 几种常见随机变量的分布几种常见随机变量的分布即从该车间工人中任选一人，其完成该道工序的时间至少７即从该车间工人中任选一人，其完成该道工序的时间至少７minmin的概率的概率为０为０.8413.8413；；此处用到此处用到ΦΦ（（3.333.33））≈≈１．由以上计算可知，能够以１．由以上计算可知，能够以9595％％ 的概率保证的概率保证该道工序上工人完成工作时间不超过该道工序上工人完成工作时间不超过15min15min，也就是可以保证生产连续，也就是可以保证生产连续进行．进行．8.4 8.4 随机变量的数字特征随机变量的数字特征8.4.1 8.4.1 数学期望数学期望１．１． 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望定义定义 离散型随机变量离散型随机变量X X的可能取值的可能取值x xk k（（k k＝１，２，＝１，２，……，，n n）与其）与其相应的概率相应的概率p pk k的乘积之和，称为的乘积之和，称为X X的数学期望，简称期望或均值，记的数学期望，简称期望或均值，记作作E E（（X X），即），即例例8.138.13 设设X X的概率分布为的概率分布为求求 E E（（x x），），E E（（X X２２），），E E（－２（－２X X＋１）＋１）8.4 8.4 随机变量的数字特征随机变量的数字特征解解２．２． 连续性随机变量的数学期望连续性随机变量的数学期望设连续型随机变量设连续型随机变量X X的概率密度函数为的概率密度函数为f f（（x x），若积分），若积分收敛，则称收敛，则称为随机变量为随机变量X X的数学期望，记作的数学期望，记作E E（（X X），即），即8.4 8.4 随机变量的数字特征随机变量的数字特征例例8.148.14 设随机变量设随机变量X X服从均匀分布服从均匀分布求求 X X和和Y Y＝５＝５x x２２ 的数学期望（的数学期望（a a＞０，＞０，a a为常数）．为常数）．解解３．３． 随机变量的数学期望的性质随机变量的数学期望的性质8.4 8.4 随机变量的数字特征随机变量的数字特征8.4.2 8.4.2 方差方差设设X X是一个随机变量，若是一个随机变量，若E E［［X X－－E E（（X X）］）］２２ 存在，则称存在，则称E E［［X X－－E E（（X X）］）］２２ 为为X X的方差，记为的方差，记为D D（（X X），即），即而而称为称为X X的标准差，记作的标准差，记作若离散型随机变量若离散型随机变量X X的分布列为的分布列为P Pk k＝＝P P（（X X＝＝x xk k），则），则X X的方差为的方差为若连续型随机变量若连续型随机变量X X的概率密度函数为的概率密度函数为f f（（x x），则），则X X的方差为的方差为计算方差最常用的一个公式为计算方差最常用的一个公式为8.4 8.4 随机变量的数字特征随机变量的数字特征例８例８.15.15 设随机变量设随机变量X X服从两点分布，其分布列为服从两点分布，其分布列为P P（（X X＝１）＝＝１）＝p p，，P P（（X X＝０）＝１－＝０）＝１－p p＝＝q q，（，（p p＋＋q q＝１），求＝１），求D D（（x x）．）．解解E E（（X X）＝１）＝１··p p＋０＋０··q q＝＝p pE E（（X X２２）＝１）＝１２２··p p＋０＋０２２··q q＝＝p pE E（（X X）＝）＝E E（（X X２２）－）－ ［［E E（（X X）］）］２２ ＝＝p p－－p p２２ ＝＝pqpq例例8.168.16 设设X X～～ N N（０，１），求（０，１），求X X的期望和方差．的期望和方差．解解 因为因为X X～～ N N（０，１），于是（０，１），于是8.4 8.4 随机变量的数字特征随机变量的数字特征8.4.3 8.4.3 常用分布的期望和方差常用分布的期望和方差（１）两点分布．（１）两点分布． 若若X X的分布列为的分布列为P P（（X X＝１）＝＝１）＝p p，，P P（（X X＝０）＝＝０）＝q q，则，则E E（（X X）＝）＝p p，，D D（（X X）＝）＝pqpq．．（２）二项分布．（２）二项分布． 若若X X～～B B（（n n，，p p），其分布列为），其分布列为则则E E（（X X）＝）＝npnp，，D D（（X X）＝）＝npnp（１－（１－p p））（３）泊松分布．（３）泊松分布．若若X X～～P P（（λλ），其分布列为），其分布列为8.4 8.4 随机变量的数字特征随机变量的数字特征（４）均匀分布．（４）均匀分布．若若X X～～U U（（a a，，b b），则），则（５）正态分布．（５）正态分布．若若X X～～ N N（０，１），则（０，１），则E E（（X X）＝０，）＝０，D D（（X X）＝１．）＝１．若若X X～～ N N（（μμ，，δδ２２），则），则E E（（X X）＝）＝μμ，，D D（（X X）＝）＝δδ２２．．8.5 8.5 总体样本统计量总体样本统计量8.5.1 8.5.1 总体与样本总体与样本所谓所谓总体总体，就是一个随机变量，就是一个随机变量X X．所谓样本，就是．所谓样本，就是n n个相互独立且与总个相互独立且与总体体X X有相同分布的随机变量有相同分布的随机变量XiXi（（i i＝１，２，＝１，２，……，，n n）．通常把它们看成一）．通常把它们看成一个个n n元的随机变量（元的随机变量（X X１１，，X X２２，，……，，X Xn n），而每一次具体抽样所得的数据，），而每一次具体抽样所得的数据，就是就是n n元随机变量的一个观测值，记为（元随机变量的一个观测值，记为（x x１１，，x x２２，，……，，x xn n）．）