学士论文线性方程组理论的有关应用.doc

线线性性方方程程组组理理论论的的有有关关 应应用用Applications on theory of linear equations专 业: 数学与应用数学作 者: 指导老师: 学校二○○○○I 摘摘 要要本文介绍了线性方程组的一些理论, 在此基础上做了一定的推广, 并讨论了这些重要的理论在高等代数中的具体应用.关键词: : 线性方程组; 行列式; 非零解; 矩阵的秩; 解空间II AbstractIn this paper, we introduce some theories of linear equations, popularize some significant theories, and discuss these important theories of algebra in specific applications.Keywords: linear equations; determinant; non-zero solution; rank of matrix; solution space目 录摘 要 ...................................................................IABSTRACT .................................................................II0 引言 ....................................................................11 关于线性方程组的一般理论 ................................................12 线性方程组理论的几个应用 ................................................22.1 齐次线性方程组有非零解理论在初等数学中的应用 .......................22.2 齐次线性方程组解空间理论在解题上的应用 .............................52.3 线性方程组理论在解析几何中的应用 ...................................7参考文献 .................................................................11第 1 页, 共 11 页0 引言目前, 新的中学教材已初步渗透了高等数学的一些知识理论, 而利用这些知识理论来解决初等数学问题显得既简洁又优美. 本文针对中学数学中由几个结构相似且具有共同字母或数字的等式联系在一起的若干变量之间的相互关系问题,结合高等代数中有关齐次线性方程组的理论, 从而有助于问题迅速的得以转化和解决. 同时将线性方程组理论应用于解析几何, 沟通了代数与几何的内在联系, 并可透视代数与几何的相互渗透, 也可使许多几何问题得到更为简明的刻画.关于线性方程组的一般理论, 可参看文献[1-3,8-11], 一些专题研究可参看文献[4-7]. 1 关于线性方程组的一般理论在这一节, 我们回顾《高等代数》中关于线性方程组的一般理论. 对于任一个矩阵, 我们用表示的转置, 表示的秩, 表示自由未知量的个数, ATAArAnr表示的维数. 并且我们知道在经典的《高等代数》的教材中, 有以下关于线dim AA性方程组的结果.定理 1.1 含有个未知量个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是其[1]nn系数行列式等于零.定理 1.2 设齐次线性方程组[1](1.1)111122112122221122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxa x   LLK KL系数矩阵的秩. 且方程组(1.1)的解空间为. 则可以得到下列结()ijm nAa( )R ArV论, 这里表示方程组(1.1)解空间的维数．dim( )( )VnR Adim( )V2 线性方程组理论的几个应用第 2 页, 共 11 页2.1 齐次线性方程组有非零解理论在初等数学中的应用(1) 在求解二元方程组上的应用利用定理 1.1 可求解二元方程组, 求解时只需将其中一个变量作为常数即可. 例 1 求下面方程组的全部解, 其中方程组为32230 10xyxy xyxy  解 将看成是常数, 则方程组可改写为 y,(32)(23)0 (1)(1)0yxy yxy 则有 .3223011yy yy 求解得, . 代入方程组求解, 得到, . 故原方程组的11y  25y  15x  21x  全部解为, .1151xy  2215xy   例 2 已知一次函数, 且, , 求的取( )f xaxb1( 1)2f 2(2)3f (3)f值范围.