专题专题7 不等式不等式 第第1节节 不等式性质与不等式解法不等式性质与不等式解法第第2节节 基本不等式及其应用基本不等式及其应用第第3节节 线性规划问题线性规划问题 目录600600分基础分基础 考点＆考法考点＆考法 考点35 不等式的性质及应用 考点36 常见不等式的解法 考点37 与一元二次不等式有关的参数问题第第1 1节节 不等式性质与不等式解法不等式性质与不等式解法 考点35 不等式的性质及应用1.不等式的基本性质不等式的基本性质2.不等式的运算性质不等式的运算性质(基本性质的推论基本性质的推论)考点35 不等式的性质及应用 考点35 不等式的性质及应用3.常用的证明方法常用的证明方法（1）分析法：从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，利用已知的一些定理，逐步探索，最后达到命题所给出的条件（或者一个已证明过的定理或一个明显的事实），这种证明方法称为分析法.（2）综合法：从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而最后导出要证明的命题，这种方法称为综合法.（3）反证法.考点35 不等式的性质及应用 ü考法1 不等式的性质及应用ü考法2 利用不等式的性质证明不等关系不等式的性质及应用考点35 考点35 不等式的性质及应用 考点35考法1不等式的性质及应用1.应用不等式的性质解题的常见类型及方法应用不等式的性质解题的常见类型及方法（1）不等式性质与充要条件、求取值范围、证明与推导不等式综合的问题，应注意观察从已知不等式到目标不等式的变化,它是如何变形的,这些变形是否符合不等式的性质；（2）若比较大小的两式是指数或对数模型,注意运用函数单调性解题；（3）恰当运用赋值法和排除法探究解答选择题、填空题.考点35 不等式的性质及应用 考点35考法1不等式的性质及应用2.比较大小比较大小(1)差值比较原理差值比较步骤：作差并变形——判断差的符号——结论.【注意】只要判断差的符号（正负号）,至于差的值究竟是什么无关紧要,通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式积的形式.关键步骤是变形,主要是利用通分、因式分解、配方等,变形是为了更有利于判断符号.(2)商值比较原理商值比较步骤：作商并变形——判断商与1的大小——结论.【注意】作商时结果与“1”比较大小，注意分母的正负,如果a,b均小于0,所得结论与“商值比较原理”中的结论相反.关键步骤仍是变形,方法主要有分母（或分子）有理化、指数恒等变形、对数恒等变形等.考点35 不等式的性质及应用此外，还可应用函数单调性比较大小，也可以采用中间量法或赋予特殊值的方法比较大小. 考点35考法1不等式的性质及应用3.求取值范围求取值范围由a0（<0,≤0,≥0)的形式,其中各因式中未知数的系数为正.（（3）求根）求根.求((x-x1)(x-x2)…(x-xn)=0的根,并在数轴上表示出来（按从小到大的顺序标出）.考点36 常见不等式的解法 考点36考法5解高次不等式 如果分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2,一般使用穿针引线法,具体思路如下：（（1）标准化）标准化.（（2）分解因式）分解因式.（（3）求根）求根.（（4）穿线）穿线.从右上方穿线,经过数轴上表示各根的点,但是要注意经过偶次根时应从数轴的一侧返回这一侧,经过奇次根时应从数轴的一侧穿过，到达数轴的另一侧.即“奇穿偶不穿”.（（5）得解集）得解集.若不等式（未知数的系数均为正）是“>0”型,则找“线”在数轴上方时对应的区间；若不等式（未知数的系数均为正）是“<0”型,则找“线”在数轴下方时对应的区间.考点36 常见不等式的解法 考点36考法5解高次不等式考点36 常见不等式的解法 考点36考法6解指数不等式、对数不等式1.指数不等式的解法指数不等式的解法(a＞＞0,且且a≠1)2.对数不等式的解法对数不等式的解法(a＞＞0,且且a≠1)考点36 常见不等式的解法 考点36考法6解指数不等式、对数不等式考点36 常见不等式的解法 考点37 与一元二次不等式有关的参数问题 不等式(x-a)(x-b)<0(a0(a0)的求解,应注意对参数进行分类讨论,分类讨论的常见情况：（1）二次项系数的符号（包含是否为0）;（2）计算判别式,判断方程根的情况：若有两根,则需要比较两根的大小.