．在数理统计中，往往研究相关对象的某一数量指标，在数理统计中，往往研究相关对象的某一数量指标， 如研究某种型号如研究某种型号的电视机寿命这一数量指标．为此需要考虑与这一数量指标相联系的随的电视机寿命这一数量指标．为此需要考虑与这一数量指标相联系的随机试验，机试验， 对这一数量指标进行试验或观测．把研究对象的全体称为对这一数量指标进行试验或观测．把研究对象的全体称为总体总体（或母体），（或母体）， 组成总体的每一个基本单位称为组成总体的每一个基本单位称为个体个体．．Ø 抽取样本的方法方式．抽取样本的方法方式．8.5 8.5 总体样本统计量总体样本统计量8.5.2 8.5.2 统计量统计量样本是我们进行分析和推断的依据．样本是我们进行分析和推断的依据． 但在实际应用中，但在实际应用中， 样本往往样本往往不能直接用于对总体的统计、推断，而是针对不同的问题，将分散于不能直接用于对总体的统计、推断，而是针对不同的问题，将分散于样本中的信息集中起来，构成样本的某种函数来实现对总体的统计、样本中的信息集中起来，构成样本的某种函数来实现对总体的统计、推断，这种函数称为推断，这种函数称为统计量统计量．．设设X X１１，，X X２２，，……，，X Xn n是来自总体是来自总体X X的一个样本，的一个样本，f f（（X X１１，，X X２２，，……，，X Xn n）为）为一个连续函数，如果函数一个连续函数，如果函数f f中不包含任何未知参数，则称中不包含任何未知参数，则称f f（（X X１１，，X X２２，，……，，X Xn n）为一个统计量．如设）为一个统计量．如设X X～～ N N（（μμ，，σσ２２），其中），其中μμ和和σσ２２ 均未均未知，知，X X１１，，X X２２，，X X３３，，X X４４ 为为X X的一个样本，则的一个样本，则和和都是统计量，而都是统计量，而都不是统计量，因为都不是统计量，因为它们包含了未知参数．它们包含了未知参数．设设 X X１１，，X X２２，，……，，X Xn n是来自总体是来自总体X X的一个样本，则称统计量的一个样本，则称统计量为样本均值，为样本均值，为样本方差，为样本方差，为样本标准差．为样本标准差．例例8.58.5 某医院新生女婴的体重（单位：ｇ）情况见某医院新生女婴的体重（单位：ｇ）情况见P219P219表表9.9.１１所示，所示，试计算该样本的样本均值和样本方差．试计算该样本的样本均值和样本方差．8.5 8.5 总体样本统计量总体样本统计量解解 根据公式，该样本的样本均值为根据公式，该样本的样本均值为样本方差为样本方差为本章小结本章小结 一、本章主要内容及学习要点一、本章主要内容及学习要点二、重点与难点二、重点与难点1. 1. 重点重点2. 2. 难点难点（１）在理解随机变量的概念时，首先要弄清楚随机变量与随机事（１）在理解随机变量的概念时，首先要弄清楚随机变量与随机事件之间的联系。

件之间的联系２）因为随机变量的取值与概率相联系，因此研究随机变量重要（２）因为随机变量的取值与概率相联系，因此研究随机变量重要的是研究它的概率分布（或概率密度函数）的是研究它的概率分布（或概率密度函数）３）数字特征是从不同的侧面刻画随机变量概率分布特征的数值．（３）数字特征是从不同的侧面刻画随机变量概率分布特征的数值．（４）常用分布的分布列、概率密度，同时要结合实际背景理解它（４）常用分布的分布列、概率密度，同时要结合实际背景理解它们的含义．们的含义．经济数学经济数学Economic mathematicsEconomic mathematics第第9 9章章 数学软件数学软件MathematicaMathematica应用应用学习目标学习目标• 熟练掌握熟练掌握MathematicaMathematica系统的使用方法．系统的使用方法．• 会用会用MathematicaMathematica系统解决相关的数学问题．系统解决相关的数学问题．MathematicaMathematica系统是美国系统是美国WolframWolfram公司研究开发的数学软件系统．公司研究开发的数学软件系统．19871987年推出了该系统的年推出了该系统的1.01.0版本，后经不断改进和完善，陆续于版本，后经不断改进和完善，陆续于19911991年、年、19971997年先后推出了年先后推出了2.02.0版、版、3.03.0版，版，19991999年推出了现在广为使用的年推出了现在广为使用的4.04.0版本．本章介绍的是版本．本章介绍的是Mathematica 4.0Mathematica 4.0版本．版本．9.1 Mathematica 9.1 Mathematica 系统的简单操作系统的简单操作9.1.1 Mathematica9.1.1 Mathematica安装与启动安装与启动图标，按照安装的提示一步一步地进行图标，按照安装的提示一步一步地进行, ,注意安装过程注意安装过程双击双击中所需的中所需的““License IDLicense ID””，，““PasswordPassword””可以通过如可以通过如图图9.19.1所示的所示的提示框（ａ）提示框（ａ）中给出的中给出的““Math IDMath ID””，填入经双击，填入经双击提示框（ｂ）提示框（ｂ）的相应位置来得到．的相应位置来得到． 以后单击以后单击【【Next】按钮，】按钮， 就可以就可以顺利地完成顺利地完成Mathematica软件的安装了．