解 应先找出与, 的关系, 有(3)f( 1)f (2)f, , ,( 1)fab  (2)2fab(3)3fab得( 1)02(2)03(3)0abfabfabf   这是关于的三元齐次线性方程组, 显然方程组有非零解, 于是, ,1a b 第 3 页, 共 11 页1 1( 1) 21(2)0 31(3)f f f 化简为, 所以 因此 ( 1)4 (2)3 (3)0fff14(3)( 1)(2),33fff .1013(3)33f例 3 等差数列的前项和为 30, 前 2项和为 100, 则它的前 3项和为{}nammm130; 170; 210; 260( )A( )B( )C()D解 由等差数列知识, 可设前 n 项和为，所以,2()nSanbn nN2 mSambm, , 考察以为未知数的方程组2 242mSm amb2 393mSm amb, , 1a b 22 22 30420930mmmm ambSm ambSm ambS  由于该齐次线性方程组有非零解, 因此其系数行列式为0, 于是22 2 2 342093mmmmmSmmSmmS即 2311 420 93mmmS S S化简, 得, 所以 23330mmmSSS.323()3(10030)210mmmSSS故选.( )C例 4 已知, 求证, , 中至少有一个不小于．2( )f xxpxq(1)f(2)f(3)f1 2证明 先找出, , 间的关系, 有(1)f(2)f(3)f第 4 页, 共 11 页1(1)024(2)039(3)0pqfpqfpqf  此关于, , 的齐次线性方程组有非零解, 于是pq1111(1)212(2)0319(3)fff化简, ．假设结论不成立, 即(1)2 (2)(3)2fff, , ,1(1)2f1(2)2f1(3)2f易推出, 产生矛盾, 命题得证.2(1)2 (2)(3)2fff (2) 在证明一元次方程重根上的应用n由高等代数中多项式理论容易知道, 多项式的重因式必是的因式.因( )F x( )P x( )F x此, 的重根必是的的根, 且此根是与的公共根. 由此结论我们可( )F x( )F x( )F x( )F x以推广到以下结论如果是的重根, 则是的重根.下面我们0x( )f xk(1)k 0x( )fx1k 就这一理论: 来看一看如何利用线性方程组理论证明方程的重根. 首先给出一个简单的结论:设是方程与的公共根, 则也是的根, 010a xa2 0120b xb xb2 010a xa x从而有下列齐次线性方程组012 012 012000a xaa xa xb xb xb  其根为, 根不为零, 由线性方程组理论知其系数行列式为零. 即2(, ,1)xx.01010120 00aaaabb b由上述结论, 我们可以获得一个判断重根的方法.例 5 证明一元二次方程()有重根的充要条件是其判别式2axbxc0a 第 5 页, 共 11 页. 240bac 证明 对方程两边求导有. 一元二次方程有重根, 即其20axb20axbxc与有公共根, 由上面的结论有 20axb.10 2 2 00a ba b ab c展开运算即有. 推广到一元次方程. 设是240bacn1 1100nn nna xaxa xa L的根, 从而有下列齐次线性方程组12 112 111 11000(1)00nnnnnn nnnn nnna xana xaxna xnaxaa xaxa xa       K KLL其根为不为零, 由线性方程组理论知其系数行列式为零. 即11(,,..., , )nnxxx.11121122100000000000(1)0nnnnnnnnnnaanaananaaaaaaaaaLLMMMMMMLL2.2 齐次线性方程组解空间理论在解题上的应用例 6 设为矩阵, 为矩阵, 且, 则.Am nBns0AB ( )( )R AR Bn证明 把矩阵分块为: , 则, . 从而, B12(,,,)sB K0iA1,2,,isKiV其中是的解空间. 由定理1.2得. 于是V0AX ( )dim( )R BVnR A.( )( )R AR Bn例 7 若是阶方阵，且, 则.An2AA( )()R AR IAn第 6 页, 共 11 页证明 因为, ( )(())( )()nR IR AIAR AR IA（2.1）又因即, 由例 6 知 2AA()0A AI. ( )()R AR IAn（2.2）由(2.1)(2.2)两式得.( )()R AR IAn分析以上三个例题, 很容易想到利用齐次线性程组解的理论来解决, 特别是例6，由, 容易联想到把的列向量作为齐次线性方程组的解向量, 从而0AB B0AX 获得解决. 下面讨论几个例子, 看起来似乎与齐次线性方程组无关系, 但经过仔细分析，我们将会发现, 仍然可以通过齐次线性程组的理论加以解决.例 8 设为矩阵, 为矩阵, 则.Am nBns()min{ ( ), ( )}R ABR A R B证明 设为齐次线性方程组的解空间, 其中我们令12(,,,)sVL K0BX . 由定理 1.2 知. 又因, 由例 6 于是我们12(,,,C Kt( )( )tR csR B0ABC 知.即.同理可得, 于是结论()( )R ABR Cs()(( ))( )R ABssR AR A()( )R ABR B成立.例 9 设为阶方阵, 则.An1()()nnR AR AL证明 若为满秩矩阵, 则结论显然成立. 现设, 则存在自然数使得A( )R Ank. 设为齐次线性方程组的解空间, 则对任意, 1()()kkR AR A1kniV0iA x iV有, 于是有, ，因, 故由定理 1.2 知, 10iiAAA1kkVV1,2,i K1(。