考点37 与一元二次不等式有关的参数问题 ü考法7 解含有参数的一元二次不等式ü考法8 由一元二次型不等式恒成立求参数范围与一元二次不等式有关的参数问题 考点37 考点37 与一元二次不等式有关的参数问题 考点37考法7解含有参数的一元二次不等式（（1）一看（看二次项系数）一看（看二次项系数的符号）的符号）. （（2）二算（计算判别式）二算（计算判别式,判断方程根的情况）判断方程根的情况）. （（3）三写（写出解集））三写（写出解集）. 二次项若含有参数,应讨论其是等于0,小于0,还是大于0.若二次项系数不为0,将不等式转化为二次项系数为正的标准形式. 此类题一般以含参数的一元二次不等式、集合的形式出现,要注意各次项系数大小对不等式解集的影响.在解含有参数的一元二次型不等式（如关于x的不等式ax2+bx+c>0）时:判断标准形式的一元二次不等式对应的方程的根的个数,讨论判别式与0的大小关系.确定无根或有两个相等的实数根时，可以直接写出解集.如果有两个不相等的实数根,但不能确定两根的大小,要讨论两根的大小关系,从而确定解集.【注意】勿将形如ax2+bx+c<0的不等式认为一定是一元二次不等式.考点37 与一元二次不等式有关的参数问题 考点37考法7解含有参数的一元二次不等式【点拨】解含有参数的一元二次不等式,若二次项系数为常数,可先考虑因式分解,在求出对应方程根的情况下再对参数进行讨论,若不能根据因式分解的方法求出其根,则需要按照不等式对应方程的根的判别式的情况进行分类讨论;若二次项系数为参数,则应考虑二次项系数是否为零,然后讨论二次项系数不为零的情况.考点37 与一元二次不等式有关的参数问题 考点37考法8由一元二次型不等式恒成立求参数范围1.一元二次不等式在实数集一元二次不等式在实数集R上恒成立上恒成立考点37 与一元二次不等式有关的参数问题 考点37考法8由一元二次型不等式恒成立求参数范围2.在某区间上恒成立在某区间上恒成立设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).方法方法1 不等式解集法不等式解集法不等式f(x)≥0在集合A中恒成立等价于集合A是不等式f(x)≥0解集B的子集,通过求不等式的解集,并研究集合间的关系可以求出参数的取值范围.方法方法2 分离参数法分离参数法若不等式f(x,λ)≥0（x∈D,λ为实参数）恒成立，将f(x,λ)≥0转化为λ≥g(x)或λ≤g(x)（x∈D）恒成立，进而转化为λ≥g(x)max或λ≤g(x)min，求g(x)(x∈D）的最值即可.适用题型：①参数与变量能分离；②函数最值易求.考点37 与一元二次不等式有关的参数问题 考点37考法8由一元二次型不等式恒成立求参数范围2.在某区间上恒成立在某区间上恒成立设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).方法方法1 不等式解集法不等式解集法方法方法2 分离参数法分离参数法方法方法3 主参换位法主参换位法变换思维角度,即把变元与参数交换位置,构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围列式求解.一般地，条件给谁的范围，就看成有关谁的函数，利用函数单调性求解.方法方法4 数形结合法数形结合法结合函数图象将问题转化为函数图象对称轴，区间端点函数值或函数图象上、下位置（相对于x轴）关系求解.此外，若涉及的不等式能转化为一元二次不等式，可结合一元二次方程根的分布解决问题.考点37 与一元二次不等式有关的参数问题 考点37考法8由一元二次型不等式恒成立求参数范围考点37 与一元二次不等式有关的参数问题 目录600600分基础分基础 考点＆考法考点＆考法 考点38 基本不等式及应用700700分基础分基础 考点＆考法考点＆考法 考点39 基本不等式的实际应用第第2 2节节 基本不等式及其应用基本不等式及其应用 考点38 基本不等式及应用1.基本不等式基本不等式2.重要不等式重要不等式3.几个常用的重要结论几个常用的重要结论考点38 基本不等式及应用 考点38 基本不等式及应用5.利用基本不等式求最值的前提条件利用基本不等式求最值的前提条件利用基本不等式求最值的三个前提条件是“一正、二定、三相等”,即“一正”是各项为正数；“二定”是求和的最小值要求各项积为定值、求积的最大值要求各项和为定值；“三相等”是必须验证等号是否成立.考点38 基本不等式及应用4.利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 ü考法1 利用基本不等式比较大小或证明简单不等式ü考法2 利用基本不等式求最值基本不等式及其应用考点38 考点38 基本不等式及应用 考点38考法1利用基本不等式比较大小或证明简单不等式1.常见的利用基本不等式比较大小或证明简单不等式的方法依据常见的利用基本不等式比较大小或证明简单不等式的方法依据考点38 基本不等式及应用 考点38考法1利用基本不等式比较大小或证明简单不等式2.