软件的安装了．MathematicaMathematica装好后，要启动装好后，要启动Mathematica系统，系统， 需在需在windowswindows操作操作系统中单击【开始】系统中单击【开始】→ → 【程序】【程序】→ → 【【 Mathematica 】】→ → 【【 Mathematica 4 4】，进入】，进入Mathematica 4.04.0系统．也可以双击系统．也可以双击Mathematica图标直接启动，如图标直接启动，如图图9.29.2所示．此时系统已进入交互状态，所示．此时系统已进入交互状态，在等待用户输入命令．在等待用户输入命令．后得到的后得到的9.1 Mathematica 9.1 Mathematica 系统的简单操作系统的简单操作图９图９. .１（ａ）１（ａ）9.1 Mathematica 9.1 Mathematica 系统的简单操作系统的简单操作图９图９. .１（１（b b））9.1 Mathematica 9.1 Mathematica 系统的简单操作系统的简单操作图９图９. .２２9.1 Mathematica 9.1 Mathematica 系统的简单操作系统的简单操作9.1.2 Mathematica9.1.2 Mathematica退出退出单击工作窗口右上方的图标或在【单击工作窗口右上方的图标或在【FileFile】菜单中选择【】菜单中选择【ExitExit】命令．】命令．9.1.3 9.1.3 建立与保存文件建立与保存文件打开的打开的MathematicaMathematica界面上的【界面上的【FileFile】菜单中，选用【】菜单中，选用【SaveasSaveas…………】】命令，输入文件名，然后单击【保存】即可．若要再次打开该文件，需命令，输入文件名，然后单击【保存】即可．若要再次打开该文件，需要在执行【要在执行【FileFile】】→ → 【【OpenOpen】菜单命令，】菜单命令， 在打开的对话框中选择该文在打开的对话框中选择该文件，件， 然后单击【打开】即可．然后单击【打开】即可．9.2 9.2 数、变量与数学函数数、变量与数学函数9.2.1 9.2.1 算术运算算术运算１．１． 数及其基本运算数及其基本运算（１）（１）MathematicaMathematica的常数输入．的常数输入．特殊常数输入规定特殊常数输入规定: :ＰｉＰｉ表示表示ππ．．ＥＥ 表示ｅ．表示ｅ．DegreeDegree（（ππ／／180180）） 表示度．表示度．ＩＩ 表示虚数ｉ．表示虚数ｉ．InfinityInfinity 表示无穷大表示无穷大∞∞．．MathematicaMathematica模板调出与运用模板调出与运用, ,如如图图9.39.3所示．所示．9.2 9.2 数、变量与数学函数数、变量与数学函数图图9.39.39.2 9.2 数、变量与数学函数数、变量与数学函数（２）运算符号．（２）运算符号．＋＋表示加．表示加．－－表示减．表示减．* * 表示乘（或两数相乘中间添加空格）．表示乘（或两数相乘中间添加空格）．／／表示除．表示除．x x＾＾y y表示幂乘．表示幂乘．键盘输入、模板输入的方法键盘输入、模板输入的方法 ：：（３）算术运算．（３）算术运算．MathematicaMathematica的界面上直接输入数与运算符号，按【的界面上直接输入数与运算符号，按【ShiftShift＋＋EnterEnter】】组合键或右边小键盘上的【组合键或右边小键盘上的【EnterEnter】键，执行结果就会在屏幕上显示出】键，执行结果就会在屏幕上显示出来．来．注意：注意：若直接按左边的【若直接按左边的【EnterEnter】键，只是在输入的命令中起换行的作】键，只是在输入的命令中起换行的作用．用．9.2 9.2 数、变量与数学函数数、变量与数学函数２．２． 近似与精确近似与精确命令格式：命令格式：Ｎ［表达式，Ｎ［表达式，n n］］精确狀位有效数字精确狀位有效数字Ｎ［表达式］Ｎ［表达式］ 近似值按计算机默认的数位（６位）处理近似值按计算机默认的数位（６位）处理［表达式］／／Ｎ［表达式］／／Ｎ 同同““Ｎ［表达式］Ｎ［表达式］””情形情形特别地，若仅对上一次的结果进行精确或近似，可以将上式的表达特别地，若仅对上一次的结果进行精确或近似，可以将上式的表达式替换成式替换成“％％”，，“％％”表示上一次的结果．表示上一次的结果．9.2.2 9.2.2 函数及其运算函数及其运算１．１． Mathematica中的数学函数中的数学函数（１）常用的数学函数输入．（１）常用的数学函数输入．对函数的命令格式：对函数的命令格式：loglog［［x x］（以ｅ为底的对数函数）；］（以ｅ为底的对数函数）；loglog［［a a，，x x］（以ａ为底的对数函数）］（以ａ为底的对数函数）9.2 9.2 数、变量与数学函数数、变量与数学函数三角函数的命令格式：三角函数的命令格式：sinsin［［x x］，］，coscos［［x x］，］，tantan［［x x］，］，cotcot［［x x］，］，secsec［［x x］，］，csccsc［［x x］］反三角函数的命令格式：反三角函数的命令格式：arcsinarcsin［［x x］，］，atccosatccos［［x x］，］，…………(1)(1) 幂函数、指数函数的输入方法幂函数、指数函数的输入方法. .注意函数表达式的运算规则：注意函数表达式的运算规则：Ø它们都以大写字母开头，后面用小写字母．当函数名可以反而成它们都以大写字母开头，后面用小写字母．