第4章矩阵的分解-课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,*,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第,4章、矩阵的分解,Matrix Factorization and Decomposition,矩阵分解的概述,矩阵的分解：,A=A,1,+A,2,+,+A,k,矩阵的和,A=A,1,A,2,A,m,矩阵的乘积,矩阵分解的原则：,实际应用的需要,理论上的需要,计算上的需要,显示原矩阵的某些特性,矩阵化简的方法之一,主要技巧：,各种标准形的理论和计算方法,矩阵的分块,4.1 LU分解(图灵Turing,1948),LU分解：,A,C,nn,，,若A,的顺序主子式不为零，则存在唯一的主对角线上元素全为,1,的下三角形矩阵L,与,唯一的上三角形矩阵U，使得A=LU,.,例如：,Application,可以简化求解线性方程的算法,举例,4.2 QR分解,1.利用Gram-Schmidt正交化过程的QR分解,Theorem 设矩阵A,C,m,n,，R(A)=n(列满秩)。

则存在非奇异上三角阵R，和矩阵Q，Q,H,Q=E，使得A=QRRemark:,这样的分解称之为QR分解实施步骤,G-S,正交化,单位化,4.2 QR分解,例,P090 例4.2.1,此例中矩阵是列满秩的,例,P091 例4.2.2,此例表明即使矩阵不是列满秩的，也可以用G-S正交化方法，但是其QR分解不是唯一的4.3 满秩分解,矩阵的满秩分解,对秩为r 的矩阵A,F,m,n,，存在秩为r的矩阵 B,F,m,r，,C,F,r,n,，使得A=BC为A,的满秩分解列满秩,行满秩,已知的结论,满秩分解的实现：,向量组最大无关组的求法,例 求矩阵,A,的满秩分解,矩阵的满秩分解的做法,设,A,C,m,n,，,R(A)=r,对,A,作行初等变换得行最简形,H,，若,H,的首,1,元分别在,H,的第,j1,j2,jr,列，取,H,的前,r,行所成矩阵为,C,，取,A,的,j1,j2,jr,列所成矩阵为,B,，则,B,C,m,r,，,C,C,r,n,，其秩序均为,r,，且,A=BC,例,P098,例,4.3.2,；,例,P098,例,4.3.1,（此矩阵为列满秩矩阵）,4.,4 奇异值分解,(Singular Value Decomposition),Problem:,矩阵的奇异值分解是,酉等价型,的分解:A,C,m,n,，酉矩阵,U,C,m,m,V,C,n,n ,使得,A=U,V,H,。

矩阵A等价于,=,奇异值分解基本适用于内积空间中与矩阵秩相关的问题,A,的奇异值分解依赖于正规矩阵,A,H,A,的酉相似分解的一、矩阵A的奇异值及其性质,1、矩阵A,H,A和AA,H,的性质：,A,C,m,n,，,A,H,A,C,n,n,，AA,H,C,m,m,，都是Hermite矩阵Theorem 2.7.8,（,P052）,秩（,A,）秩（,A,H,A,）=秩（,AA,H,）A,H,A,和,AA,H,的非零特征值相等A,H,A,和,AA,H,是半正定矩阵A,H,A,和AA,H,的特征值是非负实数：,1,2,n,2、奇异值的定义：,（P099）,A,C,m,n,，,秩（,A,）=r，设,A,H,A,的特征值,1,2,r,0，,r+1,=,r+2,=,n,=0,，则矩阵的奇异值,二、矩阵的奇异值分解,1、,Theorem 4.4.1,（P,099,）,设A,C,m,n,，秩（A）=r，则存在酉矩阵 U,C,m,m,，V,C,n,n,，,使得,证明思想：,Step1.,A,H,A,正规，,V,H,A,H,AV=,，,酉矩阵,V,例,求矩阵A的奇异值分解，A=Step2.,令 ,得,U,1,=u,1,，,u,2,，,，,u,r,扩充为标准正交基,酉矩阵,U,。

4.5,Moore-Penrose,（,M-P,）广义逆,由,Moore 1920,年提出，,1955,年由,Penrose,发展1,、,Definition,设,A,C,m,n,，如果,X,C,n,m,，使得,A,X,A=A,X,A,X,=,X,（,A,X,）,H,=A,X,（,X,A,）,H,=,X,A,则称,G,为,A,的,M-P,广义逆，记为,G=,A,+,A,1,=A,+,；,例,讨论原有的逆的概念和M-P广义逆的关系例,求下列特殊矩阵的广义逆；,零矩阵0；,对角矩阵,0,+,m,n,=0,n,m,3,、,M-P,广义逆的存在性及其求法,Theorem,任何矩阵都有,M-P,广义逆求法,：,设,A,满秩分解,A=BC,，则,奇异值分解可以用于求广义逆(Theorem 4.5.3,P105)设,A,奇异值分解：（,可以不讲,）,，则,2、,M-P,广义逆的惟一性,Theorem,如果,A,有,M-P,广义逆，则,A,的,M-P,广义逆是惟一的例,设 ，求A,+,例,设向量 的M-P广义逆3、,M-P,广义逆的性质,Theorem 4.5.2,(,P,103,),：,（,A,+,）,+,=A,（,A,+,）,H,=,（,A,H,）,+,（,A,）,=,+,A,+,A,列满秩，则,A,+,=,（,A,H,A,）,1,A,H,，,A,行满秩，则,A,+,=A,H,（,AA,H,）,1,。

A,有满秩分解：,A=BC,，,则,A,+,=C,+,B,+,A,+,与A,1,性质的差异比较：,（AB）,1,=B,1,A,1,，,一般不成立（AB）,+,=B,+,A,+,只有满秩分解成立),（A,1,）,k,=（A,k,）,1,，,但不成立（A,+,）,k,=（A,k,）,+,。