应用基本不等式需注意的内容应用基本不等式需注意的内容（1）创造运用基本不等式的条件,合理拆分项或配凑项是常用技巧,其中拆与凑的目的在于能运用基本不等式.通常是考虑分母的代数式,考虑将原式拆分或配凑成与分母的代数式有关系（相等、倍分等）的式子与常数的和.（2）当多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注意取等号条件的一致性,否则就会出错.因此,在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转换是否有误的一种方法.（3）注意“1 ”的代换的妙用.当进行条件不等式的证明（即已知一个等式,求证一个不等式成立）时,通常将等式一端转化出常数“1 ”,根据1·a=a或者等量代换,将待证不等式一侧乘“1 ”或者将其中的常数进行“1 ”的代换.”考点38 基本不等式及应用 考点38考法1利用基本不等式比较大小或证明简单不等式考点38 基本不等式及应用 考点38考法2利用基本不等式求最值求最值时常见以下几种情形求最值时常见以下几种情形（1）若直接满足基本不等式条件,即满足“一正、二定、三相等”,则直接应用基本不等式.（2）若不能直接满足基本不等式条件,则需要创造条件对式子进行恒等变形,如构造“1 ”的代换,对不等式进行分拆、组合、添加系数等方法使之能变成可用基本不等式的形式,创造使不等式中等号成立的条件.（3）有时需要多次使用基本不等式求解.考点38 基本不等式及应用 考点38考法2利用基本不等式求最值考点38 基本不等式及应用 考点39 基本不等式的实际应用利用基本不等式解决实际问题的方法步骤如下：利用基本不等式解决实际问题的方法步骤如下：（1）根据题意设出相应变量,一般把要求最值的变量设为函数；（2）建立相应的函数关系式,确定函数的定义域；（3）在定义域内,求函数的最值；（4）回到实际问题中去,写出实际问题的答案.【注意】当运用基本不等式求最值时,若等号成立的自变量值不在定义域内,就不能使用基本不等式求解,此时可根据定义域和函数的单调性求解.考法3 基本不等式的实际应用考点39 基本不等式的实际应用 考点39 基本不等式的实际应用考法3 基本不等式的实际应用考点39 基本不等式的实际应用 考点39 基本不等式的实际应用考法3 基本不等式的实际应用考点39 基本不等式的实际应用 目录600600分基础分基础 考点＆考法考点＆考法 考点40 二元一次不等式（组）表示的平面区域 考点41 线性目标函数的最值 700700分基础分基础 考点＆考法考点＆考法 综合问题12 生活中的优化问题 综合问题13 非线性规划问题第第3 3节节 线性规划问题线性规划问题 考点40 二元一次不等式（组）表示的平面区域1.二元一次不等式（组）表示的平面区域及判断方法二元一次不等式（组）表示的平面区域及判断方法(1)一般地,二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面),不包括边界直线；二元一次不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线.(2)直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x,y),使得Ax＋By＋C的值符号相同,也就是位于直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点,其坐标满足Ax＋By＋C>0(Ax＋By＋C<0)；而位于直线Ax＋By＋C＝0另一侧的所有点,其坐标满足Ax＋By＋C<0(Ax＋By＋C>0).(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点(x0,y0)（一般取特殊点,如原点，点（0,1），点（1,0））,从Ax0＋By0＋C的符号来判断Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)所表示的平面区域.(4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.考点40 二元一次不等式（组）表示的平面区域 考点40 二元一次不等式（组）表示的平面区域2.确定二元一次不等式（组）表示的平面区域的方法步骤确定二元一次不等式（组）表示的平面区域的方法步骤（（1）画线）画线在平面直角坐标系中画出不等式所对应方程所表示的直线（注意不等式中不等号有无等号,无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线）.