当函数名可以反而成几段时，每一个段的头一个字母用大写，后面的字母用小写，如几段时，每一个段的头一个字母用大写，后面的字母用小写，如ArcSinArcSin［［x x］］. .②②函数的名称是一个字符串，其中不能有空格．函数的名称是一个字符串，其中不能有空格．③ ③ 函数的自变量表用方括号括起来，不能用圆括号．函数的自变量表用方括号括起来，不能用圆括号．④ ④ 多元函数的自变量之间用逗号分隔．多元函数的自变量之间用逗号分隔．9.2 9.2 数、变量与数学函数数、变量与数学函数（２）变量赋值．（２）变量赋值．命令格式：命令格式：变量ｘ＝变量ｘ＝ 值ａ　　　值ａ　　　将值将值a a赋给变量赋给变量x xｕ＝ｖ＝ａｕ＝ｖ＝ａ 将值将值a a赋给变量赋给变量u u、、v v（给多个变量赋值）（给多个变量赋值）变量ｘ＝变量ｘ＝ 变量ｙ变量ｙ用变量用变量y y替换变量ｘ替换变量ｘ［［f f［ｘ］］［ｘ］］/ /．ｘ．ｘ→→ａａ 变量变量x x临时赋值为临时赋值为a aｕ＝．ｕ＝． 清除变量清除变量u u的值的值clearclear［ｘ］［ｘ］ 清除变量清除变量x x及赋的值，多用做清除函数及赋的值，多用做清除函数２．２． 函数运算函数运算（１）自定义函数及函数值的计算．（１）自定义函数及函数值的计算．自定义函数的命令格式：自定义函数的命令格式：① f① f［ｘ］：＝［ｘ］：＝ 表达式（或表达式（或f f［ｘ］＝［ｘ］＝ 表达式）　　定义的规表达式）　　定义的规则只对则只对x x成立成立② f② f［ｘ［ｘ_ _］：＝］：＝ 表达式（或表达式（或f f［ｘ［ｘ_ _］＝］＝ 表达式）表达式） 定义的规则定义的规则x x可以被替代可以被替代9.2 9.2 数、变量与数学函数数、变量与数学函数③ ③ 分段函数分段函数 f f（（x x）＝）＝表达式１表达式１ 条件１条件１表达式表达式2 2 条件条件2 2表达式表达式n n 条件条件n n……的命令格式：的命令格式：f f［ｘ＿］：＝［ｘ＿］：＝WhichWhich［条件１，表达式１，条件２，表［条件１，表达式１，条件２，表达式２，达式２，……，条件，条件n n，表达式，表达式n n］（或］（或f f［ｘ＿］：＝［ｘ＿］：＝ Which［条件１，［条件１，表达式１，条件２，表达式２，表达式１，条件２，表达式２，……，条件，条件n n，表达式，表达式n n］）］）④ Clear④ Clear［［f f］］ 表示清除所有以表示清除所有以f f为函数名的函数定义．为函数名的函数定义．例例9.19.1 定义函数定义函数f f（（x x）＝）＝x x２２ ＋＋√x√x＋＋cosxcosx，求，求f f（１）的值．（１）的值．解解InIn［１］：＝［１］：＝f f［［x x＿］：＝＿］：＝x x２２ ＋＋ √x √x ＋＋coscos［［x x］］f f［２．］［２．］OutOut［１］：＝４．９９８０７［１］：＝４．９９８０７InIn［２］：＝［２］：＝f f［２］［２］OutOut［２］：＝４＋［２］：＝４＋ √2 √2 ＋＋coscos［２］［２］9.2 9.2 数、变量与数学函数数、变量与数学函数例９．２例９．２ 定义定义求求 ｇ（１），ｇ（２），ｇ（０）的值．ｇ（１），ｇ（２），ｇ（０）的值．解解InIn［１］：＝［１］：＝g g［［x x］：＝］：＝ WhichWhich［［x x＞０，＞０，x x，，x x＝＝０，０，＝＝０，０，x x＜０，－＜０，－x x］］ｇ［１］ｇ［１］OutOut［１］：＝１［１］：＝１InIn［２］：＝ｇ［－３］［２］：＝ｇ［－３］OutOut［２］：＝３［２］：＝３InIn［１］：＝ｇ［０］［１］：＝ｇ［０］OutOut［１］：＝０［１］：＝０9.2 9.2 数、变量与数学函数数、变量与数学函数（２）函数的基本运算．（２）函数的基本运算．函数的四则运算函数的四则运算f f1 1[x]+ f[x]+ f2 2[x] [x] ，， f f1 1[x]- f[x]- f2 2[x] [x] ，， f f1 1[x] f[x] f2 2[x] [x] ，， f f1 1[x] / f[x] / f2 2[x][x]FactorFactor［表达式］［表达式］表示分解因式．表示分解因式．ExpandExpand［表达式］［表达式］ 表示展开多项式的和．表示展开多项式的和．SimplefySimplefy［表达式］［表达式］ 表示化简．表示化简．ApartApart［表达式］［表达式］表示分解为部分分式．表示分解为部分分式．例例9.39.3 已知已知p p１１ ＝３＝３x x２２ ＋２＋２x x－１，－１，p p２２ ＝＝x x２２ －１，计算－１，计算p p１１ ＋＋p p２２，，p p１１ ××p p２２，，p p１１ ÷÷p p２２．将．将p p１１ ××p p２２ 结果分解因式、展开多项式，将结果分解因式、展开多项式，将p p１１ ÷÷p p２２ 分解为部分分式．分解为部分分式．