例谈函数中参数范围的求解策略.doc

例谈函数中参数范围的求解策略摘要:求解函数中的参数取值范围，这类题型能考查学生分析问题,解决问题能力以及数学应用的意识,因此是历年高考中的热点和难点内容由于其综合性较强、比较灵活且难度较大，因而解答需要较高的技巧,并且相似问题容易混淆,解题时容易出现错误,甚至运算冗繁,但笔者认为“分离参数法”因其具有思路清晰,有章可循,易操作,易掌握的特点本文从不同的角度,通过实例把所探讨的问题进行转化、归类,总结出几种常用的求参方法与大家共享关键词：分离参数 数形结合 主参换位 根的分布 构造函数一、分离参数策略这种分离方法经常用到，如果参数在方程或者一个不等式的两侧，往往实行左右分离的策略；如果分子、分母中都含有参数，就实施上下分离；这样会大大优化解题的过程，顺利求出参数的范围例 1、 （2008 全国卷）已知函数 32()1.fxaxR（Ⅰ）讨论函数 的单调性)fx（Ⅱ）设函数 在区间 内是减函数，求 的取值范围21,)3a解：（Ⅰ）略Ⅱ） 依题设，当 时，有 恒'2()3.fxax21(,)3x2310xa成立21()axx令 则()3g111()2(3)32xxx当且仅当 ，即 时取等号。

3min())gx由此可知， 上递减，在 上递增23()-在 （ ， ） 31-（ ， ）当 时， ，或1(,)3x27()()4gxg< , ,3()(gx1)23g()2gx所以 ，于是 的取值范围是 2a,说明：在 的某个范围内，不等式 恒成立的问题，求其参数x(),0fx或 ）的范围，若通过等价变形，能将变量与参数整体中分离出来，转化为恒成立的问题，则只需求出在给定的范围内 的值域，(,)aF或 ） （ ()Fx即可确定参数 的取值范围a例 2、已知函数 ，判断函数 的单调性()()xfab()fx解：由已知有 所以1,b当 时，函数 在 和 上是减函数；当 时，函0ab()fx,)(,)0ab数 在 和 上是增函数)fx,,b说明：本题还可以用导数来解决；处理本题的关键是进行变形转化，化归为我们熟悉的函数，利用基本的函数单调性进行解决，我们在学习的过程中要以不变应万变，打好基础，方能从容应对二、数形结合策略数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合或形数结合。

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非” ， ”数”与”形”反映了事物两个方面的属性我认为，数形结合主要指的是数与形之间的一一对应关系数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过”以形助数”或”以数解形” ，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的 “形” 是“数”的外在表现， “数”是“形”的内涵；在处理有关含参数的问题时,若注意应用数形结合的思想,常可以化抽象为直观,有利于抓住本质,找到解题的突破口例 3、设 f(x)=x2–2ax+2,当 x∈［–1,+∞)时， f(x)＞ a 恒成立，求 a 的取值范围  头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j 解法一  头htp:/w.xjkygcom@126.xckt126.hp:/w.jygo 由 f(x)＞ a，在［–1,+∞)上恒成立 x2–2ax+2–a＞0 在［–1,+∞)上恒成立  头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j 考查函数 g(x)=x2–2ax+2–a 的图象在［–1,+∞］时位于 x 轴上方  头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j 如图两种情况  头htp:/w.xjkygcom@126.xckt126.hp:/w.jygo 不等式的成立条件是  头htp:/w.xjkygcom@126.xckt126.hp:/w.jygo (1)Δ=4 a2–4(2–a)＜0 a∈(–2,1)  a-1oy x  a-1oy x  -12-1oy x(2) a∈(–3,–2 ，0)1(g]综上所述 a∈(–3,1)  头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j 解法二  头htp:/w.xjkygcom@126.xckt126.hp:/w.jygo 由 f(x)＞ a x2+2＞ a(2x+1)令 y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象  头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j 如图满足条件的直线 l 位于 l1与 l2之间，而直线 l1、 l2对应的 a 值（即直线的斜率）分别为 1，–3，故直线 l 对应的 a∈(–3,1)  头htp:/w.xjkygcom@126t:/.j 三、主参换位策略某些含参数不等式恒成立问题，在分离参数时会遇到讨论的麻烦，或者即使分离出来，函数的最值也难以求出，这时就要考虑变换思维，即把变元与参数换个位置，再结合其它的方法，往往会起到意想不到的效果。

例 4、已知不等式 对满足 的所有 m 都成立，求 的210x2x取值范围解：原不等式可化为 ，此不等式对 恒成立2()mx2构造函数 ,其图像是一条线段，于是有()1,2fx，即 ，解得，2(2)()01fxx2301x，7322说明：很多同学学习时很容易造成思维定势，解题时总是认为函数的自变量是x，其实什么字母都可以作为自变量四、根的分布策略一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容这部分内容在初中代数中有所涉及，但不够系统和完整，且解决的方法偏重于根的判别式和韦达定理根的分布主要从判别式、端点值、对称轴、开口方向这几个方面来考虑例 5、已知关于 x 的二次方程 =02()1fxmx(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求 m的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求 m 的范围.分析:本题重点考查方程的根的分布问题，解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制.解：(1)条件说明抛物线 与 x 轴的2()1fxmx交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得 。

1,0)2,( 5114,62,2)65mf Rf(2)据抛物线与 x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组(这里 0<－m<1 是因为对称轴 x=－m 应在1,(0),21,,1,0mf或区间(0，1)内通过) 12m5、构造函数策略函数是中学数学的重要内容，其理论和应用涉及各个方面，是贯穿整个中学数学的一条主线函数思想是最基本的数学思想根据所证不等式的特征，构造适当的函数，然后利用函数的有界性、单调性、奇偶性及二次函数的性质来证明不等式或解不等式，往往是此类问题的简捷思路例 6、设 ，对于任意实数 ，函数总有意义，求实数 a 的取值范围解法 1：函数 有意义，则 ，即 在 上总成立设 ，即当 时， 时， 时 ， 总成立∴依抛物线 的特征，将其定位，有 ， 如图如图所示解法 2：对于不等式 ，因为 ，所以 不等式可化成 的最大值即可。

设 的图象如图所示，可知 的最大值为 10 故 最大值为 4，则 )hx说明：解法 1 抓住了抛物线的特征，由实数 a 的不等式组，将抛物线定位，再求解范围另外，由于涉及到一元二次方程根的分布，所以又提供了一次数形结合的机会解法 2 将实数 a 从不等式中分离出来，对后边函数中 换元后，利用典型函数图象直观地求其最大值，求得 a 的范围，体现数形结合的思想，不失为好办法总之，学习数学不仅仅是学习基础知识和基本技能，还要学习基本思想和基本方法；求函数中的参数有关问题，更要注重其解决的方法，对于不同类型的问题，采用灵活的方法进行解决，这样就会避免走很多的弯路，达到化繁为简，优化解题过程的目的。