（（2）定侧）定侧将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式,根据“同侧同号,异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧.若直线不过原点,特殊点常选取原点.（（3）求）求“交交”若平面区域是由不等式组决定的,则在确定了各个不等式所表示的区域后,再求这些区域的公共部分.以上俗称为以上俗称为“直线定界直线定界,特殊点定域特殊点定域”.考点40 二元一次不等式（组）表示的平面区域 ü考法1 求平面区域的面积ü考法2 根据平面区域满足的条件求参数的取值范围二元一次不等式（组）表示的平面区域考点40 考点40 二元一次不等式（组）表示的平面区域 考点40考法1求平面区域的面积解决此类问题的一般步骤解决此类问题的一般步骤（1）利用应试基础必备中的有关方法画出不等式组表示的平面区域.（2）判断平面区域的形状,并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长（三角形的高、四边形的高）等,若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解.【说明】求面积时应考虑圆、平行四边形等的对称性,图形面积的割补法等.考点40 二元一次不等式（组）表示的平面区域 考点40考法1求平面区域的面积考点40 二元一次不等式（组）表示的平面区域 考点40考法2根据平面区域满足的条件求参数的取值范围 不等式组中的参数影响平面区域的形状，如果不等式组中的不等式含有参数，这时它表示的区域的分界线是一条变动的直线，此时要根据参数的取值范围确定这条直线的变化趋势、倾斜角度、上升还是下降、是否过定点等，确定区域的可能形状，进而根据题目要求求解；如果是一条曲线与平面区域具有一定的位置关系，可以考虑对应的函数的变化趋势，确定极限情况求解；如果目标函数中含有参数，则要根据这个目标函数的特点考察参数变化时目标函数与平面区域的关系，在运动变化中求解.【注意】此类问题的难点在于参数取值范围的不同导致平面区域或者曲线位置的改变，解答的思路可能会有变化，所以求解时要根据题意进行必要的分类讨论及对特殊点、特殊值的考虑.考点40 二元一次不等式（组）表示的平面区域 考点40考法2根据平面区域满足的条件求参数的取值范围考点40 二元一次不等式（组）表示的平面区域 考点41 线性目标函数的最值1.线性规划的有关概念线性规划的有关概念考点41 线性目标函数的最值 考点41 线性目标函数的最值2.简单线性规划问题的图解法简单线性规划问题的图解法在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下,用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答”.即（1）画:在平面直角坐标系中画出可行域和直线ax+by=0(目标函数为z=ax+by);（2）移:平移直线ax+by=0,确定使z=ax+by取得最大值或最小值的点;（3）求:求出使z=ax+by取得最大值或最小值的点的坐标及z的最大值或最小值;（4）答:给出正确答案.考点41 线性目标函数的最值 ü考法3 线性目标函数的最值及取值范围ü考法4 线性规划的逆向问题线性目标函数的最值考点41 考点41 线性目标函数的最值 考点41考法3线性目标函数的最值及取值范围方法方法1 图解法（基本方法）图解法（基本方法）利用应试基础必备中的图解法求解即可,注意线性目标函数z=ax+by取最大值时的最优解与b的正负有关,当b>0时,将直线ax+by=0在可行域内向右上方平移到最右侧端点（一般是两直线的交点,即平面区域的顶点）的位置可得到最优解及目标函数最值；当b<0时,则是向左下方平移可得到最优解及目标函数最值.【说明】线性目标函数的最值一般在可行域的顶点处或边界上取得,将目标函数的直线平行移动时，最先通过或最后通过的顶点便是最优解.特别地,对最优整数解可视情况而定.考点41 线性目标函数的最值 考点41考法3线性目标函数的最值及取值范围方法方法1 图解法（基本方法）图解法（基本方法）方法方法2 界点定值法（快捷方法）界点定值法（快捷方法）线性规划的最优解都是可行域所对应图形的边界顶点,这时只要把可行域的几个顶点代入,通过对比目标函数的对应取值,即可得到最优解和目标函数最值.方法方法3 变量替代法变量替代法把目标函数z代换到原约束条件中,得到新的不等式组,画出此时的平面区域,观察左右或上下边界即可得到最优解.