InIn［１］：＝［１］：＝ p p１１ ＝３＝３x x２２ ＋２＋２x x－１－１OutOut［１］：＝－１＋２［１］：＝－１＋２x x＋３＋３x x２２InIn［２］：＝［２］：＝ p p２２ ＝＝x x２２ －１－１OutOut［２］：＝－１＋［２］：＝－１＋x x２２InIn［３］：＝［３］：＝p p１１ ＋＋p p２２解解9.2 9.2 数、变量与数学函数数、变量与数学函数OutOut［３］：＝－２＋２［３］：＝－２＋２x x＋４＋４x x２２InIn［４］：＝［４］：＝p p１１*p*p２２OutOut［４］：＝［４］：＝ （－１＋（－１＋x x２２）（－１＋２）（－１＋２x x＋３＋３x x２２））InIn［５］：＝［５］：＝p p１１／／p p２２OutOut［５］：＝［５］：＝( (－１＋２－１＋２x x＋３＋３x x２２ ) ) ／／ ( (－１＋－１＋x x２２) )InIn［６］：＝［６］：＝ Factor Factor ［［p p１１*p*p２２］］OutOut［６］：＝［６］：＝ （－１＋（－１＋x x）（１＋）（１＋x x））２２（－１＋３（－１＋３x x））InIn［７］：＝［７］：＝ Expand Expand ［［p p１１ * * p p２２］］OutOut［７］：＝１－２［７］：＝１－２x x－４－４x x２２ ＋２＋２x x３３ ＋３＋３x x４４InIn［８］：＝［８］：＝ Apart Apart ［［p p１１／／p p２２］］OutOut［８］：＝３＋［８］：＝３＋( (２２/ /－－( (１＋１＋x))x))9.3 Mathematica 9.3 Mathematica 在方程与图形中的应用在方程与图形中的应用9.3.1 9.3.1 解方程解方程解方程解方程f f（（x x）＝０的命令格式：）＝０的命令格式：SolveSolve［［f f（（x x）＝＝０，）＝＝０，x x］］１．１． 解方程命令格式解方程命令格式２．２． 解方程组的命令格式解方程组的命令格式解方程组解方程组的命令格式为的命令格式为Solve[Solve[｛｛f f（ｘ）＝＝０，（ｘ）＝＝０，ｇ（ｇ（y y）＝＝０，）＝＝０，……｝，｛｝，｛x x，，y y，，……｝｝] ]例例9.49.4 解方程组解方程组9.3 Mathematica 9.3 Mathematica 在方程与图形中的应用在方程与图形中的应用解解 （（1 1））InIn［１］：＝［１］：＝ SolveSolve［｛２［｛２x x＋＋y y＝＝４，＝＝４，x x＋＋y y＝＝３｝，＝＝３｝，｛ｘ，ｙ｝］｛ｘ，ｙ｝］OutOut［１］：＝［１］：＝ ｛｛ｘ｛｛ｘ→→１，ｙ１，ｙ→→２｝２｝（（2 2））InIn［２］：＝［２］：＝ Solve Solve ［ｘ－１＝＝０，ｘ］［ｘ－１＝＝０，ｘ］（（3 3））InIn［３］：＝［３］：＝ Solve Solve ［｛［｛x x－－y y－１＝＝０，－１＝＝０，x x＋４＋４y y＝＝２｝，＝＝２｝，｛ｘ，ｙ｝］｛ｘ，ｙ｝］OutOut［２］：＝［２］：＝ ｛｛ｘ｛｛ｘ→→１｝｝１｝｝OutOut［３］：＝［３］：＝ ｛｛ｘ｛｛ｘ→→６／５，ｙ６／５，ｙ→→１／５｝｝１／５｝｝9.3 Mathematica 9.3 Mathematica 在方程与图形中的应用在方程与图形中的应用9.3.2 9.3.2 绘图绘图１．１． 作函数作函数y y＝＝f f（（x x）图像的命令格式）图像的命令格式（１）只规定变量范围的作图命令：（１）只规定变量范围的作图命令：PlotPlot［［f f（ｘ），｛ｘ，ｘ１，ｘ２｝］（ｘ），｛ｘ，ｘ１，ｘ２｝］（２）不仅规定自变量范围，还规定因变量范围的作图命令：（２）不仅规定自变量范围，还规定因变量范围的作图命令：PlotPlot ［［f f（ｘ），｛ｘ，ｘ１，ｘ２｝，（ｘ），｛ｘ，ｘ１，ｘ２｝， PlotRange→ PlotRange→ ｛ｙ１，｛ｙ１，ｙ２｝］ｙ２｝］（３）不仅规定自变量范围，还可以加标注（函数名称，坐标轴）：（３）不仅规定自变量范围，还可以加标注（函数名称，坐标轴）：PlotPlot ［［f f（ｘ），｛ｘ，ｘ１，ｘ２｝，ＰｌｏｔＬａｂｅｌ（ｘ），｛ｘ，ｘ１，ｘ２｝，ＰｌｏｔＬａｂｅｌ→ → ““表达式表达式””，，AxesLabeAxesLabeｌｌ→ → ｛｛““ｘｘ””，，““ｙｙ””｝｝9.3 Mathematica 9.3 Mathematica 在方程与图形中的应用在方程与图形中的应用２．２． 观察多个函数图形在同一个坐标系的情况观察多个函数图形在同一个坐标系的情况设设y y＝＝f f１１ （（x x），），y y＝＝ f f２２ （（x x），）， ……，， 在一个坐标系里观察这几在一个坐标系里观察这几个函数图像，个函数图像， 其命令格式：其命令格式：PlotPlot ［｛ｆ［｛ｆ１１（ｘ），ｆ（ｘ），ｆ２２ （ｘ），（ｘ），……｝，｛ｘ，ｘ１，ｘ２｝｝，｛ｘ，ｘ１，ｘ２｝例９例９. .５５ 绘出绘出之间的图像．之间的图像．解解 输入命令输入命令Plot Plot ［［sinsin［４ｘ／３］，｛ｘ，－４［４ｘ／３］，｛ｘ，－４ππ，４，４ππ｝］｝］执行得出的结果如执行得出的结果如图９图９. .４４所示．所示．9.3 Mathematica 9.3 Mathematica 在方程与图形中的应用在方程与图形中的应用图９图９. .４４9.3 Mathematica 9.3 Mathematica 在方程与图形中的应用在方程与图形中的应用例９例９. .６６ 绘出绘出解解 输入命令输入命令Plot[tan[Plot[tan[３３x/x/２２] ]，，{x,{x,００, ,４４π}π}，，PlotRange→ {PlotRange→ {－５－５, ,５５}]}]之间的图像之间的图像图９图９. .５５9.3 Mathematica 9.3 Mathematica 在方程与图形中的应用在方程与图形中的应用例９例９. .