22春“数学与应用数学”专业《近世代数》在线作业三答案参考1.docx

22春“数学与应用数学”专业《近世代数》作业答案参考1. 求直线l1：与直线l2：的公垂线方程．求直线l1：与直线l2：的公垂线方程．根据题意知公垂线的方向向量可取    ，    l1与公垂线所确定平面Π1的法向量为    ,    点(9，-2，0)在平面Π1上，故Π1的方程为    -16(x-9)-27(y+2)-17(z-0)=0,    即    16x+27y+17z-90=0.    同理，l2与公垂线所确定平面H2的法向量为    ,    点(0，-7，7)在平面Π2上，故Π2的方程为    58(x-0)+6(y+7)+31(z-7)=0,    即    58x+6y+31z-175=0.    Π1与Π2的交线即为l1与l2的公垂线，故公垂线方程为     2. 求解线性代数方程组 的高斯-赛德尔迭代格式为______． 取迭代初值，，，则=______，=______，=______求解线性代数方程组    的高斯-赛德尔迭代格式为______．  取迭代初值，，，则=______，=______，=______$-0.38$-0.2433$0.5333．3. 如果n阶矩阵A满足A2=A，则称A为幂等矩阵．证明：如果A为幂等矩阵，且A～B，则B是幂等矩阵．如果n阶矩阵A满足A2=A，则称A为幂等矩阵．证明：如果A为幂等矩阵，且A～B，则B是幂等矩阵．因A～B，则存在非奇异矩阵P，使得P-1AP=B，从而B2=P-1A2P-1=AP=B．由幂等矩阵的定义可知，B也是幂等矩阵．4. 叙述梯度、散度、旋度的定义及其在直角坐标下的表示式．叙述梯度、散度、旋度的定义及其在直角坐标下的表示式．5. 设随机变量X的分布函数为，求X的概率密度f(x)的最大值．设随机变量X的分布函数为，求X的概率密度f(x)的最大值．当x≥0时，f(x)=xe-x，最大值f(1)=e-1．6. 求圆心在(b，0)，半径为a(b＞a)的圆绕y轴旋转而成的环状体的体积．求圆心在(b，0)，半径为a(b＞a)的圆绕y轴旋转而成的环状体的体积．圆的方程为    (x-b)2+y2=a2    显然，此环状体的体积等于由右半圆周x2=ψ2(y)=b+和左半圆周分别与直线y=-a，y=a及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转所产生的旋转体之差，因此所求的环状体的体积                    由几何意义知其值为． 7. (如图所示)设A，B，C是不共线的3点，它们决定一平面Ⅱ，则点P在Ⅱ上的充要条件是存在唯一的数组(λ，μ，γ)，)使得(如图所示)设A，B，C是不共线的3点，它们决定一平面Ⅱ，则点P在Ⅱ上的充要条件是存在唯一的数组(λ，μ，γ)，)使得    其中O是任意的一点，P在△ABC内的充要条件是*与λ≥0，μ≥0，γ≥0同时成立。

   若点，则与，共面，，或    取1-l-k=λ，μ=k，则    ，λ+μ+γ=1    *部分证明：在ΔABC内成立．，且    ，，0≤l≤1，且0≤k+l≤1即μ≥0，r≥0，，μ≥0，γ≥0，λ+μ+r=1，且在△ABC内． 8. 写出下列线性规划问题的对偶问题： max f=-17x2+83x4-8x5， s.t.-x1-13x2+45x3+16x5-7x6≥107, 3x3-18x4+30写出下列线性规划问题的对偶问题：  max f=-17x2+83x4-8x5，  s.t.-x1-13x2+45x3+16x5-7x6≥107,  3x3-18x4+30x7≤81，  4x1-5x3+x6=-13, -10≤x1≤-2,-3≤x2≤17,x3≥16,x4≤0,  x5无符号限制，x6≥0，x7≥0．按规则写出对偶问题后稍加简化可得    max    s．t．    (i=2,4,5,6,7,8)． 9. 求曲线y=cosx在点的切线和法线方程．求曲线y=cosx在点的切线和法线方程．切线方程    法线方程 10. 设D=[0，1]×[0，1]，证明函数 在D上部可积。

设D=[0，1]×[0，1]，证明函数    在D上部可积对D作任意的分割T：σ1，σ2，…，σn，则f(x，y)关于分割的上和与下和分别为            其中，    所以      故f(x,y)在D上不可积 11. 从总体X中抽取容量为80的样本，频数分布如下表： 区 间 left(0,frac{1}{4} right] left(frac{从总体X中抽取容量为80的样本，频数分布如下表：  区 间left(0,frac{1}{4} right]left(frac{1}{4},frac{1}{2} right]left(frac{1}{2},frac{3}{4} right]left(frac{3}{4},1 right]频 数6182036  试在显著性水平α=0.025下检验总体x的概率密度为是否可信?H0：    列表计算如下(n=80)：     k 区间 fk pk npk fk-npk (fk-npk)2/npk 1 left( 0,frac{1}{4} right] 6 0.0625 5 1 0.20 2 left( frac{1}{4},frac{1}{2} right] 18 0.1875 15 3 0.60 3 left( frac{1}{2},frac{3}{4} right] 20 0.3125 25 -5 1.00 4 left( frac{3}{4} ,1right] 36 0.4375 35 1 0.03    其中    (k=1,2,3,4)    统计量    查表    H0的拒绝域为χ2＞9.348，而χ2=1.83＜9.348。