考点41 线性目标函数的最值 考点41考法3线性目标函数的最值及取值范围方法方法1 图解法（基本方法）图解法（基本方法）方法方法2 界点定值法（快捷方法）界点定值法（快捷方法）方法方法3 变量替代法变量替代法方法方法4 解不等式法解不等式法当目标函数和约束条件分别是线性目标函数和线性约束条件时,把目标函数z代换到原约束条件中去,得到关于z的不等式组,直接放缩求解.考点41 线性目标函数的最值 考点41考法3线性目标函数的最值及取值范围方法方法1 图解法（基本方法）图解法（基本方法）方法方法2 界点定值法（快捷方法）界点定值法（快捷方法）方法方法3 变量替代法变量替代法方法方法4 解不等式法解不等式法方法方法5 斜率比较法斜率比较法考点41 线性目标函数的最值 考点41考法3线性目标函数的最值及取值范围考点41 线性目标函数的最值 考点41考法3线性目标函数的最值及取值范围考点41 线性目标函数的最值 考点41考法4线性规划的逆向问题1.常见问题形式常见问题形式（1）由可行域求线性约束条件；（2）由最优解或最值求参数的取值范围.2.处理方法处理方法（1）对于形式（1）,由可行域的端点写出边界直线的方程,由区域特点确定不等号即可.（2）对于形式（2）,解答问题时，必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得,运用数形结合的思想方法求解.同时，要注意边界直线的斜率与目标函数表示的直线的斜率之间的关系.考点41 线性目标函数的最值 考点41考法4线性规划的逆向问题考点41 线性目标函数的最值 综合问题12 生活中的优化问题综合点1 生活中的优化问题 1.利用线性规划解决优化问题的思路利用线性规划解决优化问题的思路 利用线性规划解决优化问题的关键在于确定两个变量x,y,其基本方法是看求解目标是受哪两个变量制约的,这两个变量就是x,y,从而写出约束条件和目标函数,将实际问题转化为线性规划问题.【注意】实际问题中，要注意x,y为非负数、整数等要求,避免约束条件不完整这种错误的发生.综合问题12 生活中的优化问题 综合问题12 生活中的优化问题综合点1 生活中的优化问题 2.确定最优整数解的方法确定最优整数解的方法若实际问题要求的最优解是整数解,而利用图解法得到的解为非整数解,则应适当的调整,其调整方法如下：方法方法1 调整法调整法在求线性目标函数z=ax+by+c的最优整数解时,先根据基本方法求出目标函数的最值,若此时最优解是非整数最优解,将其代入目标函数z中求出此时的值z0,然后在可行域内将z0的值微调为大于（或小于）z0的与z0最接近的整数z1,在这条对应的直线上取可行域内的整点.如果没有整点,继续放缩,直到找到整点为止.综合问题12 生活中的优化问题 综合问题12 生活中的优化问题综合点1 生活中的优化问题 2.确定最优整数解的方法确定最优整数解的方法若实际问题要求的最优解是整数解,而利用图解法得到的解为非整数解,则应适当的调整,其调整方法如下：方法方法1 调整法调整法方法方法2 检验法检验法综合问题12 生活中的优化问题 综合问题12 生活中的优化问题综合点1 生活中的优化问题 2.确定最优整数解的方法确定最优整数解的方法若实际问题要求的最优解是整数解,而利用图解法得到的解为非整数解,则应适当的调整,其调整方法如下：方法方法1 调整法调整法方法方法2 检验法检验法方法方法3 平移法平移法打网格,描整点,平移直线l,最先经过或最后经过的整点便是最优整点解.此种方法对图的精确度要求很高,一般不采用. 方法方法4 逐点检验法逐点检验法如果可行域中的整点数目很少,可采用逐个代入试解的方法.综合问题12 生活中的优化问题 综合问题12 生活中的优化问题综合点1 生活中的优化问题 综合问题12 生活中的优化问题 综合问题12 生活中的优化问题综合点1 生活中的优化问题 综合问题12 生活中的优化问题 类型类型1 1 斜率型非线性规范问题的斜率型非线性规范问题的最值（值域）最值（值域）类型类型2 2 距离型非线性规范问题的距离型非线性规范问题的最值（值域）最值（值域）综合点2 非线性规划问题综合问题13 非线性规划综合问题13 非线性规划 综合问题13类型1斜率型非线性规划问题的最值（值域）综合问题13 非线性规划 综合问题13类型1斜率型非线性规划问题的最值（值域）综合问题13 非线性规划 综合问题13类型1斜率型非线性规划问题的最值（值域）综合问题13 非线性规划 综合问题13类型2距离型非线性规划问题的最值（值域）综合问题13 非线性规划 综合问题13类型2距离型非线性规划问题的最值（值域）综合问题13 非线性规划 综合问题13类型2距离型非线性规划问题的最值（值域）综合问题13 非线性规划 敬请期待下一专题敬请期待下一专题…………ThanksThanks！！ 。