７７ 在一个坐标系中绘出在一个坐标系中绘出y y＝＝sinsin３３x x，，y y＝２＝２x x在［０，２在［０，２ππ］的图像］的图像解解 输入命令输入命令PlotPlot［｛［｛sinsin［３ｘ］，２ｘ｝，｛ｘ，０，２Ｐｉ｝］［３ｘ］，２ｘ｝，｛ｘ，０，２Ｐｉ｝］图９图９. .６６9.3 Mathematica 9.3 Mathematica 在方程与图形中的应用在方程与图形中的应用３．３． 分段函数的绘图分段函数的绘图先利用条件先利用条件WhichWhich语句自定义分段函数，然后用Ｐｌｏｔ语句画出语句自定义分段函数，然后用Ｐｌｏｔ语句画出分段函数的图形．即首先输入ｆ［ｘ＿］：＝分段函数的图形．即首先输入ｆ［ｘ＿］：＝ Which ［条件１，表［条件１，表达式１，条件２，表达式２，达式１，条件２，表达式２，…… 条件ｎ，表达式ｎ］，然后再输入条件ｎ，表达式ｎ］，然后再输入PlotPlot［ｆ（ｘ），｛ｘ，ｘ１，ｘ２｝］．［ｆ（ｘ），｛ｘ，ｘ１，ｘ２｝］．例９例９. .８８ 绘出绘出解解 输入命令输入命令ｇ［ｘ＿］：＝ Ｗｈｉｃｈ［ｘ＞０，ｘ２，ｘ＝＝０，０，ｘ＜０，－ｘ］Ｐｌｏｔ［ｇ（ｘ），｛ｘ，－２，２｝］9.3 Mathematica 9.3 Mathematica 在方程与图形中的应用在方程与图形中的应用图９图９. .７７9.3 Mathematica 9.3 Mathematica 在方程与图形中的应用在方程与图形中的应用４．４． 参数方程绘图参数方程绘图使用使用ParametricPlotParametricPlot函数可以画参数形式的图形，其命令格式：函数可以画参数形式的图形，其命令格式：ParametricPlot[{ParametricPlot[{ｘ（ｔ），ｙ（ｔ）ｘ（ｔ），ｙ（ｔ）} }，，{ {ｔ，ａ，ｂｔ，ａ，ｂ} }，可选项，可选项] ]ParametricPlot [{{ParametricPlot [{{ｘ１（ｔ），ｙ１（ｔ）｝，ｘ１（ｔ），ｙ１（ｔ）｝，{ {ｘ２（ｔ），ｙｘ２（ｔ），ｙ２（ｔ）２（ｔ）} }，，……} }，，{ {ｔ，ａ，ｂｔ，ａ，ｂ} }，可选项，可选项] ]例９例９. .９９ 绘出圆的参数方程的绘出圆的参数方程的曲线图形．曲线图形．解解 输入命令输入命令ParametricPlot ParametricPlot ［｛［｛sinsin［ｔ］，［ｔ］，coscos［ｔ］｝，｛ｔ，０，２Ｐｉ｝，［ｔ］｝，｛ｔ，０，２Ｐｉ｝，AspectRatio→ AutomaticAspectRatio→ Automatic］］执行得出的结果如执行得出的结果如图９图９. .８８所示．所示．9.3 Mathematica 9.3 Mathematica 在方程与图形中的应用在方程与图形中的应用图９图９.８８9.3 Mathematica 9.3 Mathematica 在方程与图形中的应用在方程与图形中的应用５．５． 二元函数的图像二元函数的图像使用使用Plot3DPlot3D函数可以画二元函数的图形，其具体步骤如下．函数可以画二元函数的图形，其具体步骤如下．（１）定义二元函数，其命令格式：ｚ［ｘ，ｙ］＝（１）定义二元函数，其命令格式：ｚ［ｘ，ｙ］＝ 表达式．表达式．（２）（２）Plot3DPlot3D［ｚ［ｘ，ｙ］，｛ｘ，ｘ１，ｘ２｝，｛ｙ，ｙ１，［ｚ［ｘ，ｙ］，｛ｘ，ｘ１，ｘ２｝，｛ｙ，ｙ１，ｙ２｝］．ｙ２｝］．例９例９, ,１０１０ 绘出绘出的图像．的图像．解解 输入命令输入命令执行得出的结果如执行得出的结果如图９图９. .９９所示．所示．9.3 Mathematica 9.3 Mathematica 在方程与图形中的应用在方程与图形中的应用图９图９. .９９9.4 Mathematica 9.4 Mathematica 在微积分中的应用在微积分中的应用９９. .４４. .１１ 极限与连续极限与连续１１. . 极限极限（１）关于ｘ（１）关于ｘ→ → ｘ０ｘ０ 的极限．的极限．求一元函数极限的命令格式：求一元函数极限的命令格式：LimeiteLimeite［［f f（ｘ），ｘ（ｘ），ｘ→ → ｘｘ００］：表示求函数ｘ］：表示求函数ｘ→ → ｘｘ００ 的极限；的极限；LimeiteLimeite［［f f（ｘ），ｘ（ｘ），ｘ→ → ｘｘ００，，Direction→Direction→１］１］ ：表示求函数ｘ：表示求函数ｘ→ → ｘｘ００－－ 的极限（左极限）；的极限（左极限）；LimeiteLimeite［［f f（ｘ），ｘ（ｘ），ｘ→ → ｘｘ００，， Direction→Direction→－１］：表示求函数ｘ－１］：表示求函数ｘ→ → ｘｘ００＋＋ 的极限（右极限）．的极限（右极限）．（２）关于ｘ（２）关于ｘ→ ∞ → ∞ 函数的极限．函数的极限．Limeite Limeite ［犳（ｘ），ｘ［犳（ｘ），ｘ→ ∞→ ∞］］ : :表示求函数ｘ表示求函数ｘ→ ∞ → ∞ 的极限；的极限；Limeite Limeite ［犳（ｘ），ｘ［犳（ｘ），ｘ→→－－ ∞∞］］: : 表示求函数ｘ表示求函数ｘ→→－－ ∞ ∞ 的极限；的极限；Limeite Limeite ［犳（ｘ），ｘ［犳（ｘ），ｘ→→＋＋ ∞∞］］: : 表示求函数ｘ表示求函数ｘ→→＋＋ ∞ ∞ 的极限；的极限；9.4 Mathematica 9.4 Mathematica 在微积分中的应用在微积分中的应用例９例９. .１１１１ 求下列函数的极限．求下列函数的极限．解：解：9.4 Mathematica 9.4 Mathematica 在微积分中的应用在微积分中的应用２．２． 