所以接受假设    H0： 12. G是n个结点、m条边的无向简单图，v是次数为k的结点，则G-v(G中去掉v结点的图)中有______个结点，______条边．G是n个结点、m条边的无向简单图，v是次数为k的结点，则G-v(G中去掉v结点的图)中有______个结点，______条边．n-1$m-k13. 对下列三个线性规划问题，分别写出其对偶问题，并加以比较： (1)max s.t．(i=1,2，…，m), xj≥0(j=1，2，…，n)；对下列三个线性规划问题，分别写出其对偶问题，并加以比较：  (1)max  s.t．(i=1,2，…，m),  xj≥0(j=1，2，…，n)；  (2)max   s．t．(i=1，2，…，m)，  xj≥0(j=1,2，…n)，xsi≥0(j=1,2，…，m)；  (3)  s．t．(i=1，2，…，m)，  xj≥0(j=1,2，…，n)，xsi,xai≥0(i=1,2，…，m)，其中M表示充分大的正数．它们的对偶问题都是    min    s.t．(j=1,2，…，n),    u1≥0(i=1，2，…，m)．    注意到(1)，(2)，(3)三个问题是等价的．由此看出：对任何线性规划问题，不管其形式如何变化，其对偶问题是惟一的． 14. 设y1(x)，y2(x)均为方程 yˊ＋P(x)y＝Q(x)的解，并且yˊ(x)≠y2(x)．试写出此方程的通解．设y1(x)，y2(x)均为方程 yˊ＋P(x)y＝Q(x)的解，并且yˊ(x)≠y2(x)．试写出此方程的通解．正确答案：因为y1(x)y2(x)均为方程yˊ＋P(x)y＝Q(x)的解所以y1(x)－y2(x)为对应齐次方程yˊ＋P(x)y＝0的解．从而 y＝c[y1(x)－y2(x)]为齐次方程的通解其中C为任意常数．\r\n 因此yˊ＋P(x)y＝Q(x)的通解为 y＝c[y1(x)一y2(x)]＋y1(x)．因为y1(x),y2(x)均为方程yˊ＋P(x)y＝Q(x)的解,所以y1(x)－y2(x)为对应齐次方程yˊ＋P(x)y＝0的解．从而y＝c[y1(x)－y2(x)]为齐次方程的通解,其中C为任意常数．因此,yˊ＋P(x)y＝Q(x)的通解为y＝c[y1(x)一y2(x)]＋y1(x)．15. 奥数题中，看似很吓人的算式，其实很简单。

)奥数题中，看似很吓人的算式，其实很简单 )正确答案：√16. 在一个班级的50名学生中，有21名在高等数学考试中取得了优秀成绩，有26名学生性代数考试中取得了优秀成绩在一个班级的50名学生中，有21名在高等数学考试中取得了优秀成绩，有26名学生性代数考试中取得了优秀成绩，假如有17名学生在此两科考试中都没有取得优秀成绩，问有多少名学生在两科考试中都取得了优秀成绩?并试用文氏图画出结果．设在高等数学考试中取得优秀成绩的学生为集合A，性代数考试中取得优秀成绩的学生为集合B，根据题意，有    |A∪B|=50-17=33    根据容斥原理    |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|    |A∩B|=|A|+|B|-|A∪B|=21+26-33=14    故在两科考试中都取得优秀成绩的学生人数为14人，文氏图如下：   17. 在区间[0，1]上任取两点P，Q，求它们之间距离Z=|PQ|的概率密度fZ(z)，以及概率P{Z≤1/6}．在区间[0，1]上任取两点P，Q，求它们之间距离Z=|PQ|的概率密度fZ(z)，以及概率P{Z≤1/6}．当0≤z≤1时，fZ(z)=2(1-z)．P{Z≤1/6}=11/36．经常将相遇问题作为几何概率的例题．用二维随机变量的函数是另一种选择，题2中的概率就是一个相遇问题的解．18. 若n阶方阵A，B满足AB=A+B，则(A-E)-1=______.若n阶方阵A，B满足AB=A+B，则(A-E)-1=______.B-E.19. (溶液混合问题)一容器内盛有50 L的盐水溶液，其中含有10 g的盐．现将每升含2 g盐的溶液以每分钟5 L(溶液混合问题)一容器内盛有50 L的盐水溶液，其中含有10 g的盐．现将每升含2 g盐的溶液以每分钟5 L的速率注入容器，并不断进行搅拌，使混合液迅速达到均匀，同时混合液以每分钟3 L的速率流出容器．问在任意时刻t容器中的含盐量是多少?正确答案：20. 比较组合逻辑电路和时序逻辑电路的测试方法。

比较组合逻辑电路和时序逻辑电路的测试方法组合逻辑电路测试方法有穷举法、一维通路敏化法、布尔差分法和D算法等时序逻辑电路测试的主要方法是把时序电路构造成相应的组合电路。