分段函数分界点的连续性分段函数分界点的连续性根据连续的概念，利用上述命令，判断函数在某一点的极限，并判根据连续的概念，利用上述命令，判断函数在某一点的极限，并判断极限值与此点的函数值是否相等，若相等，则函数在此点连续．断极限值与此点的函数值是否相等，若相等，则函数在此点连续．（右极限）（右极限）解解例９例９. .１４１４ 判定函数判定函数（左极限）（左极限）（计算函数值）（计算函数值）9.4 Mathematica 9.4 Mathematica 在微积分中的应用在微积分中的应用所以函数在所以函数在x x＝０这一点连续．＝０这一点连续．另外，用另外，用MathematicaMathematica求极限，有时求不出来．如求极限，有时求不出来．如说明计算超出了说明计算超出了MathematicaMathematica的范围．的范围．９９. .４４. .２２ 导数与微分导数与微分１．１． 导数运算导数运算（１）显函数的导数运算．（１）显函数的导数运算．一阶导数一阶导数f′f′（（x x）的命令格式为Ｄ［）的命令格式为Ｄ［f f，，x x］］ （（f f为函数表达式，为函数表达式，x x为自变量）为自变量）n n阶导数阶导数f f（（n n））（（x x）的命令格式为Ｄ［）的命令格式为Ｄ［f f，｛，｛x x，，n n｝］｝］ （（n n为导数的为导数的阶数）阶数）（２）隐函数的导数运算．（２）隐函数的导数运算．9.4 Mathematica 9.4 Mathematica 在微积分中的应用在微积分中的应用由方程由方程F F（（x x，，y y）＝０确定的函数）＝０确定的函数y y＝＝f f（（x x），称为隐函数．用），称为隐函数．用MathematicaMathematica求隐函数的导数方法，原理与其数学方法基本是一致的，求隐函数的导数方法，原理与其数学方法基本是一致的，具体步骤如下：具体步骤如下：（１）自定义一个（１）自定义一个F F（（x x，，y y）的导函数）的导函数G G［［x x＿］，命令格式为＿］，命令格式为G G［［x x＿］＝＿］＝ （（F F（（x x，，y y［［x x］）或］）或G G［［x x＿］＝＿］＝ Ｄ［Ｄ［F F［［x x，，y y［［x x］］，］］，x x］］（２）用（２）用SolveSolve函数将ｙ函数将ｙ′′［［x x］解出，命令格式为］解出，命令格式为SolveSolve［［G G［［x x＿］＝＿］＝＝０，＝０，y′y′［［x x］］］］即先求导再解方程．即先求导再解方程． 当然也可以将上面两步合在一起，当然也可以将上面两步合在一起， 命令格式命令格式9.4 Mathematica 9.4 Mathematica 在微积分中的应用在微积分中的应用２．２． 函数的微分、全微分函数的微分、全微分求函数的微分求函数的微分dydy，其命令格式Ｄｔ［ｆ（ｘ）］．输出的表达式中，其命令格式Ｄｔ［ｆ（ｘ）］．输出的表达式中所含的Ｄｔ［ｘ］，这里可以视为数学中的所含的Ｄｔ［ｘ］，这里可以视为数学中的dydy求函数求函数f f（（x x，，y y）的全微）的全微分分dxdx，其命令形式为Ｄ，其命令形式为Ｄz z［ｆ［ｘ，ｙ］］［ｆ［ｘ，ｙ］］３．３． 用用MathematicaMathematica解微分方程解微分方程（１）没有初始条件的微分方程（１）没有初始条件的微分方程命令格式：命令格式：DSolveDSolve［微分方程，ｙ［ｘ］，ｘ］［微分方程，ｙ［ｘ］，ｘ］（２）含初始条件的微分方程（２）含初始条件的微分方程命令格式：命令格式： DSolve DSolve ［｛微分方程，初始条件｝，ｙ［ｘ］，ｘ］［｛微分方程，初始条件｝，ｙ［ｘ］，ｘ］９９. .４４. .３３ 积分运算及简单应用积分运算及简单应用１．１． 不定积分不定积分输入格式：在输入格式：在BasicInputBasicInput模板中的模板中的 ，输入数学积分式．，输入数学积分式．9.4 Mathematica 9.4 Mathematica 在微积分中的应用在微积分中的应用例９例９. .２７２７ 求下列不定积分求下列不定积分解解 单击单击后，在得到的后，在得到的数、积分变量，即可输入：数、积分变量，即可输入：的相应位置输入被积函的相应位置输入被积函结果结果: :２．２． 定积分定积分输入格式：在输入格式：在BasicInputBasicInput模板中的模板中的，输入数学积分式．，输入数学积分式．例９例９. .２８２８ 求下列定积分求下列定积分解解 单击单击解单击后，在得到的解单击后，在得到的的相应位置输入的相应位置输入被积函数、积分变量、上下限，即可．被积函数、积分变量、上下限，即可．输入：输入：结果结果: :9.5 Mathematica 9.5 Mathematica 性代数中的应用性代数中的应用９９. .５５. .１１ MathematicaMathematica中矩阵的相关计算中矩阵的相关计算１．１． 矩阵的输入方法矩阵的输入方法（１）按表的格式输入（一般方法）．（１）按表的格式输入（一般方法）．A A＝＝ ｛｛｛｛a a１１１１，，a a１２１２，，……，，a a１１n n｝，｛｝，｛a a２１２１，，a a２２２２，，……，，a a２２n n｝，｝，……，，｛｛a am m１１，，a am m２２，，……，，a amnmn｝｝，生成｝｝，生成m m行行n n列的矩阵．列的矩阵．（２）菜单输入（适用于大矩阵）．（２）菜单输入（适用于大矩阵）．执行【执行【InputInput】】→ → 【【CreateTableCreateTable／／MatrixMatrix】菜单命令，输入行数及】菜单命令，输入行数及列数，可形成数学形式的矩阵，然后我们在相应的位置输数即可．列数，可形成数学形式的矩阵，然后我们在相应的位置输数即可．（３）点击【（３）点击【BasicInputBasicInput】模板中的】模板中的 进行输入（适用进行输入（适用于二阶小矩阵）．于二阶小矩阵）．9.5 Mathematica 9.5 Mathematica 性代数中的应用性代数中的应用２２. . 计算矩阵计算矩阵A A的行列式的行列式计算矩阵计算矩阵A A的行列式值的方法：的行列式值的方法：① ① 输入矩阵输入矩阵A A；；② ② 计算矩阵行列式的值：命令格式为计算矩阵行列式的值：命令格式为DetDet［Ａ］．［Ａ］．３．３． 矩阵的基本运算矩阵的基本运算A A＋＋B:B:表示矩阵表示矩阵A A与与B B相加．相加．k k﹡﹡A:A:表示数表示数k k与矩阵与矩阵A A相乘．相乘．TransposeTranspose［［M M］］: :表示矩阵表示矩阵M M的转置的转置M MT T．．A A．．B:B:表示矩阵表示矩阵A A与与B B相乘．相乘．M M／／／／MatrixForm MatrixForm 表示矩阵，标准形式输出（数学常见形式）．表示矩阵，标准形式输出（数学常见形式）．４．４． 矩阵求逆矩阵求逆InverseInverse［［A A］］: :求方阵求方阵A A的逆矩阵．的逆矩阵．Inverse［［A A］／／］／／ MatrixForm : :求方阵求方阵A A的逆矩阵，并以标准形的逆矩阵，并以标准形式（即数学中常见的矩阵形式输出）．式（即数学中常见的矩阵形式输出）．9.5 Mathematica 9.5 Mathematica 性代数中的应用性代数中的应用５．５． 矩阵求秩矩阵求秩方法：用初等变换将矩阵化为行最简形，非零行数即为矩阵的秩．方法：用初等变换将矩阵化为行最简形，非零行数即为矩阵的秩．命令格式：命令格式： RowReduce RowReduce ［Ａ］／／［Ａ］／／ MatrixFormMatrixForm９９. .５５. .２２ 用用MathematicaMathematica求解线性方程组求解线性方程组１．１． 判断方程组解是否存在判断方程组解是否存在判断系数矩阵和增广矩阵的秩判断系数矩阵和增广矩阵的秩r r（（A A），），r r（（ABAB）是否相等，即可判）是否相等，即可判断方程组的解是否存在．具体的步骤如下：断方程组的解是否存在．具体的步骤如下：（１）求系数矩阵和增广矩阵的秩．（１）求系数矩阵和增广矩阵的秩．命令格式：命令格式：RowReduceRowReduce［Ｍ］，［Ｍ］，M M为执行结果矩阵中的非零行数．为执行结果矩阵中的非零行数．（２）判断若（２）判断若r r（（A A），），r r（（ABAB））, , 则有解．则有解．当当r r（（A A））=r=r（（ABAB）） ＝＝n n，有唯一解；，有唯一解； r r（（A A））-r-r（（ABAB）） ＜＜n n有无穷有无穷多解．其中，多解．其中，n n为未知数的个数．为未知数的个数．9.5 Mathematica 9.5 Mathematica 性代数中的应用性代数中的应用２．２． 求齐次线性方程组的基础解系和通解求齐次线性方程组的基础解系和通解（１）求出（１）求出AXAX＝＝O O的基础解系．的基础解系．命令格式：命令格式： NullSpace NullSpace ［Ａ］［Ａ］执行结果：执行结果： { a{ a１１，，a a２２，，……，， a an n } }（２）写出通解形式：（２）写出通解形式：X X＝＝k k１１αα１１ ＋＋k k２２αα２２ ＋＋ …… ＋＋k kn nααn n３．３． 求非齐次线性方程组的基础解系和通解求非齐次线性方程组的基础解系和通解（１）求非齐次线性方程组导出组的全部解．（１）求非齐次线性方程组导出组的全部解．命令格式：命令格式：NullSpaceNullSpace［Ａ］［Ａ］执行结果：执行结果： { a{ a１１，，a a２２，，……，， a an n } }（２）求非齐次线性方程组的特解或唯一解的命令格式：（２）求非齐次线性方程组的特解或唯一解的命令格式：LinearSolveLinearSolve［系数矩阵，常数项矩阵］［系数矩阵，常数项矩阵］（３）写出通解（３）写出通解X X＝＝X X0 0+k+k１１αα１１ ＋＋k k２２αα２２ ＋＋ …… ＋＋k kn nααn n9.6 Mathematica 9.6 Mathematica 在统计中的应用在统计中的应用９９. .６６. .１１ 数据的统计与分析数据的统计与分析MeanMean［［datadata］］: : 计算计算datadata的均值．的均值．VarianceVariance［［distdist］］ : : 计算计算datadata的样本方差的样本方差VarianceMLEVarianceMLE［［distdist］］ : : 计算计算datadata的方差的方差MedianMedian［［datadata］］ : : 计算计算datadata的中位值．的中位值．９９. .６６. .２２ 线性回归线性回归一元线性回归方程．格式如下：一元线性回归方程．格式如下： RegressRegress［［ data data ，｛１，ｘ｝，ｘ］，｛１，ｘ｝，ｘ］其中，其中， datadata为数据，其形式｛为数据，其形式｛x x１１，，y y１１｝，｛｝，｛x x２２，，y y２２｝，｝，……，｛，｛x xn n，，y yx x｝｝。